Lesson Video: Límites por sustitución directa

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En este video, vamos a aprender cómo usar el método de sustitución directa para evaluar límites. Existen ciertas condiciones que han de cumplirse para poder usar sustitución directa. Vamos a estudiar estas condiciones y a ver algunos ejemplos.

Comencemos por recordar la definición de límite. Para una función 𝑓 de 𝑥, que está definida cerca de 𝑎, decimos que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es 𝐿. Si cuanto más se acerca 𝑥 a 𝑎, más se acerca el valor de 𝑓 de 𝑥 a 𝐿. Y lo expresamos de esta manera. El límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿.

Para hallar un límite usando sustitución directa, simplemente reemplazamos 𝑥 por 𝑎 en 𝑓 de 𝑥. Y el resultado que obtenemos por sustitución directa es que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑎. Esto es todo lo que hay que hacer para hallar límites usando sustitución directa.

Además, podemos usar sustitución directa para hallar el límite en muchos casos. Los siguientes casos ejemplifican algunas de las funciones — o sea, 𝑓 de 𝑥 — para las que podemos hallar el límite usando sustitución directa.

El primer caso que nos permite usar sustitución directa es si 𝑓 de 𝑥 es un polinomio, es decir, si 𝑓 de 𝑥 es de la forma dada aquí, en donde 𝑎 cero hasta 𝑎 𝑛 son constantes. Recuerda que esto también incluye funciones constantes.

El segundo caso que nos permite usar sustitución directa es si 𝑓 de 𝑥 es una función racional. Esto significa que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥, en donde tanto 𝑝 de 𝑥 como 𝑞 de 𝑥 son polinomios. Y también necesitamos que 𝑞 de 𝑎 no sea cero, ya que, si 𝑞 de 𝑎 es igual a cero, el denominador de 𝑓 de 𝑎 será igual a cero. Por lo tanto, 𝑓 de 𝑎 no estará definido.

El tercer caso es cuando 𝑓 de 𝑥 es una función trigonométrica, exponencial, o logarítmica. En el cuarto caso, tenemos que 𝑓 de 𝑥 es una función potencial. Esto significa que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 elevado a 𝑝, donde 𝑝 es un número real. Nótese que esto también incluye exponentes negativos y fraccionarios, tales como 𝑥 elevado a menos un medio, que también es igual a uno sobre raíz cuadrada de 𝑥.

El quinto caso es si 𝑓 de 𝑥 es una suma, diferencia, producto o cociente de funciones a cada una de las cuales se puede aplicar sustitución directa. Sería una combinación de cualquiera de los tipos de funciones que ya hemos cubierto en otros casos.

El último caso es si 𝑓 de 𝑥 es una composición de funciones a las cuales se puede aplicar sustitución directa. Esto quiere decir que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑔 de ℎ de 𝑥, donde ℎ de 𝑥 permite la sustitución en 𝑎 y 𝑔 de 𝑥 permite la sustitución en ℎ de 𝑎. Así que en todos estos casos podemos usar sustitución directa para hallar un límite. Y ahora estamos listos para ver un ejemplo.

Determina el límite cuando 𝑥 tiende a menos cinco de menos nueve 𝑥 al cuadrado menos seis 𝑥 menos nueve.

Nos piden hallar el límite de la función menos nueve 𝑥 al cuadrado menos seis 𝑥 menos nueve. Y podemos escribir esto como 𝑓 de 𝑥. Podemos ver que 𝑓 de 𝑥 es un simple polinomio. Por lo tanto, podemos usar sustitución directa para hallar este límite.

El método de sustitución directa nos dice que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es igual a 𝑓 de 𝑎. Aplicando esto a nuestra pregunta, podemos decir que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos cinco es igual a 𝑓 de menos cinco. Para hallar la solución, solo necesitamos sustituir menos cinco en 𝑓 de 𝑥. Esto nos da menos nueve multiplicado por menos cinco al cuadrado menos seis multiplicado por menos cinco menos nueve. Puede ser útil colocar paréntesis alrededor de los números negativos de modo que no olvidemos el signo negativo al multiplicarlos.

Desarrollemos primero menos cinco al cuadrado. Si recordamos que un número negativo multiplicado por un número negativo nos da un número positivo, obtendremos que menos cinco al cuadrado es igual a 25. Así que podemos escribir menos nueve multiplicado por 25. Después, podemos multiplicar menos seis por menos cinco, para obtener 30. Y después solo tenemos que restar nueve al final. Multiplicar menos nueve por 25 nos da menos 225. Y restamos nueve de 30 obteniendo 21. Sumando estos 21 a menos 225 obtenemos menos 204.

En este ejemplo, hemos visto cómo aplicar la sustitución directa para hallar el límite de una función polinómica. A continuación, vamos a considerar algunas funciones y a calcular si satisfacen o no las condicionas para usar sustitución directa.

