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Vídeo de la lección: Funciones lineales Matemáticas • Octavo grado

En este video, vamos a aprender cómo identificar, escribir y hallar valores de una función lineal, y cómo completar una tablas de valores.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo identificar, escribir y hallar valores de una función lineal, y cómo completar una tablas de valores.

Una función lineal es una función cuya gráfica es una recta. La ecuación de una función lineal tiene dos términos: uno es constante, o sea, es simplemente un número, y el otro es un producto de una constante y una variable, generalmente 𝑥. Y la variable nunca tendrá otras operaciones, como exponentes o potencias. Cada valor de entrada de la función, la cual podemos representar mediante un diagrama de máquina, tendrá exactamente un valor de salida Todas estas funciones son ejemplos de funciones lineales.

Esta primera parte se lee como 𝑓 de 𝑥. 𝑓 es el nombre de la función, y lo que la función usa, en este caso 𝑥, se llama argumento. En esta función, por ejemplo, tomamos 𝑥, lo multiplicamos por dos y luego restamos uno. Podemos reemplazar la 𝑥 con un número, como cinco, y realizar el mismo conjunto de operaciones. Nuestro resultado será diferente, pues depende del número que ingresamos.

Podemos también encontrar funciones lineales que no están dadas en la forma típica. La forma típica es 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎𝑥 más 𝑏 para determinados números reales 𝑎 y 𝑏. Haciendo 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, algunas de estas formas no típicas tienen esta forma: 𝑦 más 𝑥 igual a cinco, o tres 𝑥 menos 𝑦 más siete igual a cero. Estas ecuaciones también corresponden a la gráfica de una recta; representan funciones lineales.

Comencemos viendo cómo podemos hallar valores de funciones muy simples.

Completa la siguiente tabla de valores.

En esta tabla, tenemos la variable independiente. Generalmente es denotada por la letra 𝑥. Y también nos dan una lista de valores. Tenemos nueve, cinco y 16. Entonces, primero 𝑥 será igual a nueve. Luego, será igual a cinco. Y, seguidamente, será igual a 16. Nuestro trabajo es calcular los valores de salida. Y el valor de salida es, simplemente, dos más 𝑥. Esto se llama regla de la función. Y nos dice qué hacer con nuestro valor de entrada. En este caso, nos dice que tomemos el número dos y le sumemos 𝑥, que es el valor de entrada.

Por lo tanto, cuando 𝑥 es igual a nueve, reemplazamos —recuerda, la palabra matemática para esto es «sustituir» — 𝑥 por nueve. Y nuestra expresión se convierte en dos más nueve, que es igual a 11. Y ahí está: nuestro primer valor de salida es 11. Para nuestro segundo resultado, vamos a ingresar 𝑥 igual a cinco. Y así, nuestro valor de salida es dos más cinco, que es igual a siete.

Tenemos un valor más por calcular. Y ahora 𝑥 es igual a 16. En este caso, nuestra suma se convierte en dos más 16, que es igual a 18. Y, tenemos los tres valores de salida para nuestra función dos más 𝑥. Son iguales a 11, 7 y 18. Y, esta función es, de hecho, un ejemplo de función lineal. Definamos la variable 𝑦 como igual a nuestro valor de salida. 𝑦 es, por lo tanto, igual a dos más 𝑥. Y nuestros pares de valores se pueden interpretar como pares de coordenadas. Cuando 𝑥 es igual a nueve, 𝑦 es igual a 11. Tenemos otro par de coordenadas, cinco, siete y un tercer par de coordenadas, 16, 18. Situándolos en un sistema de coordenadas se ven así. Nuestros puntos están en línea recta. Y así es como sabemos que tenemos una función lineal.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver una forma alternativa de representar una función.

Halla el valor de 𝑓 de ocho sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a tres menos siete 𝑥.

En esta cuestión, nos han dado una función cuyo nombre es 𝑓. La 𝑥 representa los valores de entrada de la función; es la variable independiente. Estamos buscando el valor de 𝑓 de ocho. Recuerda, el valor dentro del paréntesis es el valor de entrada. Es decir, lo que estamos tratando de hallar es cuál es el valor de salida cuando el valor de entrada es ocho. Nos fijamos en la regla de nuestra función 𝑓 de 𝑥, que es igual a tres menos siete 𝑥. Y cada vez que vemos una 𝑥, la sustituimos por ocho.

𝑓 de ocho es igual a tres menos siete paréntesis ocho. Ahora ten cuidado. Un error común es escribir 78 aquí. Pero recuerda, siete 𝑥 significa siete multiplicado por 𝑥. Entonces, esta parte es en realidad siete por ocho.

