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Vídeo de la lección: Número de resultados usando números combinatorios Matemáticas • Duodécimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo usar combinaciones para resolver problemas en los que hay que contar los resultados de un experimento aleatorio.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo usar combinaciones para resolver problemas en los que hay que contar los resultados de un experimento aleatorio. Una combinación es una reorganización de un conjunto de elementos. Digamos que tenemos, por ejemplo, las letras A, B, C y D. Podemos organizar las letras de dos en dos como AB, BC, CD, etc. Cada arreglo es una combinación. El orden no importa, así que AB es lo mismo que BA. Pero, si el orden importara, en realidad estaríamos calculando una variación y, por lo tanto, la fórmula sería diferente. Así que es muy importante tener claro si se trata de combinaciones o de variaciones antes de resolver problemas de este tipo. Tenemos que calcular el número de combinaciones. Para ayudarnos a hallar una fórmula, vamos a considerar un ejemplo.

La profesora de Olivia le pidió que escogiera cinco de los ocho temas que se le habían dado. ¿Cuántos grupos distintos de cinco temas puede elegir?

Para resolver este problema hemos de hallar el número de formas que hay de elegir cinco elementos de un grupo de ocho. Y la diferencia con las variaciones es que el orden en el que se eligen no importa. Por ejemplo, digamos que tres de los temas que puede elegir son fracciones, números decimales y porcentajes. Puede elegir primero las fracciones, luego los números decimales y por último los porcentajes. O puede elegir primero las fracciones, luego los porcentajes y por último los números decimales. Si enumeramos todos estos resultados, vemos que hay seis formas distintas en las que puede elegir los tres temas. Y, en este caso, elegir fracciones, números decimales y porcentajes es lo mismo que elegirlos en cualquier otro orden. Cuando elegimos un grupo de elementos de un grupo más grande, lo llamamos combinación.

Para hallar una fórmula, comenzaremos pensando en las variaciones. Aquí el orden sí importa. En nuestro ejemplo de antes, hay seis variaciones pero solo hay una combinación. Sabemos que 𝑛𝑃𝑟 es el número de formas que hay de elegir 𝑟 elementos de un grupo de 𝑛 elementos donde el orden sí importa. Recordemos que la fórmula que usamos para calcular 𝑛𝑃𝑟 es 𝑛 factorial partido entre 𝑛 menos 𝑟 factorial. En este caso, lo que queremos hallar es la cantidad de formas que hay de elegir cinco temas de un total de ocho. Así que vamos a calcular ocho 𝑃 cinco. Hacemos 𝑛 igual a ocho y 𝑟 igual a cinco, y obtenemos que el número de variaciones aquí es ocho factorial partido entre ocho menos cinco factorial. Eso es ocho factorial partido entre tres factorial, que es 6720.

De esta forma hemos hallado que, cuando el orden sí importa, hay 6720 formas de elegir cinco de los ocho temas que se dan. Pero sabemos que en este caso el orden no importa. Así que tenemos que hallar una forma de deshacernos de las variaciones adicionales. Consideremos de nuevo nuestro ejemplo anterior en el que teníamos que elegir solo tres temas. Para elegir tres temas de un total de seis cuando el orden importa, calculamos seis 𝑃 tres, que nos da el número de variaciones.

Para deshacernos de las variaciones adicionales, tenemos que dividir por tres factorial, pues vamos a elegir tres temas. Eso es seis dividido por tres factorial, o seis dividido por seis, que es uno. Y obtenemos la única combinación que sabemos que estábamos esperando. En este caso, como son cinco temas, vamos a dividir ocho 𝑃 cinco por cinco factorial. Y obtenemos una respuesta de 56. Olivia puede elegir 56 grupos distintos de cinco temas de un total de ocho.

Y de esta forma llegamos a una fórmula. Cuando hallamos el número de combinaciones, este debe ser menor que el número total de variaciones. Y para tener en cuenta el número de veces adicionales que, al calcular las variaciones, hemos contado el mismo conjunto de 𝑟 elementos, dividimos el número de variaciones por 𝑟 factorial. Obtenemos que 𝑛 combinación 𝑟, el número de formas que hay de elegir 𝑟 elementos de un conjunto de 𝑛 elementos cuando el orden no importa, es igual a 𝑛𝑃𝑟 partido por 𝑟 factorial. Vamos a dar la definición formal de esto. El número de formas que hay de escoger 𝑟 elementos de un grupo de 𝑛 elementos cuando el orden no importa es igual al número de combinaciones. Lo denotamos como 𝑛 combinación 𝑟, y es igual a 𝑛𝑃𝑟 partido por 𝑟 factorial, que es igual a 𝑛 factorial partido entre 𝑟 factorial por 𝑛 menos 𝑟 factorial.

Los números 𝑛𝐶𝑟 también son conocidos como números combinatorios o coeficientes binomiales. Y, dependiendo de cuál sea la región en la que estudies, encontrarás para ellos una notación, o varias. Dicho esto, pasemos a ver un ejemplo en el que tendremos que aplicar esta fórmula.