¿Cuál de las siguientes funciones satisface las condiciones para usar sustitución directa para hallar el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a cero? A) 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 sobre 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥. B) 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥 más seis sobre 𝑥 menos dos sen 𝑥. C) 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 si 𝑥 es mayor que tres y 𝑥 menos tres si 𝑥 es menor o igual que tres. D) 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 más uno sobre 𝑥. Y E) 𝑓 de 𝑥 igual a dos 𝑥 si 𝑥 es mayor que cero y dos 𝑥 menos uno si 𝑥 es menor o igual que cero.

Para saber en cuál de estas funciones podemos usar sustitución directa para hallar el límite, debemos probar en cada una de las funciones si se trata de alguno de los casos para los cuales la sustitución directa funciona. Para la función A, tenemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 cuadrado más cinco 𝑥 sobre 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥. Esta es una función racional. Y si escribimos 𝑓 de 𝑥 como 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥, obtenemos que 𝑝 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 y 𝑞 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥.

Ya que 𝑝 de 𝑥 y 𝑞 de 𝑥 son polinomios, la única condición que nos resta por verificar es que el denominador de la fracción no sea cero en 𝑥 igual a cero. El denominador de nuestra función es 𝑞 de 𝑥. Calculemos el valor de 𝑞 de cero. Simplemente sustituimos cero en 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥, lo que es igual a cero al cuadrado menos dos por cero. Y tanto cero al cuadrado como dos por cero son cero. Por tanto, 𝑞 de cero es igual a cero. Esto significa que el denominador de nuestra función es igual a cero en 𝑥 igual a cero. Así que no podemos usar sustitución directa para hallar este límite.

Pasando a la función B, tenemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥 más seis sobre 𝑥 menos dos sen 𝑥. Y esto de aquí es un cociente de dos funciones. Así que podemos escribir 𝑓 de 𝑥 como 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥, en donde 𝑝 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥 más seis y 𝑞 de 𝑥 es igual a 𝑥 menos dos sen 𝑥.

Para usar sustitución directa para hallar el límite de esta función, necesitamos saber el valor del denominador cuando 𝑥 es igual a cero. Hallamos que 𝑞 de cero es igual a cero menos dos multiplicado por seno de cero. Y esto es igual también a menos dos seno de cero. Sin embargo, seno de cero es igual a cero. Y esto nos dice que 𝑞 de cero es también igual a cero.

De manera similar a la función A, hemos hallado que el denominador de la función B también es cero cuando 𝑥 es igual a cero. Y por lo tanto, una vez más no podemos usar sustitución directa para hallar el límite de esta función.

Continuando con la función C, hallamos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 si 𝑥 es mayor que tres y 𝑥 menos tres si 𝑥 es menor o igual que tres. Para determinar si podemos o no usar sustitución directa para hallar el límite de esta función, primero debemos determinar si el límite realmente existe para esta función. Para que el límite exista, necesitamos que los límites unilaterales, a cada lado de cero, sean iguales.

Esto significa que el límite cuando 𝑥 se acerca a cero por arriba de 𝑓 de 𝑥 debe ser igual al límite cuando 𝑥 se acerca a cero por abajo de 𝑓 de 𝑥. Cuando 𝑥 tiene a cero por arriba, 𝑓 de 𝑥 será igual a 𝑥 menos tres. Y esto se debe a que cuando 𝑥 es mayor que cero, 𝑥 será todavía menor o igual que tres. Y, por lo tanto, nuestra función 𝑓 de 𝑥 será igual a 𝑥 menos tres. Y esta es una función polinómica.

Y podemos usar sustitución directa para evaluar el límite por arriba. Y hallamos que el límite cuando 𝑥 tiende a cero por arriba de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑓 de cero, que es igual a cero menos tres, o sea, menos tres.

Si consideramos ahora el límite cuando 𝑥 tiende a cero por abajo, sabemos que 𝑓 de 𝑥 es nuevamente igual a 𝑥 menos tres, ya que cero es menor o igual que tres, lo que significa que nuestro valor de 𝑥 es menor o igual que tres. Por lo tanto, 𝑓 de 𝑥 debe ser igual a 𝑥 menos tres. Nuevamente, esto es un polinomio. Así que, vamos a usar sustitución directa para hallar el límite cuando 𝑥 tiende a cero por abajo, obteniendo que el límite es igual a 𝑓 de cero, que una vez más es igual a cero menos tres, o sea, menos tres.

Y así, hemos hallado que el límite cuando 𝑥 tiende a cero por arriba y el límite cuando 𝑥 tiende a cero por abajo son iguales. Y, por lo tanto, se trata de uno de los casos en los que existe el límite. Podemos agregar al final de este caso que estos dos límites unilaterales también serán iguales al límite cuando 𝑥 se aproxima a cero de 𝑓 de 𝑥.

Sabiendo que el límite existe, solo tenemos que verificar que podemos usar la sustitución directa para resolverlo. Cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 menos tres, que es una función polinómica, lo que significa que podemos usar sustitución directa para hallar el límite de esta función.

