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Vídeo de la lección: Notación científica Matemáticas • Octavo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo expresar un número en notación científica y cómo convertirlo de la forma usual a la científica y viceversa.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo expresar un número en notación científica, la cual a veces se llama forma estándar. Veremos cómo expresar números muy grandes y números muy pequeños en notación científica. Cuando los números tienen un valor absoluto muy grande o muy pequeño, expresarlos en la forma usual nos llevaría a escribir muchas cifras, por ejemplo, 241300000. En el otro extremo, tenemos 0.000000764. La notación científica es una forma compacta de escribir números de este tamaño.

En primer lugar, vamos a ver la definición de notación científica. Un número escrito en notación científica se escribe de la forma 𝑎 por 10 elevado a 𝑏, donde el valor absoluto de 𝑎 es igual o mayor que uno y menor que 10. Esto significa que 𝑎 puede tomar valores tales como los siguientes: cuatro, siete, 3.2, menos 6.3, etcétera. El exponente 𝑏 es un entero positivo para números grandes y un entero negativo para números pequeños.

Los siguientes ejemplos son números expresados en notación científica. Cuatro por 10 elevado a siete, 3.2 por 10 elevado a ocho y 2.14 por 10 elevado a menos siete. 0.6 por 10 elevado a ocho y 23 por 10 elevado a menos cinco no están en notación científica. Esto se debe a que el valor de 𝑎 es menor que uno o es igual o mayor que 10. 23 es mayor que 10 y 0.6 es menor que uno. Veamos ahora algunas cuestiones en las que tenemos que expresar números en notación científica.

Hay aproximadamente 200 millones de vacas en la India. Expresa este número en notación científica.

Veamos primero cómo escribiríamos el número 200 millones en forma normal. El número un millón se escribe como un uno seguido de seis ceros. Esto significa que 200 millones puede escribirse como 200 seguido de otros seis ceros. En total, tenemos un dos seguido de ocho ceros. Un número se escribe en notación científica si está escrito en la forma 𝑎 multiplicado por 10 elevado a 𝑏. El valor absoluto, o módulo de 𝑎 debe ser menor que 10 y mayor o igual a uno. El valor de 𝑏 puede ser un entero positivo o negativo.

Para escribir un número en notación científica, primero debemos mover el punto o la coma decimal justo después de la primera cifra que no es cero. En esta cuestión es el primer dígito, el dos. Como el dígito justo después de este es un cero, el valor de 𝑎 será 2.0, o simplemente dos. Para hallar el valor del exponente 𝑏, tenemos que hallar la potencia de diez por la que tenemos que multiplicar dos para obtener 200000000. Podemos hacerlo usando valor posicional o contando cuántas veces se ha desplazado el punto o la coma decimal para pasar de dos a nuestro número.

En esta cuestión hay ocho saltos u ocho valores posicionales. Esto significa que el exponente es ocho. Como ya hemos dicho, 2.0 es lo mismo que dos. Por lo tanto, el número 200 millones en notación científica es dos por 10 elevado a ocho. Este es aproximadamente el número de vacas que hay en la India.

Ahora vamos a ver otra cuestión en la que se trata de usar notación científica para expresar el valor aproximado de una cantidad grande.

El barco Titanic, que se hundió en el Atlántico, tenía una masa de unos 47450000 kilogramos. ¿Cuál de las expresiones siguientes es la mejor aproximación de ese valor? ¿Es A) cinco por 10 elevado a seis? ¿B) cinco por 10 elevado a siete? ¿C) cinco por 10 elevado a ocho? ¿D) cuatro por 10 elevado a siete? ¿O E) cuatro por 10 elevado a ocho?

Las cinco opciones que tenemos están escritas en notación científica en la forma 𝑎 por 10 elevado a 𝑏. Sabemos que están en notación científica porque el valor absoluto de 𝑎 es menor que 10 y mayor o igual a uno. El valor de 𝑏 es un número entero. Tenemos que convertir 47450000 kilogramos a notación científica y luego determinar qué opción de la que nos dan es la mejor estimación.

