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Vídeo de la lección: Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales Matemáticas • Octavo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales dibujando sus gráficas y hallando el punto de intersección.

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Transcripción del vídeo

>En este vídeo vamos a aprender cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales dibujando sus gráficas y hallando el punto de intersección.

Antes de comenzar, conviene recordar que una ecuación lineal es aquella en la que el exponente más alto de las incógnitas es uno y en la que no hay términos con incógnitas que se están multiplicando. Por ejemplo, la ecuación dos 𝑥 más 𝑦 igual a seis es una ecuación lineal. Un sistema de dos ecuaciones lineales es simplemente un par de ecuaciones de esta forma. Por ejemplo, si tenemos también la ecuación 𝑥 más 𝑦 igual a dos, ya tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales, que también se conoce como par de ecuaciones lineales simultáneas.

Existe una gran variedad de métodos que podemos usar para resolver estos sistemas de ecuaciones. No obstante, en este vídeo solo vamos a demostrar el método gráfico. Por tanto, las dos letras que vamos a usar para representar las incógnitas van a ser a menudo 𝑥 e 𝑦, pero no siempre tiene que ser así. La solución de un sistema de ecuaciones lineales puede hallarse dibujando las dos rectas representadas por estas ecuaciones e identificando seguidamente las coordenadas de su punto de intersección. Esto se debe a que este punto se encuentra en ambas rectas, y, por lo tanto, satisface ambas ecuaciones simultáneamente.

En el primer ejemplo vamos a repasar cómo se halla la ecuación de una recta a partir de su gráfica. Esto nos permitirá, a su vez, identificar los sistemas de ecuaciones lineales que pueden resolverse usando una gráfica dada.

¿Cuál de los siguientes pares de ecuaciones simultáneas puede resolverse usando las gráficas mostradas? a) 𝑦 igual a dos 𝑥 menos cuatro y 𝑦 igual a 𝑥 más cinco. (b) 𝑦 igual a menos cuatro 𝑥 más dos y 𝑦 igual a cinco 𝑥 menos uno. (c) 𝑦 igual a dos 𝑥 menos cuatro y 𝑦 igual a menos 𝑥 más cinco. (d) 𝑦 igual a dos 𝑥 más cuatro y 𝑦 igual a menos 𝑥 más cinco. O (e) 𝑦 igual a menos cuatro 𝑥 más dos y 𝑦 igual a cinco 𝑥 más uno.

Se nos han dado las gráficas de dos rectas y se nos ha pedido que determinemos qué par de ecuaciones simultáneas podemos resolver usando estas gráficas. Esto significa que tenemos que determinar las ecuaciones de las dos rectas. Para ello, conviene que hablemos un poco sobre la ecuación de una recta en su forma explícita —también llamada forma pendiente-ordenada en el origen —, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏. Debemos recordar que el coeficiente de 𝑥, es decir, 𝑚, representa la pendiente de la recta. Y el término constante, es decir 𝑏, es la ordenada del punto de intersección de la gráfica con el eje de ordenadas, o sea, con el eje de las 𝑦. Es decir, ese es el valor de la coordenada 𝑦 del punto en el que la recta corta el eje de las 𝑦.

Consideremos primero la recta azul. Podemos ver que esta recta corta el eje de las 𝑦 en cinco, lo que significa que la ecuación de esta recta será de la forma 𝑦 igual a un número por 𝑥 más cinco. Para hallar la pendiente de la recta, el valor de 𝑚, podemos dibujar un triángulo con un ángulo recto en cualquier lugar por debajo de esta recta. Al hacerlo, vemos que por cada unidad que se desplaza la recta hacia la derecha, también se mueve una unidad hacia abajo. Como la pendiente de una recta puede hallarse calculando el cambio en 𝑦 dividido por el cambio en 𝑥, tenemos menos uno entre uno, que es menos uno. La ecuación de esta recta es, por lo tanto, 𝑦 igual a menos 𝑥 más cinco.