La función D es 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 más uno sobre 𝑥. Esta es una función racional. Y nuevamente podemos decir que es igual a 𝑝 de 𝑥 sobre 𝑞 de 𝑥, donde 𝑝 de 𝑥 es igual a 𝑥 más uno y 𝑞 de 𝑥 es igual a 𝑥. Reemplazamos 𝑥 igual a cero en el denominador de la fracción, que es 𝑞 de 𝑥. Obtenemos que 𝑞 de cero es igual a cero. Por tanto, el denominador de 𝑓 de 𝑥 es igual a cero cuando 𝑥 es igual a cero. Así que para hallar este límite no podemos usar sustitución directa.

Para la función E, tenemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a dos 𝑥 si 𝑥 es mayor que cero y dos 𝑥 menos uno si 𝑥 es menor o igual que cero. Para estas funciones definidas a trozos, otra vez necesitamos considerar límites unilaterales hacia la izquierda y la derecha de cero para poder demostrar si el límite existe o no. Recordemos que, para que el límite exista, el límite cuando 𝑥 tiende a cero por arriba debe ser igual al límite cuando 𝑥 tiende a cero por abajo de 𝑓 de 𝑥.

Cuando 𝑥 se aproxima a cero por arriba, es decir cuando 𝑥 es solo un poco mayor que cero, 𝑓 de 𝑥 es igual a dos 𝑥, ya que 𝑥 es mayor que cero. 𝑓 de 𝑥 igual a dos 𝑥 es un simple polinomio. Y así podemos hallar el límite a medida que 𝑥 tiende a cero por arriba usando sustitución directa. Hallamos que es igual a 𝑓 de cero, que es igual a dos por cero, o simplemente cero.

A continuación, vamos a considerar el límite cuando 𝑥 tiende a cero por abajo. Cuando 𝑥 es menor o igual que cero, hallamos que 𝑓 de 𝑥 es igual a dos 𝑥 menos uno, que es también un polinomio. Podemos, por lo tanto, hallar el límite usando sustitución directa. Por lo tanto, el límite cuando 𝑥 tiende a cero por abajo de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑓 de cero, o sea, dos por cero menos uno. Y como dos por cero es cero, obtenemos una respuesta de menos uno.

Si comparamos los límites unilaterales, podemos ver que no son iguales. Esto nos dice que aquí no existe el límite. Y no podemos usar sustitución directa para hallar este límite. Por lo tanto, la respuesta a esta pregunta es C.

Sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a módulo de 𝑥 más 11 menos módulo de 𝑥 menos 18, halla el límite cuando 𝑥 tiende a cuatro de 𝑓 de 𝑥.

Nuestra lista de casos para los que la sustitución directa funciona no incluía la función módulo. Sin embargo, podemos pensar en la función módulo de otra manera. Podemos escribir módulo de 𝑥 como la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado. Dado que hallar el módulo de un número es simplemente tomar el valor absoluto de ese número, elevar el número al cuadrado y después hallar la raíz cuadrada también nos dará el valor absoluto de ese número. La raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado también se puede escribir como 𝑥 al cuadrado elevado a un medio.

𝑥 al cuadrado y 𝑥 elevado a un medio son funciones potenciales. Sabemos que podemos aplicar sustitución directa a las funciones potenciales. Y 𝑥 al cuadrado elevado a un medio es una composición de dos funciones potenciales. Por lo tanto, también podemos aplicar la sustitución directa aquí. Utilizando esta información, vemos que también podemos aplicar sustitución directa a la función módulo de 𝑥.

Y estamos listos para evaluar la función 𝑓 de 𝑥. Vamos a considerar el módulo de 𝑥 más 11 y el módulo de 𝑥 menos 18. Aquí, simplemente estamos tomando los módulos de dos funciones polinómicas, las cuales son 𝑥 más 11 y 𝑥 menos 18. Esta es una composición de una función polinómica y una función de valor absoluto. Y como sabemos que podemos aplicar la sustitución directa tanto a las funciones polinómicas como a funciones de valor absoluto, sabemos que también podemos aplicar sustitución directa a estas funciones compuestas.

𝑓 de 𝑥 es la diferencia de estas funciones compuestas. Por tanto, también podemos aplicar sustitución directa a 𝑓 de 𝑥. Y el límite cuando 𝑥 tiende a cuatro de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑓 de cuatro, que es igual a módulo de cuatro más 11 menos módulo de cuatro menos 18, o sea, módulo de 15 menos módulo de menos 14, que es igual a 15 menos 14. Haciendo uso de esto, hallamos que la solución a esta pregunta es sencillamente uno.

Hemos visto una variedad de límites que pueden ser hallados usando sustitución directa y algunos que no. Repasemos algunos de los puntos clave de este video. La condición para poder usar sustitución directa es que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 sea igual a 𝑓 de 𝑎. Es decir, para poder usar sustitución directa, el límite debe existir y la función debe estar definida en el punto en el que estamos tomando el límite. Y hemos visto que la función de la que tomamos el límite puede ser polinómica, racional, trigonométrica, exponencial, logarítmica, o una función potencial; o una suma, diferencia, producto, cociente, o una composición de varios de estos tipos de funciones.