Para escribir un número en notación científica, debemos empezar hallando la primera cifra que no es cero. En esta cuestión es un cuatro. Ponemos un punto decimal después de este dígito y luego escribimos todos los demás dígitos distintos de cero. En este caso tenemos 4.745. Esto se ha de multiplicar por 10 elevado a un exponente. El exponente será positivo cuando se trate de números grandes y negativo cuando se trate de números pequeños. En este caso, será un entero positivo.

Tenemos que calcular cuántas veces hemos de multiplicar 4.745 por 10 para obtener 47450000. Podemos hacerlo usando el valor posicional o contando el número de veces que el punto decimal se desplaza hacia la derecha. En este caso, la respuesta es siete. 47450000 escrito en notación científica es 4.745 por 10 elevado a siete. Si nos fijamos en las cinco opciones que se nos han dado, podemos ver que las opciones A, C y E son incorrectas, pues el exponente no es siete.

Para redondear el valor de 𝑎, 4.745, al entero más cercano, debemos fijarnos en el dígito que se encuentra en la columna de las décimas. Como es un siete, redondeamos hacia arriba. Así que nuestra estimación se convierte en cinco por 10 elevado a siete. La respuesta correcta es B, la mejor aproximación de 47450000 kilogramos es cinco por 10 elevado a siete kilogramos.

Ahora vamos a ver una cuestión en la que debemos expresar una cantidad muy pequeña en notación científica.

¿Cómo se escribe 0.00007 en notación científica?

Un número está expresado en notación científica si está escrito en la forma 𝑎 por 10 elevado a 𝑏, donde el valor absoluto de 𝑎 debe ser menor que 10 y mayor o igual a uno, y 𝑏 es un entero positivo o negativo. En esta cuestión se nos pide expresar 0.00007 en notación científica. El primer paso es localizar el primer dígito distinto de cero en nuestro número. En este caso solo hay uno, el siete. Colocamos el punto decimal inmediatamente después de este dígito. Si hubiera otros dígitos después de este siete, los habríamos escrito justo después del punto decimal, por ejemplo, 7.124. En este caso, no hay dígitos distintos de cero después del siete, así que tenemos 7.0, o lo que es lo mismo, siete.

Multiplicamos esto por 10 elevado a un exponente. El valor de 𝑏 será negativo para los números pequeños. Esto es porque elevar 10 a un exponente negativo significa que estamos dividiendo. 10 elevado a menos cuatro es lo mismo que uno dividido por 10 elevado a cuatro. Así que, en realidad estamos dividiendo por 10 elevado a cuatro, lo que hará que el número sea más pequeño.

Para calcular 𝑏, tenemos que hallar el número de lugares que los dígitos se han desplazado o el número de veces que el punto decimal se ha desplazado hacia la izquierda. Para ir de 7.0 a 0.00007, hemos de mover el punto decimal cinco lugares hacia la izquierda. Por lo tanto, el exponente es menos cinco. Como 7.0 es lo mismo que siete, 0.00007 escrito en notación científica es siete por 10 elevado a menos cinco.

Ahora vamos a ver otro problema en el que se nos pide expresar un valor muy pequeño en notación científica.

Escribe 0.000853 en notación científica.

Un número está escrito en notación científica cuando está en la forma 𝑎 por 10 elevado a 𝑏. Sabemos que el valor absoluto de 𝑎 debe ser menor que 10 y mayor o igual a uno. Sabemos que 𝑏 debe ser un número entero. Es un número entero positivo para los números grandes y un número entero negativo para los números pequeños. En esta cuestión se nos pide que escribamos el número pequeño 0.000853 en notación científica. Para hacerlo, primero debemos localizar la primera cifra distinta de cero, en este caso ocho. Ponemos un punto decimal justo después de este dígito y seguidamente escribimos los demás dígitos distintos de cero. En este problema el valor de 𝑎 es 8.53. Este valor es menor que 10 y mayor o igual a uno.