Muy bien, ya tenemos la ecuación de la primera recta. Consideremos ahora la recta roja. Y esta vez vemos que esta recta corta el eje de las 𝑦 en el punto de ordenada menos cuatro. La ecuación de esta recta será, por lo tanto, de la forma 𝑦 igual a un número por 𝑥 menos cuatro. Para calcular su pendiente, dibujamos también un triángulo con un ángulo recto en cualquier lugar por debajo de esta recta. Y esta vez, vemos que por cada unidad que la recta se desplaza hacia la derecha, se mueve dos unidades hacia arriba. La pendiente de la recta, cambio en 𝑦 sobre cambio en 𝑥, es, por lo tanto, dos sobre uno, que es dos. Por lo tanto, la ecuación de esta recta es 𝑦 igual a dos 𝑥 menos cuatro.

Si nos fijamos en las cinco opciones que tenemos aquí, podemos ver que esta combinación de ecuaciones de rectas es la opción (c) 𝑦 igual a dos 𝑥 menos cuatro y 𝑦 igual a menos 𝑥 más cinco. Aunque en realidad no se nos pide que resolvamos el par de ecuaciones simultáneas en este problema, podemos hacerlo inmediatamente hallando las coordenadas del punto de intersección de las rectas. Y vemos que las coordenadas de este punto son tres, dos. Por lo tanto, la solución de este par de ecuaciones simultáneas es 𝑥 igual a tres y 𝑦 igual a dos.

Veamos un segundo ejemplo.

Usa las gráficas mostradas para resolver las siguientes ecuaciones simultáneas. 𝑦 igual a cuatro 𝑥 menos dos y 𝑦 igual a menos 𝑥 más tres.

En primer lugar debemos asegurarnos de que las rectas que nos han dado son las gráficas correspondientes a estas dos ecuaciones lineales. Si nos fijamos en la recta azul en primer lugar, podemos ver enseguida que corta el eje de las 𝑦 en tres y que tiene una pendiente de menos uno. Así, sustituyendo estos valores en la ecuación de una recta en su forma pendiente-ordenada en el origen, obtenemos que la ecuación de la recta azul es 𝑦 igual a menos 𝑥 más tres. Esa es la segunda de las dos ecuaciones que nos han dado.

En el caso de la recta verde, vemos que corta el eje de las 𝑦 en menos dos y que tiene una pendiente de cuatro. Sustituimos estos valores en la ecuación explícita de una recta, y hallamos que la ecuación de esta recta es 𝑦 igual a cuatro 𝑥 menos dos. Esa es la primera ecuación que nos han dado.

Así que esta figura muestra estas dos ecuaciones gráficamente, y por lo tanto podemos usar las rectas para resolver las ecuaciones simultáneamente. La solución de este par de ecuaciones lineales simultáneas serán las coordenadas del punto de intersección de las rectas. Es decir, ese es el punto donde las dos rectas se cortan. A partir del gráfico vemos que las rectas se intersectan en este punto de aquí. Y es un punto con coordenadas enteras. La coordenada 𝑥 es uno, y la coordenada 𝑦 es dos. La solución de este par de ecuaciones simultáneas es, por lo tanto, 𝑥 igual a uno y 𝑦 igual a dos.

Podemos comprobar nuestra respuesta sustituyendo este par de valores de 𝑥 y de 𝑦 en cada ecuación y confirmando que efectivamente satisfacen ambas ecuaciones. Aunque podemos ver claramente en el gráfico que este punto se encuentra en ambas rectas.

En el siguiente ejemplo tendremos que dibujar la gráfica de las dos ecuaciones que vamos a resolver. Y para ello debemos acordarnos de algunos métodos que nos ayudarán a hacerlo.

Dibujando para ello las gráficas de 𝑦 igual a menos dos 𝑥 más uno y 𝑦 igual a 𝑥 más cuatro, halla el punto que satisface ambas ecuaciones simultáneamente.

