Vídeo: Optimización usando derivadas

En este video, vamos a aprender cómo aplicar derivadas a problemas del mundo real que requieren optimizar una función con determinadas restricciones.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a ver una de las aplicaciones prácticas de la derivación, los problemas de optimización. Es decir, problemas en donde nos piden determinar el valor máximo o el valor mínimo de una función dada, la cual puede representar tiempo, área, perímetro u otra magnitud. Podremos responder preguntas como cuál es el área máxima que puedo encerrar con una longitud dada de cercado o cuál es el punto más alto alcanzado por un proyectil que sigue una curva dada. En algunos ejemplos, también veremos cómo formar la función de optimización y cualquier restricción a partir de una descripción del problema.

Primeramente, recordemos algunos de los hechos básicos sobre el uso de las derivadas para hallar los puntos críticos de una función. Los puntos críticos de una función son aquellos de su dominio, en donde su primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es igual a cero o no está definida. Para hallar el valor de 𝑥 en los puntos críticos, podemos derivar la función para hallar su pendiente, igualarla a cero y resolver la ecuación resultante. Podemos hallar el valor de la función en los puntos críticos sustituyendo nuestro valor o valores de 𝑥 en la función.

También debemos recordar cómo comprobar si nuestro punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo aplicando el criterio de la segunda derivada. Recordemos que, en un máximo local, la segunda derivada 𝑓 doble prima de 𝑥 será negativa, mientras que en un mínimo local, la segunda derivada 𝑓 doble prima de 𝑥 será positiva. Ahora vamos a ver cómo aplicar estos principios básicos a problemas de optimización.

Se lanza un proyectil al aire. Su altura, en metros, como una función del tiempo está dada por ℎ de 𝑡 igual a menos 4.9𝑡 al cuadrado más 229𝑡 más 234. Halla la altura máxima que alcanza el proyectil.

Aquí nos han dado una ecuación para la altura ℎ del proyectil en términos del tiempo 𝑡. Y nos piden determinar la altura máxima que alcanza el proyectil. Debemos seguir unos pasos clave para poder resolver esto. Primero, necesitamos hallar una expresión para la primera derivada de una función. En este caso, es ℎ prima de 𝑡. Aplicando la regla de la potencia para la derivación, vemos que ℎ prima de 𝑡 es igual a menos dos multiplicado por 4.9𝑡 más 229, que se simplifica a menos 9.8𝑡 más 229.

Después, recordamos que, en los puntos críticos de la función, la primera derivada es igual a cero. Así que, tomamos la expresión que hemos hallado para ℎ prima de 𝑡, la igualamos a cero y después resolvemos la ecuación resultante para 𝑡. Añadimos 9.8𝑡 a ambos lados de la ecuación y después dividimos por 9.8 y obtenemos que 𝑡 es igual a 229 sobre 9.8, que, en forma decimal, es 23.36734, o 23.37 redondeado a dos cifras decimales. Por lo tanto, este es el valor de 𝑡 en el cual nuestra función ℎ de 𝑡 tiene un punto crítico. Aún no sabemos si es un máximo. Y todavía no sabemos la altura que el proyectil alcanza en este punto.

Nuestro próximo paso, es evaluar la función ℎ de 𝑡 cuando 𝑡 es igual a 23.37. Sustituyendo los valores en nuestra expresión para ℎ de 𝑡 obtenemos ℎ de 23.37 igual a menos 4.9 multiplicado por 23.37 al cuadrado más 229 multiplicado por 23.37 más 234. Lo que resulta en 2909.56119 o 2909.56 con dos cifras decimales. Esta será, pues, la altura máxima que el proyectil puede alcanzar, y esto solo ocurre en el punto crítico de la función. Pero debemos comprobar que es un máximo.

Para hacer esto, realizamos la prueba de la segunda derivada. Vamos a evaluar la segunda derivada de ℎ, doble prima de 𝑡, en este punto crítico. Derivando nuestra expresión para ℎ prima de 𝑡, la cual era menos 9.8𝑡 más 229, hallamos que ℎ doble prima de 𝑡 es igual a menos 9.8. Y, de hecho, no necesitamos evaluar la segunda derivada cuando 𝑡 es igual 23.37 porque es una constante. La segunda derivada es la misma para todos los valores de 𝑡.