Los nombres de cuatro alumnos se escriben en una hoja de papel cada uno, y las hojas son luego puestas en un sombrero. Sabiendo que dos nombres son seleccionados al azar del sombrero, determina el número de todas las selecciones posibles de dos nombres.

Queremos calcular el número de formas que hay de elegir dos nombres de un total de cuatro. Y, para ello, hemos de determinar primero si vamos a calcular el número de combinaciones o el número de variaciones. Optaremos por una opción u otra en función de si el orden importa o no. Es decir, si elegimos de un grupo de elementos y decimos que el orden no importa, entonces se trata de una combinación. Pero, si el orden sí importa, entonces tenemos una variación.

Veamos lo que sucede cuando seleccionamos los dos nombres del sombrero. Supongamos que los dos nombres que sacamos del sombrero son Ali y Ben. No importa si elegimos Ali primero y luego Ben o si elegimos Ben primero y luego Ali. Esto significa que estamos calculando el número de combinaciones. Es decir, aquí el orden no importa. Recordemos pues la fórmula de las combinaciones. Para calcular el número de combinaciones al elegir 𝑟 elementos de una colección de 𝑛 elementos, hallamos 𝑛 combinación 𝑟, que es igual a 𝑛𝑃𝑟 dividido por 𝑟 factorial.

Pero conviene hacer uso de la fórmula modificada 𝑛 factorial partido entre 𝑟 factorial por 𝑛 menos 𝑟 factorial. Sabemos que 𝑛 es el número total de elementos de la colección. En este caso son los nombres de los alumnos. Hay cuatro alumnos, así que 𝑛 es igual a cuatro. Y elegimos dos nombres del sombrero. Así que 𝑟 es igual a dos. Por lo tanto, el número total de formas que hay de elegir estos nombres viene dado por cuatro sobre dos.

Sustituimos esto en la fórmula, y obtenemos cuatro factorial partido entre dos factorial por cuatro menos dos factorial. Que se simplifica a cuatro factorial partido entre dos factorial por dos factorial. Y como dos factorial es dos por uno, obtenemos dos, y como cuatro factorial puede escribirse como cuatro por tres por dos factorial, vemos que podemos dividir por un factor común de dos y otro factor de dos. Así que cuatro combinación dos es igual a dos por tres partido por uno. Que es seis. Por lo tanto, hay un total de seis formas distintas de sacar los dos nombres del sombrero.

Ahora vamos a aplicar la misma fórmula para resolver un problema de conjuntos.

Sea 𝑋 mayúscula el conjunto de los números 𝑥 tales que 𝑥 es un número entero mayor o igual que 10 y menor o igual que 16, y 𝑦 es el conjunto de los conjuntos con dos números 𝑎 y 𝑏, tales que 𝑎 y 𝑏 son elementos del conjunto 𝑋 y 𝑎 no es igual a 𝑏. Determina el valor de 𝑛 de 𝑦, siendo 𝑛 de 𝑦 el número de elementos en 𝑦.

Como se nos pide hallar el número de elementos del conjunto 𝑦, vamos a observar el conjunto 𝑦 con más detalle. Nos interesan los dos elementos 𝑎 y 𝑏, que son en sí mismos un elemento del conjunto 𝑋. Podemos ver que el conjunto 𝑋 contiene los números enteros que son mayores o iguales que 10 y menores o iguales que 16. Es decir, el conjunto 𝑋 está formado por los elementos 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16. Hay un total de siete elementos en el conjunto 𝑋. Así que este es el número de elementos del que vamos a elegir.

El enunciado nos dice que 𝑎 no es igual a 𝑏. Tenemos que hallar el número de formas que hay de elegir dos elementos distintos de 𝑋 donde el orden no importa. Es decir, estamos contando el número de resultados de un experimento aleatorio. Esto significa que 𝑛 de 𝑦, el número de elementos en el conjunto 𝑦, debe ser igual a siete combinación dos. La fórmula de 𝑛 combinación 𝑟 es 𝑛 factorial partido entre 𝑟 factorial por 𝑛 menos 𝑟 factorial. Haciendo 𝑛 igual a siete y 𝑟 igual a dos, podemos reescribir siete elegir dos de la siguiente manera. Obtenemos siete factorial partido entre dos factorial por siete menos dos factorial. El denominador de esta expresión se simplifica a dos factorial por cinco factorial. Seguidamente reescribimos siete factorial como siete por seis por cinco factorial. Y dos factorial es dos por uno, que es dos.

Así que podemos dividir por el factor común de cinco factorial, y también podemos dividir por dos. De esta forma, siete sobre dos se simplifica a siete por tres dividido por uno, que es 21. Así, al establecer que 𝑛 de 𝑦 es igual al número de formas que hay de elegir dos elementos de un total de siete donde el orden no importa, hemos hallado que el número de elementos del conjunto 𝑦 es 21.

También podemos aplicar esta fórmula más de una vez a un problema de combinatoria. Demostremos esto.

En una clase hay 14 niños y 13 niñas. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un grupo de ocho personas de la clase de modo que todos los miembros del equipo sean del mismo sexo?