En este ejercicio se nos dice que, para resolverlo, hemos de dibujar las gráficas de estas dos ecuaciones. Veamos pues dos métodos distintos para dibujar la gráfica de una recta. Usando el primer método vamos a dibujar la gráfica de 𝑦 igual a menos dos 𝑥 más uno, y para ello vamos a comparar su ecuación con la ecuación de una recta en su forma explícita, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏. Como ya sabemos, en esta forma, el valor de 𝑚, que es el coeficiente de 𝑥, representa la pendiente de la recta. Por lo tanto, la pendiente de la recta que tenemos que dibujar es menos dos. Esto significa que por cada unidad que la recta se desplace a la derecha, se ha de desplazar dos unidades hacia abajo.

También recordamos que, en esta forma explícita de la ecuación de la recta, el valor de 𝑏, la constante, representa la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje de las 𝑦. Así que en nuestra ecuación, la intersección con el eje de las 𝑦 es más uno. Este es el valor en el que la recta corta el eje de las 𝑦. Dibujemos esta recta. Sabemos que corta el eje de las 𝑦 en uno. Como la pendiente es menos dos, sabemos que si nos desplazamos una unidad hacia la derecha, entonces tenemos que movernos dos unidades hacia abajo. Por lo tanto, podemos marcar el próximo punto en las coordenadas uno, menos uno. Luego nos desplazamos una unidad a la derecha y dos hacia abajo de nuevo y marcamos nuestro próximo punto en dos, menos tres.

También podemos hacer esto en el otro lado de la intersección con el eje de las 𝑦. Si nos movemos una unidad a la izquierda, hemos de movernos dos unidades hacia arriba. Así que marcamos un punto con coordenadas menos uno, tres. Unimos todos estos puntos mediante una recta, y obtenemos así la gráfica de la primera ecuación, 𝑦 igual a menos dos 𝑥 más uno.

Para dibujar la segunda recta, cuya ecuación es 𝑦 igual a 𝑥 más cuatro, vamos a usar un método distinto. Esta vez vamos a usar una tabla de valores. Vamos a utilizar un conjunto de valores para la 𝑥. Hemos elegido los valores enteros de menos dos a dos. Y seguidamente vamos a usar la ecuación de la recta para hallar los valores correspondientes de 𝑦. Por ejemplo, cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑦 será igual a cero más cuatro, que es cuatro. Cuando 𝑥 es igual a menos uno, 𝑦 será igual a menos uno más cuatro o cuatro menos uno, que es tres.

Vamos a completar el resto de la tabla aplicando el mismo procedimiento. De esta forma podemos marcar estos puntos en el gráfico, o al menos aquellos que quepan, y luego unirlos con una recta para obtener la gráfica de la segunda ecuación, 𝑦 igual a 𝑥 más cuatro. Fíjate en que la intersección de esta recta con el eje de las 𝑦 ha de ser cuatro, y que la gráfica efectivamente corta el eje de las 𝑦 en este punto. La pendiente es uno, y nuestra recta tiene una pendiente de uno. Muy bien, ya hemos representado las dos rectas gráficamente. Ahora solo nos falta encontrar el punto que satisface ambas ecuaciones simultáneamente. Este es el punto que se encuentra en ambas rectas. La solución viene dada por las coordenadas del punto de intersección.

Si nos fijamos en el gráfico podemos ver que las rectas se cortan en el punto con coordenadas menos uno, tres. Como se nos pide que encontremos el punto que satisface ambas ecuaciones simultáneamente, vamos a dar la respuesta en forma de coordenadas. Así que nuestra solución al ejercicio son las coordenadas menos uno, tres.

Dibuja las gráficas de las ecuaciones simultáneas 𝑦 igual a dos 𝑥 más siete y 𝑦 igual a dos 𝑥 menos cuatro, y después resuelve el sistema.

