Lesson Video: Integración por partes

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En este vídeo vamos a aprender a usar el método de integración por partes para calcular la integral de un producto de funciones. Gracias al teorema fundamental del cálculo, podemos integrar una función si conocemos su antiderivada. Conviene que seas capaz de calcular con confianza la integral de funciones polinómicas, así como de funciones trigonométricas y exponenciales. No es absolutamente necesario que sepas usar el método de integración por sustitución para poder sacar provecho de este vídeo. Pero sería recomendable.

Cada regla de diferenciación tiene su correspondiente regla de integración. Por ejemplo, la regla de integración por sustitución se corresponde con la regla de la cadena de diferenciación. Ahora vamos a estudiar el método de integración por partes. Esta regla de integración se corresponde con la regla del producto en diferenciación. Esta regla dice que, para dos funciones diferenciables 𝑓 y 𝑔, la derivada de su producto es 𝑓 por 𝑔 prima más 𝑔 por 𝑓 prima. Es decir, 𝑓 por la derivada de 𝑔 más 𝑔 por la derivada de 𝑓. Integrando ambos lados de esta ecuación obtenemos que 𝑓 por 𝑔 es igual a la integral de 𝑓 por 𝑔 prima más 𝑓 prima por 𝑔 con respecto a 𝑥.

Ahora ya sabemos que la integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de la integral de cada función. Y podemos reescribir 𝑓 por 𝑔 de este modo. Reorganizamos. Y obtenemos la fórmula de integración por partes. Vemos que la integral indefinida de 𝑓 por 𝑔 prima es igual a 𝑓 por 𝑔 menos la integral indefinida de 𝑓 prima por 𝑔 con respecto a 𝑥. Esto a veces se escribe usando funciones 𝑢 y 𝑣 y la notación de Leibniz. De modo que la integral de 𝑢 por d𝑣 entre d𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑢𝑣 menos la integral de 𝑣 por d𝑢 entre d𝑥 con respecto a 𝑥. Vamos a empezar con un ejemplo claro de aplicación de esta fórmula.

Usa el método de integración por partes para calcular la integral de 𝑥 por sen 𝑥 con respecto a 𝑥.

La función que queremos integrar es el producto de dos funciones. Estas son 𝑥 y sen 𝑥. Esto nos dice que tendremos que utilizar el método de integración por partes para calcular nuestra integral. Recordemos que esta fórmula nos dice que la integral de 𝑢 por d𝑣 entre d𝑥 es igual a 𝑢𝑣 menos la integral de 𝑣 por d𝑢 entre d𝑥. Si comparamos esta fórmula con nuestro integrando, vamos a ver que tendremos que decidir qué función es 𝑢. Y qué función es d𝑣 entre d𝑥. Pero, ¿cómo decidimos esto? Bueno, nuestro objetivo aquí es asegurarnos de que la segunda integral que tenemos aquí sea un poco más sencilla. Por lo tanto, queremos que 𝑢 sea una función que o bien se vuelva más sencilla al derivarla o que nos ayude a simplificar el integrando cuando se multiplique por la función 𝑣. Parece bastante claro que, de entre 𝑥 y sen 𝑥, la función que se vuelve más sencilla cuando se hace la derivada es 𝑥. Así que decimos que 𝑢 es igual a 𝑥 y d𝑣 entre d𝑥 es igual a sen 𝑥. La derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥 es uno. Pero, ¿qué hacemos con d𝑣 entre d𝑥? Bueno, vamos a tener que hallar 𝑣. Así que hallamos la antiderivada de seno de 𝑥, que es, obviamente, menos coseno de 𝑥.

