Lesson Video: Continuidad en un punto

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En este video, vamos a aprender sobre continuidad en un punto. Este es un paso en el camino para entender la continuidad de las funciones, tales como las funciones polinómicas, las exponenciales y algunas funciones trigonométricas. Las gráficas de estas funciones pueden ser dibujadas con un solo trazo. Seguramente ya notaste que, para muchas funciones 𝑓, el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a algún valor 𝑎 es simplemente el valor de 𝑓 en 𝑎, o sea, 𝑓 de 𝑎. Se dice que una función 𝑓 es continua en el punto 𝑎 si esto sucede. Si el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es simplemente 𝑓 de 𝑎. Esta es la definición de continuidad en un punto. Podemos que la función 𝑓 es continua en el punto 𝑎 si la sustitución directa funciona para hallar el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎.

Para comprender la continuidad en un punto, necesitamos entender cómo puede ocurrir que una función no sea continua en el punto 𝑎. Cómo puede esta dejar de ser cierta. Hay varias cosas que pueden salir mal. Por ejemplo, este límite en el lado izquierdo de la igualdad puede no existir. Para que 𝑓 sea continua en 𝑎, necesitamos que este límite exista. De igual manera, necesitamos que el lado derecho de la ecuación exista. 𝑓 debe estar definida en 𝑎. Si no, el lado derecho de nuestra ecuación, es decir 𝑓 de 𝑎, no está definido. Y si es así nuestra ecuación no puede ser váilida. Otra forma de decir que 𝑓 debe estar definida en 𝑎 es decir que 𝑎 debe estar en el dominio de 𝑓. ¿Qué más puede salir mal? Bueno, el límite en el lado izquierdo podría existir. Y la función 𝑓 podría estar definida en 𝑎. Pero estos valores podrían ser diferentes. Necesitamos que los valores del límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 y 𝑓 de 𝑎 sean iguales.

Estas son las tres cosas que necesitamos comprobar para demostrar que una función 𝑓 es continua en un número 𝑎. Apliquemos esta lista de verificación a algunos ejemplos. Por conveniencia, siempre debemos comprobar que 𝑓 está definida en 𝑎 antes de verificar que el límite de la función 𝑓 cuando 𝑥 tiende 𝑎 existe. Por lo tanto, la lista de verificación de nuestros ejemplos va a tener un orden ligeramente diferente, y que es más recomendable.

Sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado más 𝑥 menos dos todo partido por 𝑥 menos uno, si es posible o necesario, define 𝑓 de uno para que 𝑓 sea continua en 𝑥 igual a uno.

Tenemos una función 𝑓, que es una función racional. Y queremos que 𝑓 sea continua en el punto 𝑥 igual a uno. Y nos dicen que debemos definir 𝑓 de uno para que esto sea así, pero solo si es posible o necesario. ¿Qué significa eso? Bueno, si 𝑓 ya es continua en el punto 𝑥 igual a uno, no es necesario definir 𝑓 de uno para que esto sea así. Ya ha sido hecho por nosotros. Por otro lado, 𝑓 podría ser discontinua en el punto 𝑥 igual a uno. Pero en una forma tal que no es posible conseguir continuidad simplemente definiendo 𝑓 de uno. Podría haber algún problema mayor que impida que 𝑓 sea continua en este punto.

Primero comprobemos si es necesario definir 𝑓 de uno para hacer 𝑓 continua en 𝑥 igual a uno. ¿𝑓 ya es continua en 𝑥 igual a uno? Tenemos una lista de verificación que nos permite si una función es continua en cierto punto. 𝑓 debe estar definida en ese punto. En nuestro caso, debemos verificar que 𝑓 de uno está definido. Y el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca a ese punto, en nuestro caso uno, debe existir. Y, finalmente, estos dos valores deben ser iguales.

Comencemos en la parte superior de la lista. ¿Está definido 𝑓 de uno? Bueno, usaremos la definición de 𝑓 de 𝑥 que se nos da en la cuestión. Al sustituir uno por 𝑥 se obtiene uno al cuadrado más uno menos dos, todo sobre uno menos uno. En el numerador, uno al cuadrado más uno es dos. Y restar dos nos da cero. Y en el denominador, uno menos uno es cero. Obtenemos la forma indeterminada cero sobre cero. Es cero sobre cero y, por lo tanto, 𝑓 de uno no está definido. Y así, nuestra función 𝑓 no es continua en 𝑥 igual a uno.

