Vídeo: Simplificar expresiones algebraicas con raíces cúbicas y potencias enteras

Un contenedor de forma cúbica tiene una capacidad de 512𝑥⁹𝑦²⁷. Determina la longitud de sus aristas.

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Transcripción del vídeo

Un contenedor de forma cúbica tiene una capacidad de 512 𝑥 elevado a nueve por 𝑦 elevado a 27. Determina la longitud de sus aristas.

Puesto que estamos hablando de la capacidad de un cubo, nos estamos refiriendo al volumen de un cubo. La fórmula para calcular el volumen de un cubo es 𝑉 igual a 𝑆 al cubo, donde 𝑉 es el volumen y 𝑆 es la longitud de los lados. Como estamos tratando de hallar la longitud de los lados, vamos a operar un poco y a reescribir esta expresión.

Vamos a operar un poco y despejar 𝑆 en la ecuación, pues al final vamos a hallar 𝑆, la longitud de los lados. Por supuesto, ya conocemos el volumen de este contenedor de forma cúbica. Se nos dice que es 512 𝑥 elevado a nueve por 𝑦 elevado a veintisiete. Vamos a escribir esto para 𝑉.

Queremos hallar una expresión para el lado, así que tenemos que despejar la 𝑆, que significa dejarla sola en uno de los lados de la ecuación. Puesto que 𝑆 está elevada al cubo, tenemos que hacer lo contrario; tenemos que calcular la raíz cúbica. Así que vamos a calcular la raíz cúbica de ambos lados de la ecuación.

Para 𝑆, la raíz cúbica se deshace del cubo, y queda la 𝑆 sola. Y podemos separar esto en el lado derecho, y queda la raíz cúbica de 512 por la raíz cúbica de 𝑥 elevado a nueve por la raíz cúbica de 𝑦 elevado a veintisiete.

La razón de hacer esto es porque cada uno de estos son cubos perfectos. Así que, si podemos separarlos en cubos perfectos, la simplificación será mucho más fácil. 512 es lo mismo que ocho por ocho por ocho. Lo hemos transformado en algo donde podemos multiplicar las bases iguales.

Ahora hacemos lo mismo con 𝑥 elevado a nueve. Tenemos la base igual de 𝑥 y es 𝑥 al cubo por 𝑥 al cubo por 𝑥 al cubo, pues tres más tres más tres es nueve; sumamos los exponentes cuando multiplicamos. Y pasa lo mismo con 𝑦 elevado a veintisiete, nueve más nueve más nueve es 27.

El motivo por el que hacemos esto es porque, cuando tenemos un número que se multiplica por sí mismo tres veces, eso es lo que quiere decir elevar un número al cubo, así que ocho por ocho por ocho es ocho al cubo; 𝑥 al cubo por 𝑥 al cubo por 𝑥 al cubo es 𝑥 al cubo al cubo; 𝑦 a la novena por 𝑦 a la novena por 𝑦 a la novena es 𝑦 a la novena al cubo.

¿Por qué es esto útil? Bueno, si hacemos la raíz cúbica de algo elevado al cubo, los exponentes se cancelan entre sí.

Así que la longitud de los lados será ocho por 𝑥 al cubo por 𝑦 a la novena, y, por lo tanto, la longitud de un lado es ocho 𝑥 al cubo por 𝑦 a la novena.

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