El acrónimo PAPOMUDAS nos indica el orden en el que realizamos las distintas operaciones; nos dice, por ejemplo, que debemos multiplicar antes de hacer cualquier resta. Así que, calculamos siete multiplicado por ocho primero, que es, por supuesto, 56. 𝑓 de ocho es, por lo tanto, tres menos 56. No vayas a cambiar el orden de los números. No estamos calculando 56 menos tres. Y tres menos 56 es menos 53. De modo que, dada la función 𝑓 de 𝑥, igual a tres menos siete 𝑥, el valor de 𝑓 de ocho es menos 53.

Veamos ahora una tabla de valores para un tipo de función parecido.

Completa la tabla de valores para la función 𝑦 igual a cinco 𝑥 más tres.

Nuestra tabla tiene una fila con valores de entrada. Son cero, dos, cuatro y cinco. Nuestra tarea es calcular los valores de salida utilizando la función especificada. La función que tenemos es 𝑦 igual a cinco 𝑥 más tres. La variable independiente 𝑥 corresponde a los valores de entrada y la variable dependiente 𝑦 corresponde a los valores de salida. Puede haber ocasiones en que veas el resultado denotado como 𝑓 de 𝑥. Esto es esencialmente lo mismo.

Lo que esta función nos dice es que el resultado se calcula usando la expresión algebraica cinco 𝑥 más tres. Es una función. Y nos dice qué hacer con nuestra información. En este caso, tomamos el valor de 𝑥 —o sea, el valor de entrada— lo multiplicamos por cinco y luego le sumamos tres. Hagamos esto para cada uno de nuestros valores.

Son 𝑥 igual a cero, 𝑥 igual a dos, 𝑥 igual a cuatro y 𝑥 igual a cinco. La función es 𝑦 igual a cinco 𝑥 más tres. Comenzamos sustituyendo 𝑥 igual a cero. Nuestra función se convierte en 𝑦 igual a cinco por cero más tres. Eso es tres. Y así, el primer resultado en nuestra tabla es tres.

Repitamos este proceso para nuestro segundo valor. Esta vez, vamos a reemplazar 𝑥 con dos. Nuestra función se convierte en 𝑦 igual a cinco por dos más tres, que es igual a 13. Y así, el segundo valor de salida es 13.

Nuestro tercer valor de entrada es 𝑥 igual a cuatro. Y así, obtenemos 𝑦 igual a cinco por cuatro más tres, que es igual a 23. Vamos a repetir este proceso una vez más. Esta vez nuestro valor de entrada es cinco. Y el valor de salida se halla calculando cinco por cinco más tres, que es 28. Nuestros resultados son tres, 13, 23 y 28.

Ahora, fijémonos un poco en la tabla en este ejemplo. Los primeros tres valores de entrada aumentan en dos cada vez. Y los primeros tres valores de salida aumentan en 10 cada vez. Esta diferencia constante nos dice que probablemente estamos trabajando con una función lineal. Recuerda, una función lineal tiene como gráfica una recta, así que esto tiene mucho sentido.

A continuación, vamos a ver cómo hallar una incógnita en una función lineal conocido un valor de salida.

Halla el valor de 𝑘 sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑘𝑥 más 13 y que 𝑓 de ocho es igual a menos 11.

Aquí está nuestra función. 𝑓 es el nombre de la función. Y 𝑥 es la variable independiente, que corresponde a los valores de entrada. También nos han dado información sobre el valor de 𝑓 de ocho. Nos dan el valor de la función para 𝑥 igual a ocho. El valor de entrada es ocho. Y cuando el valor de entrada es ocho, el valor de salida es menos 11. Entonces, veamos qué sucede cuando ponemos ocho en nuestra definición de la función aquí.

𝑓 de ocho significa que cada vez que vemos la 𝑥, la sustituimos por ocho. 𝑓 de ocho se convierte en 𝑘 por ocho más 13. Escribamos esto como ocho 𝑘 más 13. Pero, por supuesto, sabemos que 𝑓 de ocho es igual a menos 11. Entonces, esto debe significar que ocho 𝑘 más 13 debe ser igual a menos 11. Y, nuestra tarea, pues estamos tratando de hallar el valor de 𝑘, es resolver esta ecuación.

Haremos esto realizando una serie de operaciones inversas. Lo primero que vamos a hacer es restar 13 de ambos lados de nuestra ecuación. Recuerda, ocho 𝑘 más 13 menos 13 es simplemente ocho 𝑘. Y menos 11 menos 13 significa que nos movemos 13 espacios hacia la izquierda en la recta numérica. Y llegamos a menos 24. Ocho 𝑘 es igual a menos 24.