Pero notamos que este valor es negativo. Y, por lo tanto, según la prueba de la segunda derivada, nuestro punto crítico es un máximo. Lo cierto es que sola podríamos haber anticipado esto observando que la expresión que nos dieron para ℎ en términos de 𝑡 es una expresión cuadrática con un coeficiente principal negativo. Por lo tanto, la gráfica, como función de 𝑡, de ℎ es una parábola invertida. Y sabemos que tendrá un punto máximo en lugar de un mínimo. Así que podemos concluir que la altura máxima que alcanza el proyectil, que hemos confirmado es un máximo, es 2909.56 metros, redondeado a dos cifras decimales.

Ahora, no es necesario señalar en esta pregunta que cada una de las derivadas tiene además interpretaciones prácticas. La primera derivada de la función, que es menos 9.8𝑡 más 229, es la velocidad del proyectil, la cual disminuye a medida que el tiempo incrementa. La segunda derivada, que es la constante menos 9.8, es la aceleración del cohete, o de hecho la desaceleración. La cual vemos que es igual a menos 9.8 metros por segundo al cuadrado. Y esta es la desaceleración por gravedad.

En este problema, nos han dado la función que necesitamos optimizar. Pero, suele ser más común en problemas de optimización que nosotros mismos debamos crear las funciones basándonos en una descripción dada. Veamos cómo funciona esto en nuestro siguiente ejemplo.

Halla dos números cuya suma es 156 y la suma de cuyos cuadrados es la menor posible.

Supongamos que estos números, que aún no conocemos, son 𝑥 y 𝑦. Ahora podemos expresar el hecho de que su suma es 156 haciendo 𝑥 más 𝑦 igual a 156. Queremos minimizar la suma de sus cuadrados, a la que llamaremos 𝑠. 𝑠 es igual a 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. Para poder hacer esto, necesitamos hallar los valores de 𝑥 y de 𝑦 para los cuales la razón de cambio de 𝑠 con respecto a 𝑥 o a 𝑦, es igual a cero. Lo que significa que necesitamos derivar 𝑠 con respecto a 𝑥 o con respecto a 𝑦.

Primero, sin embargo, necesitamos escribir 𝑠 solo en términos de una variable. La elección es completamente arbitraria en este problema. Pero vamos a reorganizar nuestra primera ecuación para obtener 𝑦 es igual a 156 menos 𝑥 y luego sustituir esta expresión para 𝑦 en nuestra ecuación para 𝑠 para obtener una ecuación solo en términos de 𝑥. Desarrollando los paréntesis y luego simplificando, hallamos𝑠 igual a 𝑥 al cuadrado menos 312𝑥 más 24336.

Recordemos que queremos minimizar la suma de los cuadrados, así que necesitamos hallar los puntos críticos de 𝑠. Para hacer esto necesitamos hallar en dónde la primera derivada de 𝑠 con respecto a 𝑥, que es d𝑠 por d𝑥, es igual a cero. Podemos usar la regla de la potencia para hallar la primera derivada. Y vemos que d𝑠 por d𝑥 es igual a cuatro 𝑥 menos 312. Y ahora podemos igualar esta derivada a cero y resolver 𝑥. Primero sumamos 312 a cada lado y después dividimos por cuatro, obteniendo como resultado 𝑥 igual a 78.

Así hemos hallado el valor de 𝑥 en el cual 𝑠 tiene un punto crítico. Pero hay dos cosas que necesitamos hacer. Enseguida vamos a confirmar si es en realidad un mínimo. Pero primero, necesitamos hallar el valor de 𝑦, lo cual podemos hacer sustituyendo el valor de 𝑥 en nuestra ecuación lineal. Vemos que 𝑦 es igual a 156 menos 78, que es igual a 78.

Para confirmar que este punto crítico es un mínimo. Necesitamos hallar la segunda derivada de la función 𝑠 con respecto a 𝑥. Derivando d𝑠 por d𝑥 obtenemos que d dos 𝑠 por d𝑥 al cuadrado es igual a cuatro. La segunda derivada de 𝑠 con respecto a 𝑥 es, por tanto, una constante para todos los valores de 𝑥. Pero, y esto es importante, es positiva, lo que confirma que este punto crítico es, verdaderamente, un mínimo. Los dos números cuya suma es 156 y que tienen la mínima suma de cuadrados son 78 y 78.

En este ejemplo, hemos visto cómo formular la función de optimización aplicando las restricciones y cualquier otra información dada en la pregunta. Ahora vamos a volver a hacer esto con un ejemplo más práctico.

Se utiliza un alambre de 41 centímetros de largo para hacer un rectángulo. ¿Qué dimensiones dan su área máxima?

Es importante que no solo intentemos prueba y error aquí. Necesitamos usar un método de optimización apropiado para hallar las dimensiones que nos dan el área más extensa posible para este rectángulo, sujeto a la restricción de que solo tenemos 41 centímetros de alambre.