Vamos a seleccionar un equipo de ocho personas, y se nos dice que todos los miembros del equipo han de ser del mismo sexo. Es decir, o elegimos ocho niños de un total de 14 o elegimos ocho niñas de un total de 13. El orden aquí no importa. Podemos elegir a los ocho niños o a las ocho niñas en cualquier orden. Y, como hemos visto, cuando el orden no importa, tenemos una combinación. Y, si elegimos 𝑟 elementos de un total de 𝑛 elementos donde el orden no importa, el número de opciones es 𝑛 combinación 𝑟. Eso está dado por 𝑛 factorial sobre 𝑟 factorial por 𝑛 menos 𝑟 factorial.

Apliquemos esta fórmula a ambos grupos de niños y niñas. Estamos eligiendo a ocho niños de un total de 14. Eso es 14 combinación ocho. Sustituimos 𝑛 igual a 14 y 𝑟 igual a ocho en la fórmula, y obtenemos 14 factorial partido entre ocho factorial por 14 menos ocho factorial. Eso es 3003. Así que hay 3003 formas de elegir a ocho niños de un grupo de 14. Cuando elegimos a ocho niñas de un total de 13, el número de opciones es 13 combinación ocho. Esta vez, obtenemos 13 factorial partido entre ocho factorial por 13 menos ocho factorial, que es 1287.

Hemos hallado el número de formas que hay de elegir ocho niños y el número de formas que hay de elegir ocho niñas. Así que, para hallar el número de formas de elegir ocho niños u ocho niñas, tenemos que calcular la suma de ambos valores. Sumamos 3003 más 1287, y obtenemos 4290. Hay 4290 formas de elegir un equipo de ocho personas del mismo sexo de este grupo.

En el último problema se nos pide hallar el valor de una incógnita cuando conocemos el número total de combinaciones.

En una universidad, había 120 formas de seleccionar a 119 estudiantes para que asistieran a un seminario. Determina el número de estudiantes que hay en la universidad.

Para resolver este problema comenzamos haciendo 𝑛 igual al número total de estudiantes. Se nos dice que hay 120 formas de seleccionar a 119 estudiantes. Y como suponemos que todos los estudiantes seleccionados asistirán al mismo seminario, el orden no importa. Como hemos visto, cuando el orden no importa, calculamos el número de combinaciones. El número de formas que hay de elegir 119 estudiantes de entre 𝑛 estudiantes cuando el orden no importa es 𝑛 combinación 119. Se nos dice que esto es igual a 120. Usemos la fórmula 𝑛 sobre 𝑟 igual a 𝑛 factorial partido por 𝑟 factorial multiplicado por 𝑛 menos 𝑟 factorial para hallar una expresión diferente para 𝑛 sobre 119.

Sustituimos 𝑟 por 119, que equivale a 𝑛 factorial partido por 119 factorial por 𝑛 menos 119 factorial. Para ver lo que está pasando aquí, multiplicamos ambos lados de la ecuación por 119 factorial. Y obtenemos que el lado derecho es 120 por 119 factorial.

Pensemos ahora en otras forma de expresar el miembro izquierdo. Como estamos dividiendo 𝑛 factorial, que es 𝑛 por 𝑛 menos uno por 𝑛 menos dos, y así sucesivamente, por 𝑛 menos 119 factorial, cancelamos un factor de 𝑛 menos 119. Y obtenemos 𝑛 por 𝑛 menos uno hasta 𝑛 menos 118. En el lado derecho, 120 por 119 factorial equivale a 120 factorial. Eso es 120 por 119 hasta dos por uno. Tenemos una ecuación, pero hemos de andarnos con ojo aquí. Pues, si te fijas, en el lado izquierdo de la ecuación tenemos 119 términos, mientras que en el lado derecho tenemos 120. Pero el lado izquierdo equivale a multiplicar 𝑛 por 𝑛 menos uno hasta 𝑛 menos 118 y luego multiplicar eso por uno.

Así que ya tenemos dos expresiones equivalentes que tienen el mismo número de términos. Vamos a igualar el término más grande de cada expresión. Al hacerlo, obtenemos 𝑛 igual a 120. También podemos igualar el segundo término más grande, obteniendo 𝑛 menos uno igual a 119. Despejamos 𝑛, y obtenemos que 𝑛 es igual a 120. Repitiendo este procedimiento para el segundo término más pequeño en cada lado, obtenemos que 𝑛 menos 118 es igual a dos, que es lo mismo que decir que 𝑛 es igual a 120. Así, hemos hallado que hay 120 alumnos en la universidad.

Repasemos los puntos clave de esta lección. En esta lección hemos aprendido que las combinaciones son los grupos de 𝑟 elementos de una colección de 𝑛 elementos cuando el orden no importa. Y que la fórmula que usamos para hallar el número de combinaciones, 𝑛 sobre 𝑟, es 𝑛 factorial partido entre 𝑟 factorial por 𝑛 menos 𝑟 factorial. También hemos visto que hay diferentes notaciones para combinaciones.

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