El ocho multiplica la letra 𝑘. Así que, la operación inversa que aplicamos a continuación es dividir ambos lados de nuestra ecuación por ocho. Eso deja 𝑘 en el lado izquierdo. Y como 24 dividido por ocho es tres, sabemos que menos 24 dividido por ocho es menos tres. Y, por lo tanto, partiendo de que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑘𝑥 más 13 y 𝑓 de ocho es igual a menos 11, hemos hallado que 𝑘 es igual a menos tres.

Podemos verificar nuestra respuesta haciendo 𝑓 de 𝑥 igual a menos tres 𝑥 más 13. Hemos reemplazado 𝑘 con menos tres. Vamos a comprobar que el valor de 𝑓 de ocho es, de hecho, menos 11. Reemplazamos 𝑥 con ocho. Y obtenemos menos tres por ocho más 13. Eso es menos 24 más 13, que es menos 11 como se requiere.

Ahora vamos a ver cómo determinar una función conocidos algunos valores de esa función.

Halla la regla de la función con la siguiente tabla de valores.

En esta cuestión nos dan algunos valores de entrada. La variable independiente 𝑥 corresponde a los valores de entrada. Y los tres valores que nos han dado son 𝑥 igual a uno, 𝑥 igual a cuatro y 𝑥 igual a 10. Dibujemos un diagrama de máquina para visualizar esto. Para el valor de entrada de uno, obtenemos un valor de salida de nueve. Para un valor de entrada de cuatro, obtenemos el valor de salida de 12. Y cuando ingresamos 𝑥 igual a 10, obtenemos un resultado de 18.

Estamos tratando de encontrar una regla general. Nuestro objetivo es determinar una regla general en términos de 𝑥. Entonces, ¿qué está pasando cada vez? De hecho, no es difícil darse cuenta de que simplemente estamos sumando ocho cada vez. Uno más ocho es nueve, cuatro más ocho es 12 y 10 más ocho es 18. La regla, entonces, es sumar ocho a nuestro valor de entrada para obtener el valor de salida. Pero ¿cómo lo expresamos esto algebraicamente? Bueno, ingresamos 𝑥, y le sumamos ocho. Y simplemente lo escribimos como 𝑥 más ocho. Y esta es nuestra respuesta. La regla es 𝑥 más ocho.

En nuestro último ejemplo, vamos a ver cómo cambiar el argumento a una expresión algebraica diferente afecta nuestra función.

Determina 𝑓 de cuatro menos 𝑥, sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a tres 𝑥 más siete.

Lo que esta notación nos dice es que cuando tomamos una función llamada 𝑓 e ingresamos 𝑥, nuestro resultado es tres 𝑥 más siete. Podemos usar valores para nuestro argumento, es decir, podemos reemplazar 𝑥 con cualquier número, y obtendremos diferentes valores de salida. Por ejemplo, para hallar 𝑓 de dos, reemplazamos 𝑥 con dos. Y nuestra expresión se convierte en tres por dos más siete, lo que nos da 13.

Pero no nos han dado un número. Nos dicen que determinemos 𝑓 de cuatro menos 𝑥. Así que en lugar de reemplazar 𝑥 con un número como dos, tenemos que reemplazar 𝑥 por una expresión algebraica, cuatro menos 𝑥. Y así, 𝑓 de cuatro menos 𝑥 se convierte en tres por cuatro menos 𝑥 más siete.

Desarrollemos los paréntesis. Para hacerlo, vamos a multiplicar el tres por el cuatro y el tres por menos 𝑥. Tres multiplicado por cuatro es 12. Y tres multiplicado por 𝑥 es tres 𝑥. Y tres multiplicado por menos 𝑥 es menos tres 𝑥. 𝑓 de cuatro menos 𝑥 es, por lo tanto, 12 menos tres 𝑥 más siete. A continuación, reducimos los términos similares. 12 más siete es 19. Y así, vemos que 𝑓 de cuatro menos 𝑥 es menos tres 𝑥 más 19.

En este video, hemos visto que una función lineal tiene una ecuación algebraica cuya gráfica es una recta. Hemos visto que una función transforma números, que suelen representarse por 𝑥, en otros números, que suelen representarse por 𝑦 o 𝑓 de 𝑥. Y la regla de la función no tiene exponentes o potencias. Hemos aprendido que una función asigna a cada valor de entrada exactamente un valor de salida. Y hallamos los valores de salida de una función sustituyendo la letra 𝑥 por los diferentes valores de entrada. Y a veces tenemos que reemplazar 𝑥 con una expresión algebraica.

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