Vídeo de la lección: Conversión de ecuaciones entre forma exponencial y logarítmica Matemáticas

En este vídeo vamos a aprender cómo convertir ecuaciones de forma logarítmica a exponencial y viceversa.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo convertir ecuaciones de forma logarítmica a exponencial y viceversa. Para comenzar vamos a ver qué pinta tiene una ecuación expresada en cada una de estas dos formas.

Las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales. Esto significa que cualquier ecuación exponencial puede escribirse en forma logarítmica y viceversa. Para 𝑥 mayor que cero, 𝑎 mayor que cero, y 𝑎 distinto de uno, 𝑦 igual a logaritmo en base 𝑎 de 𝑥 equivale a 𝑎 elevado a 𝑦 igual a 𝑥. Para cualquier ecuación expresada en forma logarítmica existe una ecuación equivalente en forma exponencial. A continuación, vamos a hacer un ejercicio en el que se nos pide convertir una igualdad en forma exponencial en una en forma logarítmica.

Expresa cuatro elevado a menos dos igual a un dieciseisavo en forma logarítmica.

Esta igualdad está escrita en forma exponencial. Esto significa que es de la forma 𝑎 elevado a 𝑥 igual a 𝑦. Sabemos que, si 𝑎 elevado a 𝑥 es igual a 𝑦, entonces 𝑥 es igual a logaritmo en base 𝑎 de 𝑦. Y también sabemos que cualquier ecuación exponencial cuenta con una ecuación logarítmica equivalente. En esta cuestión el valor de 𝑎 es cuatro, 𝑥 vale menos dos y 𝑦 es un dieciseisavo. Por lo tanto, concluimos que menos dos es igual a logaritmo en base cuatro de un dieciseisavo. La forma logarítmica de la igualdad exponencial cuatro elevado a menos dos igual a un dieciseisavo es menos dos igual a logaritmo en base cuatro de un dieciseisavo.

En el siguiente ejercicio vamos a pasar una ecuación de forma logarítmica a forma exponencial.

Expresa logaritmo en base 20 de 𝑧 igual a un medio en su forma exponencial equivalente.

En este problema se nos da una ecuación en forma logarítmica. Es de la forma logaritmo en base 𝑎 de 𝑦 igual a 𝑥. Sabemos que cualquier ecuación logarítmica tiene una ecuación exponencial equivalente, de modo que, si logaritmo en base 𝑎 de 𝑦 es igual a 𝑥, entonces 𝑦 es igual a 𝑎 elevado a 𝑥. En esta cuestión la base 𝑎 es 20, 𝑦 es igual a 𝑧, y 𝑥 vale un medio. Por lo tanto, la ecuación puede reescribirse como 𝑧 igual a 20 elevado a un medio. Esta es la forma exponencial de la ecuación logaritmo en base 20 de 𝑧 igual a un medio.

Aunque no se nos ha pedido en esta cuestión, recordemos que 𝑥 elevado a un medio es lo mismo que raíz cuadrada de 𝑥. Esto significa que 20 elevado a un medio es igual a la raíz cuadrada de 20 que, aplicando las propiedades de las raíces, se simplifica a dos raíz de cinco. 𝑧 es igual a dos raíz de cinco. Sin embargo, como se nos ha pedido que demos la respuesta en forma exponencial, la solución es 𝑧 igual a 20 elevado a un medio.

En los dos siguientes ejemplos vamos a operar con logaritmos en base 10. Este se conoce como logaritmo decimal.

Expresa 10 al cubo igual a 1000 en su forma logarítmica equivalente.

La igualdad que tenemos aquí está escrita como una ecuación exponencial de la forma 𝑎 elevado a 𝑥 igual a 𝑦. Como sabemos, cualquier ecuación exponencial tiene una ecuación logarítmica equivalente. Si 𝑎 elevado a 𝑥 es igual a 𝑦, entonces 𝑥 es igual a logaritmo en base 𝑎 de 𝑦. En esta cuestión tenemos que la base 𝑎 es 10, que el exponente 𝑥 es tres, y que 𝑦 es igual a 1000. Esto significa que podemos reescribir la ecuación como tres igual a logaritmo en base 10 de 1000.