Vamos a trazar cada una de estas gráficas comparando sus ecuaciones con la ecuación de una recta en su forma explícita, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, que también es conocida como forma pendiente-ordenada en el origen. La primera recta, 𝑦 igual a dos 𝑥 más siete, tiene una pendiente de dos y una intersección con el eje de las 𝑦 de siete. Podemos dibujar esta recta marcando primero el punto de intersección con el eje de las 𝑦. Y luego por cada unidad que nos desplazamos a la derecha, subimos dos unidades. En este caso, sin embargo, lo vamos a hacer al revés. Por cada unidad que nos movemos a la izquierda, nos movemos dos unidades hacia abajo. De forma que obtenemos un punto de menos uno, cinco; y luego un punto en menos dos, tres; y un punto en menos tres, uno. Unimos estos puntos y obtenemos nuestra primera recta representada gráficamente.

Análogamente, vemos que la recta 𝑦 igual a dos 𝑥 menos cuatro tiene una pendiente de dos y una ordenada 𝑦 en el origen de menos cuatro. Marcamos el punto de intersección con el eje de las 𝑦. Seguidamente nos desplazamos una unidad a la derecha y dos unidades hacia arriba, una unidad a la derecha y dos unidades hacia arriba otra vez, y otra vez. Y por último unimos estos puntos para obtener la segunda recta. Así que ya hemos dibujado las gráficas de estas dos ecuaciones simultáneas. Pero recuerda que el enunciado nos pidió resolver también el sistema, lo que significa que debemos localizar el punto de intersección de estas dos rectas.

Como puedes ver, estas dos rectas no se cortan en el gráfico. ¿Significa esto que hemos elegido intervalos equivocados en el eje de las 𝑥 y en el eje de las 𝑦, y que se cortarían si hubiéramos elegido intervalos más grandes? La respuesta a esto es que no: estas dos rectas en realidad nunca se cortan. Pues son rectas paralelas. Ambas tienen la misma pendiente, dos. Y sabemos que, si dos rectas son paralelas, nunca se cortan. Y, por lo tanto, estas dos rectas no tienen un punto de intersección. Así que, de hecho, no hay soluciones para este sistema de ecuaciones simultáneas. Y la razón de esto es que las dos ecuaciones representan rectas paralelas.

En los ejercicios que hemos hecho hasta ahora hemos visto dos posibilidades. En el primero hemos visto que las rectas pueden cortarse en un solo punto, en cuyo caso hay una solución para el sistema de ecuaciones lineales. En el segundo hemos visto que las rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Y, en este caso, no hay solución para el sistema de ecuaciones simultáneas ya que las rectas nunca se cortarán. Pero tenemos una tercera opción.

Supongamos que nos piden que resolvamos el sistema de ecuaciones 𝑦 igual a dos 𝑥 menos cuatro y dos 𝑦 igual a cuatro 𝑥 menos ocho. Si intentamos representarlas gráficamente, veremos que las dos ecuaciones representan exactamente la misma recta. Esto se debe a que, si dividimos ambos lados de la segunda ecuación por dos, entonces se simplifica a 𝑦 igual a dos 𝑥 menos cuatro. La segunda ecuación es simplemente una forma equivalente de escribir la ecuación de la primera recta. En este caso, las rectas son coincidentes. Una recta tiene exactamente los mismos puntos que la otra. Y todo punto de esta recta infinitamente larga satisfará, por lo tanto, el sistema de ecuaciones lineales. Por lo tanto, decimos que hay infinitas soluciones para este sistema de ecuaciones lineales.

Y estas son las tres opciones que podemos encontrarnos a la hora de resolver gráficamente un par de ecuaciones lineales simultáneas. Las rectas no son paralelas, y en ese caso se cortan en un solo punto, lo que significa que hay una única solución, un solo par de coordenadas. Las rectas son paralelas, lo que significa que no se cortan. Y por tanto no hay solución para el sistema de ecuaciones lineales. O las rectas son coincidentes, lo que significa simplemente que las dos ecuaciones describen la misma recta. En este caso hay infinitas soluciones para el sistema de ecuaciones simultáneas.

