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Vídeo de la lección: Cálculo de límites mediante tablas y gráficas Matemáticas • Duodécimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo calcular el límite de una función haciendo uso de tablas y gráficas.

13:54

Transcripción del vídeo

Calcular límites a partir de tablas y gráficas

En este vídeo vamos a aprender cómo calcular el límite de una función haciendo uso de tablas y gráficas. Vamos a ver una serie de ejemplos sobre cómo usar tablas y gráficas para calcular límites de distintas funciones. Usar tablas y gráficas puede ser un buen método visual para calcular un límite. Pero, en vez de irnos directamente al uso de tablas y gráficas, vamos a recordar lo que es un límite.

Esto de aquí es un límite. Se trata del límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Y cuando calculamos este límite, lo que estamos tratando de hallar es el valor al que se acerca 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca más y más a 𝑎. Comencemos viendo cómo podemos usar una tabla para calcular un límite como este. Lo haremos fijándonos en el siguiente ejemplo.

A partir de la siguiente tabla calcula el límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de 𝑓 de 𝑥.

Como podemos observar en la tabla, los valores de 𝑥 se acercan más y más a menos dos desde arriba y desde abajo. Y tenemos los valores correspondientes de 𝑓 de 𝑥. Vamos a comenzar considerando los valores de 𝑥 que están por debajo de menos dos. Tenemos que 𝑓 de menos 2.1 es igual a 36.9. 𝑓 de menos 2.01 es igual a 36.09. 𝑓 de menos 2.001 es igual a 36.009. Aquí, los valores de 𝑥 se acercan más y más a dos. Tenemos que fijarnos en lo que está pasando con los valores de 𝑓 de 𝑥. Podemos ver que 𝑓 de 𝑥 se acerca más y más a 36. Vamos a fijarnos ahora en los valores de 𝑥 que están por encima de menos dos. Tenemos que 𝑓 de menos 1.9 es igual a 35.1. 𝑓 de menos 1.99 es igual a 35.91. 𝑓 de menos 1.999 es igual a 35.991. De nuevo, podemos ver que los valores de 𝑥 se acercan más y más a menos dos.

Ya hemos visto lo que ocurre con 𝑥, y ahora tenemos que averiguar lo que está pasando con 𝑓 de 𝑥. Los valores de 𝑓 de 𝑥 son 35.1, 35.91 y 35.991. Por lo tanto, podemos decir que los valores de 𝑓 de 𝑥 se aproximan a 36. Como podemos ver, cuando 𝑥 se acerca a menos dos desde ambas direcciones, el valor al que se acerca 𝑓 de 𝑥 en un lado es el mismo que en el otro lado. Ambos son 36. Por lo tanto, podemos decir que cuando 𝑥 se acerca a menos dos, 𝑓 de 𝑥 se acerca a 36. Y si convertimos esto en notación matemática, llegamos a nuestra respuesta. Y esta dice que el límite cuando 𝑥 tiende a menos dos de 𝑓 de 𝑥 es igual a 36.

Vamos a ver ahora otro ejemplo en el que tenemos que hallar el límite a partir de una tabla, pero con una ligera diferencia.

Determina el límite cuando 𝑥 tiende a cinco de 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 partido por la raíz cuadrada de 𝑥 menos uno calculando la función en 𝑥 igual a 4.9, 4.95, 4.99, 4.995, 4.999, 5.001, 5.005, 5.01, 5.05 y 5.1, y redondeando los valores a tres cifras decimales.

El primer paso para resolver este problema va a ser calcular la función en los valores de 𝑥 que tenemos. La función con la que tenemos que trabajar es la función que está dentro del límite. Vamos a llamarla 𝑓 de 𝑥. Por lo tanto, 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 sobre la raíz cuadrada de 𝑥 menos uno. Vamos a hacer una tabla de valores para los valores de 𝑥 que nos da el enunciado junto con los valores de 𝑓 de 𝑥 correspondientes. Y podemos hallar estos valores de 𝑓 de 𝑥 insertando los valores de 𝑥 en 𝑓 de 𝑥.

Sustituyendo 𝑥 igual a 4.9 en 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 sobre la raíz cuadrada de 𝑥 menos uno, obtenemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 19.602. Si sustituimos 4.95, obtenemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 19.800. No debemos olvidarnos de redondear los valores de 𝑓 de 𝑥 a tres cifras decimales, pues es lo que nos pide el problema que hagamos. Si continuamos, vemos que 𝑓 de 4.99 es 19.960. 𝑓 de 4.995 es 19.980. 𝑓 de 4.999 es 19.996. Continuamos con los últimos cinco valores y vemos que 𝑓 de 5.001 es 20.004. 𝑓 de 5.005 es 20.020. 𝑓 de 5.01 es 20.040. 𝑓 de 5.05 es 20.200. Y 𝑓 de 5.1 es 20.402.