Consideremos un rectángulo que mide de largo 𝑙 centímetros y de ancho 𝑤 centímetros. Necesitamos maximizar su área, la cual, para un rectángulo, es largo multiplicado por ancho. Sujeta a la restricción de que el perímetro de este rectángulo debe ser igual a 41. El perímetro de un rectángulo es dos veces su largo más dos veces su ancho. De modo que tenemos la condición dos 𝑙 más dos 𝑤 es igual a 41.

Ahora, para poder maximizar esta área, vamos a necesitar usar la derivada para hallar los puntos críticos de esta función 𝐴. Pero antes de hacer esto, necesitamos escribir 𝐴 en términos de una sola variable. La elección de si usamos 𝑙 o 𝑤 es completamente arbitraria. Así que elegimos reorganizar la ecuación lineal para obtener 𝑙 igual a 41 menos dos 𝑤 sobre dos. Sustituyendo esta expresión para 𝑙 en la formula del área obtenemos 𝐴 igual a 41 menos dos 𝑤 sobre dos multiplicado por 𝑤. Y desarrollando los paréntesis, tenemos 41𝑤 sobre dos menos 𝑤 al cuadrado.

Para hallar los puntos críticos de 𝐴, primero hallamos su derivada, d𝐴 por d𝑤, la cual, usando la regla de la potencia para la derivación, es igual a 41 sobre dos menos dos 𝑤. Igualamos esta expresión a cero y resolvemos la ecuación resultante para 𝑤. Añadimos 𝑤 a ambos lados y después dividimos por dos, obteniendo que 𝑤 es igual a 41 sobre cuatro. Entonces, hemos encontrado el ancho de el rectángulo en el que el área tiene un punto crítico.

También necesitamos hallar la longitud, lo cual hacemos sustituyendo este valor de 𝑤 en nuestra expresión para 𝑙, y hallamos 41 menos dos por 41 sobre cuatro, todo sobre dos. Que se simplifica a 41 sobre cuatro. Sin embargo, aún no hemos terminado. Sabemos que estos valores de 𝑤 y de 𝑙 nos dan un punto crítico para el área. Pero aún no hemos confirmado si es, verdaderamente, un máximo. Para verificarlo, realizaremos la prueba de la segunda derivada. Obtenemos d dos 𝐴 por d𝑤 al cuadrado, lo cual es igual a menos dos.

Ahora bien, esta es una constante para todos los valores de 𝑤. Pero más específicamente, una constante negativa. Como la segunda derivada es menor que cero, esto confirma que nuestro punto crítico es, verdaderamente, un máximo. Así que, hemos hallado que el largo y el ancho que dan a este rectángulo su área máxima, sujeto a la restricción dada para su perímetro, en forma decimal, son ambos 10.25 centímetros.

Nos damos cuenta de que el largo y el ancho de este rectángulo miden lo mismo, lo que lo convierte en un cuadrado. Esto ilustra un punto general en los problemas de optimización en los que buscamos maximizar un área con respecto a una restricción de longitud. El área máxima se alcanza cuando las dimensiones son lo más similares posible, por ejemplo, cuando la razón entre las dimensiones es lo más cercana posible a uno.

En el caso de un problema que involucra un rectángulo, la figura siempre terminará siendo un cuadrado. Pero, por supuesto, debemos realizar todos los cálculos. Para poder demostrarlo. En nuestro ejemplo final, vamos a ver cómo maximizar la suma de los volúmenes de dos cuerpos geométricos sujetos a una restricción de área.

Sabiendo que la suma de las áreas de una esfera y un cilindro recto es 1000𝜋 centímetros cuadrados, y que sus radios son iguales, halla el radio de la esfera que hace que la suma de sus volúmenes alcance su valor máximo.

En esta pregunta, nos piden maximizar la suma de los volúmenes de dos sólidos geométricos, sujetos a una restricción sobre la suma de sus áreas. Comencemos por escribir las fórmulas para el área de la esfera y del cilindro. Y puesto que sus radios son los mismos, podemos usar la misma letra 𝑟 para ambos. Para la esfera, primero, su área está dada por cuatro 𝜋𝑟 al cuadrado. Para el cilindro, su área está dada por dos 𝜋𝑟 al cuadrado más dos 𝜋𝑟ℎ, en donde ℎ representa la altura del cilindro.