A veces no es posible resolver con exactitud un conjunto de ecuaciones simultáneas usando sus gráficas si las soluciones no son valores enteros. En este caso, solo podremos obtener una solución aproximada, como vamos a ver a continuación.

Usa las gráficas para determinar cuál de las siguientes es la mejor aproximación para la solución de las ecuaciones simultáneas dos 𝑥 más tres 𝑦 igual a 20, cuatro 𝑥 menos cuatro 𝑦 igual a 11. a) 𝑥 igual a 5.4 y 𝑦 igual a 3.1. b) 𝑥 igual a 5.4 y 𝑦 igual a 2.9. (c) 𝑥 igual a 5.6 y 𝑦 igual a 2.4. d) 𝑥 igual a 5.7 y 𝑦 igual a 2.9. O (e) 𝑥 igual a 5.9 y 𝑦 igual a 2.7.

Puede que no seamos capaces de verlo directamente, pero las dos rectas trazadas en el gráfico corresponden a las dos ecuaciones que nos han dado en el enunciado. La recta roja es dos 𝑥 más tres 𝑦 igual a 20, y la recta azul es cuatro 𝑥 menos cuatro 𝑦 igual a 11. La solución a este par de ecuaciones simultáneas son las coordenadas del punto donde estas dos rectas se cortan. Y si nos fijamos en la figura, podemos ver que se cortan en el interior de uno de los cuadraditos. Por lo tanto, no podemos hallar un valor exacto para la solución. En vez de eso, vamos a buscar un valor aproximado.

En primer lugar, hemos de asegurarnos de que conocemos la escala que se ha usado en cada uno de nuestros ejes. En este caso, es la misma. Cuatro cuadraditos representan dos unidades. Dividimos por cuatro, y vemos que cada cuadradito en cada eje representa 0.5 unidades. Observamos primero la posición horizontal de este punto, y vemos que está situado entre la recta tres cuadraditos a la derecha de cuatro y el valor seis de 𝑥. Si cada cuadradito vale 0.5, entonces tres cuadraditos valen 1.5, lo que significa que el valor de 𝑥 de la línea vertical justo a la izquierda de este punto es 5.5. Por lo tanto, el valor de 𝑥 está entre 5.5 y seis.

Análogamente, si observamos la posición vertical de este punto, podemos ver que está situado entre un cuadradito por encima de dos, que es 2.5, y dos cuadraditos por encima de dos, que es tres. Así que el valor de 𝑦 está entre 2.5 y tres.

Si miramos las cinco opciones, podemos descartar las opciones (a) y (b), ya que sus valores están fuera de este intervalo, y la opción (c), ya que su valor 𝑦 está fuera del intervalo. Para decidir cuál de las dos opciones restantes es la correcta, podemos fijarnos en que, por un lado, el punto está verticalmente muy cerca de tres, y, por otro lado, parece estar más cerca de 5.5 que de seis. Por lo tanto, la opción d) es la mejor aproximación. 𝑥 es aproximadamente igual a 5.7 y 𝑦 es aproximadamente igual a 2.9.

Vamos a repasar los puntos clave que hemos visto en este vídeo. En primer lugar, hemos aprendido que los sistemas de ecuaciones lineales pueden resolverse dibujando para ello las gráficas de las ecuaciones e identificando las coordenadas del punto de intersección. Pero también hemos visto que no todos los pares de ecuaciones representan rectas que se intersecan o que lo hacen en un único punto. Hay tres posibilidades, y son que las rectas se cortan en un único punto, lo que significa que hay una única solución para el sistema de ecuaciones lineales. Que las dos rectas son paralelas y distintas, y en ese caso nunca se cortan, y por lo tanto no hay ninguna solución. O que las dos rectas son coincidentes —es decir, son la misma recta—, en cuyo caso hay infinitas soluciones para el sistema de ecuaciones. Por último, hemos visto que podemos usar las gráficas para hallar soluciones aproximadas a sistemas de ecuaciones lineales cuando las soluciones no son valores enteros.

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