Vamos a sustituir los valores en la fórmula. Vemos que nuestra integral es igual a 𝑥 por menos coseno de 𝑥 menos la integral de menos coseno de 𝑥 por uno d𝑥. Esto se simplifica a menos 𝑥 coseno de 𝑥. Y luego sacamos el factor de menos uno fuera de la integral. Y sumamos la integral de coseno de 𝑥 con respecto a 𝑥. La antiderivada de coseno de 𝑥 es seno de 𝑥. Y, puesto que esta es una integral indefinida, debemos añadir la constante de integración 𝑐. Y vemos que la solución es menos 𝑥 coseno de 𝑥 más seno de 𝑥 más 𝑐. Es conveniente recordar que podemos comprobar nuestra respuesta derivando. Si lo hacemos, obtenemos 𝑥 por sen 𝑥, como se nos pide.

Vamos a ver ahora un ejemplo frecuente. Es la integral del logaritmo neperiano de 𝑥.

Integra el logaritmo neperiano de 𝑥 d𝑥 por partes usando 𝑢 igual al logaritmo neperiano de 𝑥 y d𝑣 igual a d𝑥.

Vale, muy bien. El problema nos pide que integremos por partes. Y también tenemos que hacer que 𝑢 sea igual al logaritmo neperiano de 𝑥 y que d𝑣 sea igual a d𝑥. Así que tenemos que recordar la fórmula de integración por partes. La integral de 𝑢 por d𝑣 entre d𝑥 es igual a 𝑢𝑣 menos la integral de 𝑣 por d𝑢 entre d𝑥. Ahora podemos reescribir d𝑣 igual a d𝑥. Y decimos que si d𝑣 es igual a d𝑥, entonces d𝑣 entre d𝑥 debe ser igual a uno. Nuestro objetivo aquí es hallar las partes que faltan de la fórmula. d𝑢 entre d𝑥 es bastante directo. La derivada del logaritmo neperiano de 𝑥 es uno sobre 𝑥. Y si integramos ambos lados de la ecuación d𝑣 igual a d𝑥, obtenemos que 𝑣 es igual a 𝑥. Si sustituimos todo en la fórmula, obtenemos 𝑥 por el logaritmo neperiano de 𝑥 menos la integral de 𝑥 por uno sobre 𝑥 d𝑥.

Bueno, esta integral se simplifica muy fácilmente. Vamos a integrar uno con respecto a 𝑥. La integral de uno es sencillamente 𝑥. Y, puesto que esta es una integral indefinida, debemos acordarnos de sumar la constante de integración 𝑐. Así que obtenemos que la integral del logaritmo neperiano de 𝑥 d𝑥 es 𝑥 por el logaritmo neperiano de 𝑥 menos 𝑥 más 𝑐. Utilizar el método de integración por partes ha sido muy eficaz para integrar el logaritmo neperiano de 𝑥. Pues la derivada del logaritmo neperiano de 𝑥 es mucho más sencilla que la función original logaritmo neperiano de 𝑥.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo podemos usar el método de integración por partes para calcular la integral de un cociente.

Determina la integral indefinida de dos 𝑒 elevado a 𝑥 por 𝑥 sobre tres por 𝑥 más uno todo al cuadrado con respecto a 𝑥.

Puede que no nos parezca nada claro cómo vamos a calcular esto. Sin embargo, vemos que no podemos hacer ningún tipo de sustitución. Y es un cálculo que no podemos hacer de cabeza. Por lo tanto, vamos a tener que usar el método de integración por partes. Recordemos que esta regla nos dice que la integral de 𝑢 por d𝑣 entre d𝑥 es igual a 𝑢𝑣 menos la integral de 𝑣 por d𝑢 entre d𝑥. Ahora bien, si comparamos esta fórmula con nuestro integrando, veremos que debemos decidir qué función es 𝑢. Y qué función es d𝑣 entre d𝑥. Pero, ¿cómo decidimos esto? Bueno, nuestro objetivo es asegurarnos de que la segunda integral de aquí sea un poco más sencilla. Por lo tanto queremos que 𝑢 sea una función que o bien se vuelva más sencilla al derivarla o que nos ayude a simplificar el integrando cuando se multiplique por 𝑣. Seguimos sin tener del todo claro cuál debe ser el valor de 𝑢. Vamos a determinarlo por ensayo y error.