Recordemos que el logaritmo en base 10 se denomina logaritmo decimal. Esto significa que cuando un logaritmo se escribe sin la base, se supone que la base es 10. El botón de logaritmo que se encuentra en algunas calculadoras científicas se refiere al logaritmo en base 10. Cuando se opera con logaritmos en base 10, no se suele escribir la base. De esta forma, logaritmo de 1000 es igual a tres. Esta es la forma logarítmica equivalente de la igualdad 10 al cubo o 10 elevado a tres es igual a 1000.

Expresa logaritmo de un millón igual a seis en forma exponencial.

La igualdad que se nos ha dado está escrita en forma logarítmica, y es de la forma logaritmo en base 𝑎 de 𝑦 igual a 𝑥. Como ya hemos dicho, una ecuación en forma logarítmica tiene una ecuación equivalente en forma exponencial. Si logaritmo en base 𝑎 de 𝑦 es igual a 𝑥, entonces 𝑦 es igual a 𝑎 elevado a 𝑥. Fíjate en que aquí no tenemos ninguna base. Cuando tenemos un logaritmo sin base, suponemos que la base es 10. Esto se conoce como logaritmo decimal. Por lo tanto, 𝑎 es igual a 10, 𝑦 es igual a un millón y 𝑥 es igual a seis.

Si reescribimos la ecuación en forma exponencial, obtenemos que un millón es igual a 10 a la sexta o 10 elevado a seis. Sabemos que esto es correcto, pues 10 por 10 por 10 por 10 por 10 por 10 equivale a un millón. Cuando elevamos 10 a un número, el exponente se corresponde con el número de ceros.

En las dos últimas cuestiones vamos a operar con el logaritmo neperiano.

Escribe la ecuación exponencial 𝑒 elevado a 𝑥 igual a cinco en forma logarítmica.

Para resolver este ejercicio debemos recordar primero la definición de logaritmo neperiano. Si 𝑒 elevado a 𝑦 es igual a 𝑥, entonces el logaritmo en base 𝑒 de 𝑥 —y el logaritmo en base 𝑒 de 𝑥 se escribe ln de 𝑥—es igual a 𝑦. La función logaritmo neperiano es la inversa de la función exponencial. En este ejercicio se nos da la ecuación exponencial 𝑒 elevado a 𝑥 igual a cinco. Reescribimos esto en forma logarítmica, y obtenemos que 𝑥 es igual a logaritmo neperiano de cinco. La ecuación exponencial 𝑒 elevado a 𝑥 igual a cinco en forma logarítmica es 𝑥 igual a logaritmo neperiano de cinco.

Escribe la ecuación logarítmica ocho igual a logaritmo natural de 𝑥 en forma exponencial.

En este problema se nos da el logaritmo neperiano de 𝑥. Sabemos que el logaritmo natural de 𝑥 es igual a logaritmo en base 𝑒 de 𝑥. También sabemos que el logaritmo natural es la función inversa de la función exponencial. Si 𝑦 es igual a logaritmo natural de 𝑥, entonces 𝑒 elevado a 𝑦 es igual a 𝑥. Aquí, ocho es igual a logaritmo natural de 𝑥. Esto significa que 𝑒 elevado a ocho o 𝑒 a la octava potencia es igual a 𝑥. La ecuación logarítmica ocho igual a logaritmo natural de 𝑥 escrita en forma exponencial es 𝑒 elevado a ocho igual a 𝑥.

Ahora vamos a resumir los puntos clave que hemos visto en este vídeo. En primer lugar hemos recordado que las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales. Esto significa que toda ecuación logarítmica tiene una ecuación exponencial equivalente. Si 𝑥 es igual a logaritmo en base 𝑎 de 𝑦, entonces 𝑎 elevado a 𝑥 es igual a 𝑦. Esto nos permite convertir una ecuación logarítmica en una ecuación exponencial y viceversa. Hemos visto, además, que un logaritmo que está escrito sin la base tiene base 10. Este logaritmo se denomina logaritmo decimal.

Por último, hemos aprendido que el logaritmo neperiano (o natural) se escribe ln de 𝑥. Que es lo mismo que logaritmo en base 𝑒 de 𝑥. La función logaritmo neperiano es la inversa de la función exponencial. Esto significa que, si 𝑦 es igual a logaritmo neperiano de 𝑥, entonces 𝑒 elevado a 𝑦 es igual a 𝑥.

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