Ahora debemos multiplicar esto por 10 elevado a un exponente. En este caso, el exponente será negativo, pues para pasar de 8.53 a 0.000853, tenemos que dividir. Multiplicar por 10 elevado a menos seis es lo mismo que dividir por 10 elevado a seis. Para hallar el valor de este exponente, debemos determinar cuántos lugares se han desplazado los dígitos, o cuántas veces se ha desplazado el punto decimal. En este caso, es cuatro. Por lo tanto, el exponente es menos cuatro. El número 0.000853 escrito en notación científica es 8.53 por 10 elevado a menos cuatro.

En la siguiente cuestión vamos a resolver un problema en un contexto del mundo real.

La longitud de un objeto es siete milímetros. Expresa esta longitud en metros y en forma científica.

Vamos a recordar primero algunas conversiones de unidades métricas de longitud. Hay 10 milímetros en un centímetro. Hay 100 centímetros en un metro. La combinación de esto nos dice que hay 1000 milímetros en un metro. Esto significa que, para convertir un valor de milímetros a metros, tenemos que dividirlo por 1000. Siete dividido por 1000 es 0.007. Esto quiere decir que siete milímetros es lo mismo que 0.007 metros.

Este número no está en forma científica, pues debería estar escrito como 𝑎 por 10 elevado a 𝑏, donde el valor absoluto de 𝑎 es menor que 10 y mayor o igual a uno, y 𝑏 es un número entero. 0.007 escrito en notación científica es siete por 10 elevado a menos tres. Esto es porque los dígitos se han desplazado tres lugares hacia la izquierda para pasar de 7 a 0.007.

Podíamos haber resuelto este problema dividiendo directamente siete entre 1000. 1000 es lo mismo que 10 elevado a tres, o 10 al cubo. Dividir por 10 elevado a tres es lo mismo que multiplicar por 10 elevado a menos tres. Una vez más, obtenemos la respuesta siete multiplicado por 10 elevado a menos tres. Esta es la longitud del objeto en metros.

En el último problema vamos a tener que resolver algunas operaciones y escribir el resultado en notación científica.

Expresa tres por 300 en notación científica.

Hay varias formas de resolver este problema. En este caso vamos a ver dos métodos distintos. El primer método consiste en multiplicar primero tres por 300. Y obtenemos 900. Sabemos que un número en notación científica tiene la forma 𝑎 por 10 elevado a 𝑏, donde el valor absoluto de 𝑎 es menor que 10 y mayor o igual a uno. Como solo hay un dígito distinto de cero en este número, este será el valor de 𝑎.

900 escrito en notación científica es nueve por 10 elevado a un exponente. 10 al cuadrado es 100. Y nueve por 100 es 900. Tres por 300 expresado en notación científica es nueve por 10 al cuadrado.

Otro método sería reescribir tres por 300 como tres por tres por 100. Tres por tres es nueve. 100 es igual a 10 elevado a dos, o 10 al cuadrado. De nuevo, hemos obtenido la misma respuesta, nueve por 10 al cuadrado.

Repasemos lo que hemos aprendido en este vídeo sobre la notación científica. Un número está escrito en notación científica si tiene la forma 𝑎 por 10 elevado a 𝑏. El valor absoluto de 𝑎 debe ser menor que 10 y mayor o igual a uno. Y 𝑏 será un entero positivo o negativo. Será positivo para números grandes y negativo para números pequeños.

Para escribir un número en notación científica, primero tenemos que hallar 𝑎 y luego 𝑏. 𝑎 es el número que tiene exactamente las mismas cifras no nulas que el número original pero de tal manera que el valor absoluto de 𝑎 es menor que 10 y mayor o igual a uno. 𝑏 es el número de lugares que ha de moverse el punto o la coma decimal para pasar de su posición en 𝑎 a su posición en el número original. 𝑏 será positivo para los números grandes y negativo para los números pequeños. Por ejemplo, el número 237000 escrito en notación científica es 2.37 por 10 elevado a cinco. Análogamente, 0.00067 es 6.7 por 10 elevado a menos cuatro.

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