Vamos a reescribir nuestro integrando como dos tercios 𝑥 por 𝑒 elevado a 𝑥 por uno sobre 𝑥 más uno, todo al cuadrado. Y, de hecho, vamos a sacar el factor constante de dos tercios fuera de la integral. Vamos a probar con 𝑢 igual a 𝑥 por 𝑒 elevado a 𝑥 y d𝑣 entre d𝑥 igual a uno sobre 𝑥 más uno todo al cuadrado, que hemos escrito como 𝑥 más uno elevado a menos dos. Para hallar d𝑢 entre d𝑥 vamos a usar la regla del producto. Al hacerlo, vemos que d𝑢 entre d𝑥 es igual a 𝑥 por la derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 más 𝑒 elevado a 𝑥 por la derivada de 𝑥. Bueno, la derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥. Y la derivada de 𝑥 es uno. Así que hemos obtenido que d𝑢 entre d𝑥 es igual a 𝑥𝑒 elevado a 𝑥 más 𝑒 elevado a 𝑥. Podemos usar la regla de la cadena inversa para calcular la antiderivada de 𝑥 más uno elevado a menos dos. Es menos 𝑥 más uno elevado a menos uno. Reescribimos 𝑥 más uno elevado a menos uno como uno sobre 𝑥 más uno. Y sustituimos todos los valores en la fórmula de la integración por partes.

Este paso de aquí es muy importante. Sacamos factor común a 𝑒 elevado a 𝑥. Y vemos que podemos dividir por 𝑥 más uno. Nuestro segundo integrando se convierte en menos 𝑒 elevado a 𝑥. Sacamos el factor de menos uno. Y sabemos que la integral de 𝑒 elevado a 𝑥 es sencillamente 𝑒 elevado a 𝑥. Así que tenemos dos tercios de 𝑥 por 𝑒 elevado a 𝑥 sobre menos 𝑥 más uno más 𝑒 elevado a 𝑥 más 𝑐. Reescribimos esta primera fracción y luego multiplicamos el numerador y el denominador de 𝑒 elevado a 𝑥 por 𝑥 más uno. Así podemos sumar las fracciones. Y vemos que la suma de estas fracciones es menos 𝑥 por 𝑒 elevado a 𝑥 más 𝑥 por 𝑒 elevado a 𝑥, que es cero, más 𝑒 elevado a 𝑥 sobre 𝑥 más uno.

Nuestro último paso es distribuir el paréntesis. Y obtenemos dos 𝑒 elevado a 𝑥 sobre tres por 𝑥 más uno. Hemos cambiado nuestra constante de integración a C mayúscula. Pues nuestra constante de integración original ha sido multiplicada por dos tercios.

Ahora, en este ejemplo, es un poco difícil averiguar cuál debe ser el valor de 𝑢. Pero hay un pequeño truco que podemos utilizar para saber cómo elegir la función para 𝑢. Son las letras L-I-A-T-E o LIATE. Básicamente, escogemos 𝑢 como el primer término que veamos en la lista. L se refiere a logaritmos. I se refiere a inversas trigonométricas. A a funciones algebraicas. T a trigonométricas. Y, por último, escogeríamos la función exponencial. Ahora bien, esta regla no lo abarca todo. Ninguna regla puede. Pero funciona asombrosamente bien y puede ser un buen punto de partida. En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo a veces es necesario aplicar dos veces el método de integración por partes.

Calcula la integral definida entre los límites de cero y uno de 𝑥 al cuadrado por 𝑒 elevado a 𝑥 d𝑥.