Esto no es necesariamente un problema. Ya que nuestra tarea es definir 𝑓 de uno. Si esto es lo único que impide que 𝑓 sea continua en 𝑥 igual a uno, entonces podremos definir 𝑓 de uno. Y 𝑓 será continua en este punto, que es lo que se nos pide. Necesitamos verificar que no haya otros problemas. Necesitamos que exista el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a uno. ¿Existe? Usamos la definición de 𝑓 de 𝑥 del enunciado. Y sabemos que la sustitución directa nos daría una forma indeterminada. Así que debe haber alguna otra forma de hallar este límite.

El teorema del factor nos dice que, dado que el numerador y el denominador son cero cuando 𝑥 es uno, tanto el numerador como el denominador deben tener como factor a 𝑥 menos uno. Y, de hecho, podemos factorizar el numerador a 𝑥 más dos por 𝑥 menos uno. Hacerlo nos permite cancelar el factor común 𝑥 menos uno en el numerador y en el denominador. Y hemos de hallar el límite cuando 𝑥 tiende a uno de 𝑥 más dos. Este es un límite que puede evaluarse mediante la sustitución directa. Sustituyendo 𝑥 por uno, obtenemos uno más dos, que es tres. Por tanto, sí, el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a uno existe. Y es igual a tres.

Lo último en nuestra lista de verificación es que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a uno debe ser 𝑓 de uno. Descubrimos que el lado izquierdo, el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca a uno, es tres. Pero el lado derecho 𝑓 de uno no está definido. Nuestra tarea es definir 𝑓 de uno. Si definimos 𝑓 de uno como tres, ese es el valor del límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a uno. Hemos cumplido el tercer punto de nuestra lista. Y, por supuesto, definir 𝑓 de uno como tres es el primer punto en nuestra lista de verificación. Ahora 𝑓 de uno está definido. Así que, definir 𝑓 de uno como tres hace que 𝑓 sea continua en 𝑥 igual a uno. Como 𝑓 de uno está ahora definido, el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a uno, como vimos antes, es tres. Y como ahora hemos definido 𝑓 de uno para que también sea tres, estos dos valores son iguales.

Puede ser útil mirar la gráfica de 𝑓 de 𝑥 para ver lo que hemos hecho. Vemos que para todo 𝑥 no igual a uno, 𝑓 de 𝑥 es simplemente 𝑥 más dos. La gráfica de 𝑓 de 𝑥 es simplemente la gráfica de la recta 𝑦 igual a 𝑥 más dos, con esta brecha aquí donde 𝑥 es igual a uno. Esta brecha en la gráfica representa que 𝑓 de uno no está definido. Y como resultado, 𝑓 no es continua en 𝑥 igual a uno. Existe esta relación entre la definición técnica de continuidad y nuestra comprensión intuitiva de lo que significa continuidad. No debe haber agujeros. Definiendo 𝑓 de uno como igual a tres, la brecha y hacemos que la función sea continua. Ahora no hay brechas en la gráfica. Y 𝑓 es continua en 𝑥 igual a uno.

Veamos ahora un ejemplo en el que no podemos simplemente cerrar la brecha.

Dado que 𝑓 de 𝑥 es igual a uno sobre 𝑥, de ser posible o necesario, define 𝑓 de cero tal que 𝑓 sea continua en 𝑥 igual a cero.

Aquí tenemos la función recíproca, la cual conocemos bien. Y sabemos cómo es su gráfica. La gráfica tiene dos ramas, una en el primer cuadrante y la otra en el tercero. Y estas ramas están separadas por una asíntota vertical en 𝑥 igual a cero. Intuitivamente, parece que esta función no es continua en 𝑥 igual a cero. Debido a que la gráfica de nuestra función no es una curva continua, sino que está formada por dos curvas con la ruptura en esa asíntota 𝑥 igual a cero. Justo a la izquierda de esta recta, donde 𝑥 es pequeño pero negativo, 𝑓 de 𝑥 es grande en magnitud pero negativo. Y a la derecha de esta recta, donde 𝑥 es pequeño pero positivo, 𝑓 de 𝑥 es de magnitud y positivo. Así que, cuando traspasamos 𝑥 igual a cero, 𝑓 de 𝑥 cambia de un valor que es grande y negativo a un valor que es grande y positivo.