Estamos calculando el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a cinco. El valor cinco está entre los valores 4.999 y 5.001. Vamos a ver la tendencia en los valores de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca más y más a cinco. Cuando 𝑥 se acerca a cinco desde abajo, podemos ver que los valores de 𝑓 de 𝑥 se aproximan más y más a 20. Y si nos fijamos en los valores de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se aproxima a cinco desde arriba, vemos que los valores de 𝑓 de 𝑥 también se acercan a 20.

Sabemos que se acercan a 20 porque, según nos vamos acercando a cinco con los valores de 𝑥, nos acercamos más y más a 20 con los valores de 𝑓 de 𝑥. Sin embargo, nunca hemos llegado a 20 desde ninguno de los lados. Por lo tanto, podemos decir que cuando 𝑥 se acerca a cinco, 𝑓 de 𝑥 se acerca a 20. Si expresamos esto en lenguaje matemático, llegamos a nuestra solución. Que es que el límite cuando 𝑥 tiende a cinco de 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 partido entre la raíz cuadrada de 𝑥 menos uno es igual a 20.

Vamos a ver ahora cómo podemos hallar el límite de una función a partir de un gráfico. Veamos los siguientes ejemplos.

Sabiendo que el gráfico representa la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos tres, determina el límite cuando 𝑥 tiende a menos uno de 𝑓 de 𝑥. Para hallar el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos uno, solo tenemos que fijarnos en el gráfico. Sin embargo, primero debemos saber lo que estamos buscando. Podemos decir que el límite cuando 𝑥 se acerca a menos uno de 𝑓 de 𝑥 es el valor al que se acerca 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca a menos uno. Tenemos que fijarnos en la gráfica de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca a menos uno. Podemos ver que, a la derecha de la función, cuando 𝑥 se acerca a menos uno, 𝑓 de 𝑥 se acerca a menos cuatro.

Ahora vamos a fijarnos en 𝑓 de 𝑥 a la izquierda de menos uno. Vemos que la función está haciendo lo mismo, pero en sentido opuesto. Se acerca a menos cuatro. Por lo tanto, según la definición de límite, podemos decir que el límite cuando 𝑥 se acerca a menos uno de 𝑓 de 𝑥 es igual a menos cuatro.

Este es un ejemplo en el que se ve muy claramente cómo usar una gráfica para calcular un límite. Vamos a ver un ejemplo que no sea tan claro.

Determina el límite cuando 𝑥 tiende a dos de la función representada por el siguiente gráfico.

Si nos fijamos en el gráfico, vemos que la función se llama 𝑓 de 𝑥. Y se nos pide que hallemos el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a dos. En otras palabras, este es el límite cuando 𝑥 se aproxima a dos de 𝑓 de 𝑥. Esto puede describirse como el valor al que se acerca 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca a dos. Así que tenemos que hallar este valor de 𝑓 de 𝑥 usando este gráfico. Vamos a observar lo que hace 𝑓 de 𝑥 alrededor del valor de 𝑥 igual a dos. Tenemos que fijarnos en 𝑓 de 𝑥 a la izquierda y a la derecha de dos. Vamos a fijarnos en 𝑓 de 𝑥 a la derecha de 𝑥 igual a dos. Podemos ver que cuando 𝑥 se acerca más y más a dos, 𝑓 de 𝑥 es decreciente. Y decrece hacia este punto de aquí, que tiene un valor de tres. Así que podemos decir que cuando 𝑥 tiende a dos desde la derecha, el valor de 𝑓 de 𝑥 tiende a tres.

Ahora vamos a ver lo que pasa a la izquierda de 𝑥 igual a dos. Vemos que, cuando 𝑥 se acerca más y más a dos, el valor de 𝑓 de 𝑥 es decreciente. Y, a partir de la gráfica, podemos ver que decrece hacia el mismo valor al que se acerca 𝑓 de 𝑥 por la derecha cuando 𝑥 tiende a dos. Y ese valor es tres. Así que podemos decir que cuando 𝑥 se acerca a dos por la izquierda, 𝑓 de 𝑥 se acerca a tres. Como 𝑓 de 𝑥 tiende al mismo valor desde la izquierda y desde la derecha de dos, podemos concluir, por lo tanto, que el valor al que se acerca 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a dos es tres. Y, así, llegamos a la solución, que es que el límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑓 de 𝑥 es igual a tres.

En este último ejemplo hemos visto cómo podemos usar la gráfica para hallar el valor de un límite en un punto dado, incluso si esa gráfica tiene un pico en el punto. Vamos a ver ahora otro ejemplo.

Determina el límite, si existe, cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑓 de 𝑥.