En este ejemplo tenemos el producto de dos funciones. Esto nos dice que muy probablemente tendremos que aplicar el método de integración por partes. Esta regla dice que la integral de 𝑢 por d𝑣 entre d𝑥 es igual a 𝑢𝑣 menos la integral de 𝑣 por d𝑢 entre d𝑥. Ahora bien, ¿cómo decidimos qué es 𝑢? Bueno, recordemos que debemos asegurarnos de que esta segunda integral de aquí sea un poco más sencilla. Por lo tanto, queremos que 𝑢 sea una función que o bien se vuelva más sencilla al hallar la derivada o nos ayude a simplificar el integrando cuando se multiplique por 𝑣. No tiene sentido igualar 𝑢 a 𝑒 elevado a 𝑥. Pues la derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 es sencillamente 𝑒 elevado a 𝑥. Por lo tanto, en su lugar, vamos a hacer que 𝑢 sea igual a 𝑥 al cuadrado. Y d𝑣 entre d𝑥 es por lo tanto 𝑒 elevado a 𝑥. d𝑢 entre d𝑥 es dos 𝑥. Y la antiderivada de 𝑒 elevado a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥. Así que 𝑣 es 𝑒 elevado a 𝑥. Y obtenemos que la integral es igual a 𝑥 al cuadrado 𝑒 elevado a 𝑥 menos la integral de dos 𝑥𝑒 elevado a 𝑥.

Ahora nos damos cuenta de que hemos usado este paréntesis particular de aquí. Esta es una forma de recordarnos de que estamos operando con una integral definida. Y vamos a tener que calcular ambas partes entre los límites de cero y uno. Pero, ¿cómo calculamos la integral de dos 𝑥 por 𝑒 elevado a 𝑥? Bueno, vamos a tener que usar de nuevo el método de integración por partes. Por lo misma razón, elegimos de nuevo d𝑣 entre d𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥. Y luego 𝑢 es igual a dos 𝑥. Así que vemos que d𝑢 entre d𝑥 es igual a dos. Y 𝑣 es igual a 𝑒 elevado a 𝑥.

Vamos a calcular rápidamente la integral de dos 𝑥𝑒 elevado a 𝑥. Es dos 𝑥𝑒 elevado a 𝑥 menos la integral de dos por 𝑒 elevado a 𝑥. Bueno, la integral de dos 𝑒 elevado a 𝑥 es dos 𝑒 elevado a 𝑥. Y hemos puesto más 𝑐 en los paréntesis porque la integral que hemos hecho es una integral indefinida. Pero en realidad la que vamos a hacer está entre los límites de cero y uno. Sustituimos la integral de dos 𝑥𝑒 elevado a 𝑥 por dos 𝑥𝑒 elevado a 𝑥 menos dos 𝑒 elevado a 𝑥. Y obtenemos que la integral de 𝑥 al cuadrado 𝑒 elevado a 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado 𝑒 elevado a 𝑥 menos dos 𝑥𝑒 elevado a 𝑥 más dos 𝑒 elevado a 𝑥.

Ahora vamos a tener que calcular esto entre los límites de cero y uno. Sustituimos cero y uno y calculamos su diferencia. Y obtenemos 𝑒 elevado a uno menos dos 𝑒 elevado a uno más dos 𝑒 elevado a uno. Todos estos términos desaparecen y queda menos dos. Y ya hemos terminado. La integral calculada entre cero y uno de 𝑥 al cuadrado por 𝑒 elevado a 𝑥 es 𝑒 menos dos.

En nuestro último ejemplo vamos a ver cómo nos puede ayudar la integración por partes a calcular la integral de una función trigonométrica inversa.

Calcula la integral definida calculada entre cero y uno de la tangente inversa de 𝑥 con respecto a 𝑥.