Veamos si nuestra intuición coincide con la definición técnica revisando para ello nuestra lista de verificación para ver si la función es continua. Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 igual a cero, hace falta que 𝑓 de cero esté definido. Hace falta también que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca a cero exista. Y, finalmente, necesitamos que estos valores sean iguales. Bien, entonces, ¿está 𝑓 definida en cero? Bueno, si sustituimos cero en la definición de 𝑓 de 𝑥, 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥, obtenemos que 𝑓 de cero es uno sobre cero. Y esto no está definido. Cero no está en el dominio de nuestra función. Así que 𝑓 no está definido en cero. Y, por lo tanto, 𝑓 no es continua en 𝑥 igual a cero. Pero esto no es necesariamente una sorpresa, ya que nuestra tarea es definir 𝑓 de cero para que 𝑓 sea continua en 𝑥 igual a cero. No tendríamos ningún trabajo que hacer si 𝑓 fuera continua en 𝑥 igual a cero y 𝑓 estuviera definid.

Verificamos el segundo criterio. El límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a cero debe existir. Con la idea de que si este límite existe, podmos definir 𝑓 de cero como el valor de este límite. Y la función será continua en 𝑥 igual a cero según se pide. ¿Este punto es cierto? Bueno, vemos que el límite por la izquierda cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 es menos infinito. Y se pone peor. Pues el límite por la derecha es más infinito. Cuando 𝑥 tiende a cero desde la derecha, 𝑓 de 𝑥 se hace más y más grande sin cota.

El límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a cero, por lo tanto, no existe. Y esto es un problema. Podemos definir 𝑓 de cero para que sea lo que queramos que sea. Pero definámoslo como lo definamos, esto no cambia el hecho de que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a cero no existe. Y por esta razón, 𝑓 no puede ser continua en 𝑥 igual a cero. Así que esta es nuestra respuesta. El límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a cero no existe. Y 𝑓 no puede hacerse continua en 𝑥 igual a cero definiendo 𝑓 de cero. El hecho de que 𝑓 de cero no esté definido no es realmente el problema aquí. Y mirando la gráfica, podemos ver por qué esto es así. No hay una pequeña brecha en la gráfica que se pueda conectar con un solo punto. Hay un gran abismo. Si bien 𝑓 de 𝑥 no es continua en 𝑥 igual a cero y no se puede hacer continua simplemente definiendo 𝑓 de cero, vale la pena señalar que la función 𝑓 de 𝑥 sí es continua en todos los otros valores de 𝑥.

Sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a uno sobre 𝑥, si es posible y necesario, define 𝑓 de uno de modo que 𝑓 sea continua en 𝑥 igual a uno. Vamos a hacer uso de nuestra lista de verificación en esta nueva cuestión. Necesitamos que 𝑓 de uno esté definido. Que exista el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a uno. Y que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a uno sea igual a 𝑓 de uno. ¿Está definido 𝑓 de uno? Sí, 𝑓 de uno es uno sobre uno, que es uno. 𝑓 de uno está definido. Uno está en el dominio de 𝑓. ¿Existe el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a uno? Veamos el gráfico. Cuando 𝑥 se acerca a uno desde la izquierda y cuando 𝑥 se acerca a uno desde la derecha. El valor de 𝑓 de 𝑥 tiende a un valor finito, el valor uno. Si quisiéramos hallar el valor de este límite sin usar el gráfico, probablemente simplemente usaríamos la sustitución directa. Podemos ver entonces que el tercer elemento de la lista de verificación, que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a uno sea igual a 𝑓 de uno, también se cumple. Los límites por la izquierda y por la derecha son ambos uno. Nuestra respuesta es que 𝑓 ya está definida y es ya continua en 𝑥 igual a uno. No es necesario definir 𝑓 de uno de nuevo para que esto sea así.

Veamos otro ejemplo sencillo antes de concluir.