Aquí tenemos la gráfica de 𝑓 de 𝑥, y queremos hallar el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a dos. Si intentamos hallar el valor de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 es igual a dos, podremos ver que 𝑓 no está, de hecho, definida en ese punto. Sin embargo, esto no quiere decir que no vayamos a poder hallar el límite. Sabemos que el límite cuando 𝑥 se acerca a dos de 𝑓 de 𝑥 es el valor al que se acerca 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a dos. Para hallar este límite tenemos que fijarnos en 𝑓 de 𝑥 alrededor de dos, no específicamente en dos. Vamos a considerar los valores de 𝑥 que están a la derecha y a la izquierda de 𝑥 igual a dos.

Vamos a empezar fijándonos en 𝑓 de 𝑥 a la izquierda de 𝑥 igual a dos. Podemos ver que cuando 𝑥 se acerca más y más a dos desde abajo, el valor de 𝑓 de 𝑥 se acerca más y más a tres. Y si consideramos lo valores de 𝑥 a la derecha de 𝑥 igual a dos, podremos ver que cuando 𝑥 se acerca más y más a dos desde la derecha, el valor de 𝑓 de 𝑥 es decreciente y se acerca más y más a tres. Como 𝑓 de 𝑥 tiende al mismo valor cuando 𝑥 se acerca a dos desde la izquierda y la derecha y este valor es tres, podemos concluir que el límite cuando 𝑥 se acerca a dos de 𝑓 de 𝑥 es igual a tres. En este ejemplo hemos visto, pues, cómo podemos hallar el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca a un valor de 𝑥 determinado, incluso si 𝑓 no está definida en ese valor de 𝑥.

Vamos a ver un último ejemplo.

A partir del siguiente gráfico, determina el límite cuando 𝑥 tiende a tres de 𝑓 de 𝑥.

Aquí tenemos la gráfica de 𝑓 de 𝑥. Y se nos ha pedido que hallemos el límite cuando 𝑥 tiende a tres. Podemos ver que, en 𝑥 igual a tres, 𝑓 de 𝑥 está definida y vale menos cinco. Sin embargo, cuando se trata de calcular el límite de una función en un punto determinado, el valor de la función en ese punto no importa en absoluto. Lo que importa es lo que le ocurre a la función en las cercanías de ese punto. Esto se debe a que el límite cuando 𝑥 se acerca a tres de 𝑓 de 𝑥 es el valor al que se aproxima 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se aproxima a tres. Vamos a ver lo que le está pasando a 𝑓 de 𝑥 a la izquierda y a la derecha de 𝑥 igual a tres.

Si nos fijamos en 𝑓 de 𝑥 a la izquierda de 𝑥 igual a tres, podemos ver que 𝑓 de 𝑥 es creciente y se aproxima más y más al valor de dos cuando 𝑥 se aproxima más y más a tres. Y, cuando 𝑥 se aproxima a tres desde la derecha, 𝑓 de 𝑥 es, de nuevo, creciente. Y también se aproxima más y más al valor de dos. Y esto es, de hecho, todo lo que tenemos que saber sobre 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a tres, pues, tanto desde la izquierda como desde la derecha, el valor de 𝑓 de 𝑥 se aproxima a dos cuando 𝑥 se aproxima a tres. Y, por lo tanto, aunque el valor de 𝑓 de tres sea igual a menos cinco, el límite cuando 𝑥 se aproxima a tres de 𝑓 de 𝑥 es igual a dos, y esta es la solución del problema. Hemos visto claramente pues, en este ejemplo, cómo, en un valor de 𝑥 determinado, el límite cuando 𝑥 se aproxima a ese valor de 𝑥 de 𝑓 de 𝑥 puede tener un valor diferente al valor de 𝑓 de 𝑥 en ese punto.

Hemos visto varios ejemplos. Antes de finalizar, vamos a repasar algunos puntos clave del vídeo.

Puntos clave

El límite cuando 𝑥 tiende a a de 𝑓 de 𝑥 es el valor al que se acerca 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca a 𝑎. Cuando queremos calcular un límite haciendo uso de una tabla, consideramos los valores de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se acerca más y más a 𝑎 por la izquierda y por la derecha. El valor al que se acerca 𝑓 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Cuando hallamos el límite cuando 𝑥 se acerca a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 haciendo uso de una gráfica, tenemos en cuenta los valores de 𝑓 de 𝑥 en las cercanías de 𝑎 para hallar el valor al que se aproxima 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎. Este valor es el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥.

Vamos a hacer una última observación, y es que usar tablas y gráficas —sobre todo gráficas— es una forma muy visual de calcular límites. Y puede ayudarnos a entender lo que es el límite de una función. Si un problema nos pide hallar el límite de una función y no nos da la gráfica de la función, puede que nos resulte útil dibujar la gráfica. Pues a menudo la gráfica sirve para poder determinar fácilmente el límite de la función en el punto.

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