Cuando integramos funciones trigonométricas inversas, usamos el método de integración por partes. Y la fórmula aparece aquí. Vamos a hacer algo un poco extraño. Vamos a reescribir nuestro integrando como uno por la función trigonométrica inversa. Eso es uno por la tangente inversa de 𝑥. Luego igualamos 𝑢 a la tangente inversa de 𝑥. Recordemos que ya sabemos cómo hallar la derivada de esto. E igualamos d𝑣 entre d𝑥 a uno. La derivada de la función inversa de la tangente es uno sobre uno más 𝑥 al cuadrado. Eso es d𝑢 entre d𝑥. Y la antiderivada de uno es 𝑥. Así que 𝑣 es igual a 𝑥. Muy bien. Sustituimos todo lo que tenemos en la fórmula de integración por sustitución. Y vemos que la integral de la tangente inversa de 𝑥 es 𝑥 por la tangente inversa de 𝑥 menos la integral de 𝑥 sobre uno más 𝑥 al cuadrado.

Ahora vamos a tener que utilizar integración por sustitución para calcular la integral de 𝑥 sobre uno más 𝑥 al cuadrado. Ahora bien, normalmente, cuando realizamos integración por sustitución, introducimos una nueva variable 𝑢. Pero 𝑢 ya tiene un valor en este ejemplo. Así que vamos a igualar 𝑡 a uno más 𝑥 al cuadrado, lo que significa que d𝑡 entre d𝑥 es igual a dos 𝑥. Ahora bien, d𝑡 entre d𝑥 no es una fracción. Pero la tratamos como tal cuando operamos con integración por sustitución. Y vemos que podemos decir que un medio por d𝑡 es igual a 𝑥 d𝑥. Por lo tanto, en realidad, vamos a calcular la integral de uno sobre dos 𝑡 o vamos a sacar el factor constante de un medio fuera de la integral. Así que vamos a integrar uno sobre 𝑡. Pero tenemos que hacer algo con estos límites. Vamos a utilizar la sustitución 𝑡 igual a uno más 𝑥 al cuadrado. El primer límite que nos interesa es uno. Así que sustituimos 𝑥 igual a uno. Y obtenemos uno más uno al cuadrado, que es dos.

Aquí abajo vamos a sustituir 𝑥 igual a cero. Eso es uno más cero al cuadrado, que es igual a uno. Así que vamos a calcular la integral de uno sobre 𝑡 entre los límites de uno y dos. La integral de uno sobre 𝑡 es el logaritmo neperiano de 𝑡. Así que podemos calcular el logaritmo neperiano de 𝑡 entre los límites de uno y dos sustituyéndolos y hallando su diferencia. Ese es el logaritmo neperiano de dos menos el logaritmo neperiano de uno. Y como el logaritmo neperiano de uno es cero, obtenemos que esta integral es igual a un medio por el logaritmo neperiano de dos. Podemos introducir esto en nuestra integral original. Y vemos que tendremos que calcular 𝑥 por la tangente inversa de 𝑥 entre los límites de cero y uno. Bueno, eso es uno por la tangente inversa de uno menos cero, que es igual a 𝜋 partido por cuatro. Y ya hemos terminado. La integral de la tangente inversa de 𝑥 entre los límites de cero y uno es 𝜋 partido por cuatro menos el logaritmo neperiano de dos partido por dos.

En este vídeo hemos aprendido que la integración por partes es la regla correspondiente en integración a la regla del producto en diferenciación. Hemos visto que, si usamos la notación de Leibniz, la fórmula es la integral de 𝑢 por d𝑣 entre d𝑥 es igual a 𝑢𝑣 menos la integral de 𝑣 por d𝑢 entre d𝑥. Hemos visto que, en general, elegimos nuestra función 𝑢 con el objetivo de asegurarnos de que la segunda integral que obtengamos sea un poco más sencilla. Pero también hemos aprendido que el acrónimo LIATE puede ayudarnos a decidir qué función va a ser 𝑢. Por último hemos visto que podemos usar esto para calcular las integrales del producto de funciones, cocientes y funciones recíprocas. Y que a veces ha de aplicarse más de una vez.