Como la suma de estas superficies es 1000𝜋 centímetros cuadrados, podemos formar una ecuación, cuatro 𝜋𝑟 al cuadrado más dos 𝜋𝑟 al cuadrado más dos 𝜋𝑟ℎ igual a 1000𝜋. Entonces podemos combinar los términos similares en el lado izquierdo y después dividirlos por 𝜋, ya que este es un factor común en todos los términos. Podemos también dividir por dos, ya que todos los coeficientes son pares, para obtener tres 𝑟 al cuadrado más 𝑟ℎ es igual a 500. No podemos hacer nada más con esta ecuación en este punto, ya que tenemos dos incógnitas 𝑟 y ℎ. Así que, ahora, hacemos uso de las fórmulas para el volumen de una esfera y el volumen de un cilindro.

El volumen de una esfera es cuatro tercios multiplicado por 𝜋 multiplicado por su radio al cubo. Y el volumen de un cilindro es 𝜋 multiplicado por su radio al cuadrado por su altura. Tenemos, pues, que el volumen total de estas figuras es cuatro tercios 𝜋𝑟 al cubo más 𝜋𝑟 al cuadrado ℎ. Queremos maximizar la suma de estos volúmenes, 𝑉 total. Ahora, esto se maximiza cuando su razón de cambio con respecto a 𝑟 o ℎ es igual a cero, lo que sucederá cuando su primera derivada sea igual a cero. Pero antes de poder derivar, necesitamos expresar 𝑉 total en términos de una sola variable.

Es mucho más sencillo reorganizar nuestra restricción de área para obtener una expresión para ℎ en términos de 𝑟 que una expresión para 𝑟 en términos de ℎ. Tenemos que ℎ es igual a 500 menos tres 𝑟 al cuadrado sobre 𝑟. Podemos sustituir esta expresión para ℎ en nuestra expresión para el volumen total, de modo que esté en términos de 𝑟 solamente. Podemos cancelar un factor de 𝑟 en el segundo término y después desarrollar los paréntesis obteniendo cuatro tercios 𝜋𝑟 al cubo más 500𝜋𝑟 menos tres 𝜋𝑟 al cubo. Y obtenemos una expresión para 𝑉 total en términos de 𝑟 solamente.

A continuación, necesitamos hallar la primera derivada, d𝑉 total por d𝑟, y por eso vamos a crear un poco de espacio para hacerlo. Aplicando la regla de las potencias para la derivada, vemos que la derivada de 𝑉 total con respecto a 𝑟 es igual a cuatro tercios 𝜋 multiplicado por tres 𝑟 al cuadrado más 500𝜋 menos tres 𝜋 multiplicado por tres 𝑟 al cuadrado, lo que se simplifica a 500𝜋 menos cinco 𝜋𝑟 al cuadrado. El siguiente paso, para hallar los puntos críticos, consiste en igualar a cero esta derivada y resolver para 𝑟.

Podemos dividir por cinco 𝜋, obteniendo cero igual a 100 menos 𝑟 al cuadrado. Sumando 𝑟 al cuadrado a ambos lados nos da 𝑟 al cuadrado igual a 100. Y entonces hallamos 𝑟 aplicando la raíz cuadrada. Solo necesitamos tomar la raíz cuadrada positiva ya que el radio de una figura sólida debe ser un valor positivo. Podemos ver que 𝑟 es igual a 10. Ahora sabemos que el volumen combinado de estas dos figuras tiene un punto crítico cuando el radio es igual a 10. Pero ahora debemos confirmar que es un máximo.

Hacemos la prueba de la segunda derivada. Derivamos nuestra expresión para d𝑉 total por d𝑟 una vez más, con respecto a 𝑟, y obtenemos menos 10𝜋𝑟. Y evaluando esto cuando 𝑟 es igual a 10 obtenemos menos 100𝜋. Esto es negativo, lo que confirma que el punto crítico es, verdaderamente, un máximo. Así que hemos hallado que el radio tanto de la esfera como el radio del cilindro recto que maximiza la suma de sus volúmenes, sujeto a la restricción de área es 10 centímetros.

Resumamos los puntos clave que hemos visto en este video. Primero, los principios fundamentales de derivación pueden ser aplicados a problemas de optimización. Es decir, problemas en los que queremos hallar el valor máximo o el valor mínimo de una función. Sabemos que los puntos críticos de una función ocurren cuando su primera derivada es igual a cero o no está definida. Una vez que hemos hallado un punto crítico, siempre debemos confirmar que es realmente un máximo o un mínimo, realizando la prueba de la segunda derivada. Y como hemos visto, puede ser necesario que tengamos que formular la función con las restricciones dadas a partir de una descripción del problema.

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