La función 𝑓 de 𝑥, que se define por partes como dos 𝑥 más cuatro todo sobre 𝑥 más dos si 𝑥 es menor que menos dos. Cero si 𝑥 es igual a menos dos. Y 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más ocho todo sobre 𝑥 más dos, si 𝑥 es mayor que menos dos, ¿es continua en 𝑥 igual a menos dos?

Para averiguarlo, recurrimos a nuestra lista de verificación. Para que la función 𝑓 sea continua en 𝑥 igual a menos dos, 𝑓 de menos dos debe estar definido. El límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos dos debe existir. Y estos dos valores deben ser iguales. Comenzamos comprobando que 𝑓 de menos dos está definido. Eso es fácil de ver a partir de la pregunta. Se nos dice que 𝑓 de 𝑥 es cero si 𝑥 es menos dos. Así que 𝑓 de menos dos está definido. 𝑓 de menos dos es igual a cero. Ahora, debemos comprobar que existe el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos dos. Existen diferentes reglas para los valores de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 es menor que menos dos y cuando 𝑥 es mayor que menos dos. Los cuales usaremos para hallar el límite izquierdo y el derecho, para comprobar si existen y son iguales.

¿Cuánto vale el límite izquierdo? Bueno, a la izquierda de menos dos, 𝑓 de 𝑥 está definida como dos 𝑥 más cuatro, todo sobre 𝑥 más dos. Así que tenemos que hallar el límite de dos 𝑥 más cuatro, todo sobre 𝑥 más dos, cuando 𝑥 se acerca a menos dos desde la izquierda. Si intentamos la sustitución directa, obtenemos la forma indeterminada cero sobre cero. Entonces tenemos que hallar este límite de otra manera. Hacemos esto factorizando el numerador, obteniendo dos por 𝑥 más dos. Y este factor de 𝑥 más dos se cancela con el factor de 𝑥 más dos en el denominador. Y nuestro límite es el de la función constante dos cuyo valor debe ser dos. El límite por la izquierda existe. ¿Qué pasa con el de la derecha?

A la derecha de 𝑥 igual a menos dos, 𝑓 de 𝑥 es esta otra fracción algebraica. Y podemos hallar el valor de este límite de manera similar. Factorizando el numerador y cancelando el factor común de 𝑥 más dos, para obtener el límite de 𝑥 más cuatro cuando 𝑥 se aproxima a menos dos desde la derecha. Esto se puede resolver mediante sustitución directa. Obtenemos menos dos más cuatro, que son dos. Así que, este límite de la derecha también existe y es igual al límite de la izquierda. Ambos con un valor de dos. Por lo tanto, el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos dos existe y tiene el valor de dos.

Todo lo que queda por comprobar es este tercer punto. Para que 𝑓 de 𝑥 sea continua en 𝑥 igual a menos dos, necesitamos que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos dos sea igual al valor de 𝑓 en menos dos, o sea, 𝑓 de menos dos. Pero hemos visto que el valor de este límite es dos, mientras que 𝑓 en menos dos vale cero. El límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos dos no es igual a 𝑓 de menos dos. Aunque se cumplen las dos primeras condiciones de nuestra lista de verificación, la última no se cumple. Por tanto, nuestra respuesta es no. La función 𝑓 no es continua en 𝑥 igual a menos dos, ya que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos dos no es igual a 𝑓 de menos dos.

Ahora repasemos los puntos clave que hemos cubierto en este video. Se dice que una función 𝑓 es continua en un número 𝑎 si el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es igual a 𝑓 de 𝑎. Para verificar la continuidad en 𝑎, debemos verificar que 𝑓 de 𝑎 está definido. Es decir, que 𝑎 está en el dominio de 𝑓 y que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 existe. Y solo si es así tiene sentido preguntar si son iguales. Si 𝑓 de 𝑎 no está definido o si el límite no existe, 𝑓 no es continua en 𝑎. Sin embargo, si 𝑓 de 𝑎 no está definido, pero el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 existe, podemos definir 𝑓 de 𝑎 como el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 para así hacer que 𝑓 sea continua en 𝑎. Si el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende 𝑎 no existe, no podemos hacer 𝑓 continua en 𝑎 definiendo o redefiniendo 𝑓 de 𝑎.