Lesson Video: Simplificar los radicales: racionalizar el denominador

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Echemos una mirada a la racionalización de fracciones radicales. Usamos la palabra «racionalización» porque estamos convirtiendo una parte de un número, específicamente el denominador de un quebrado, en racional. Así pues, el tema específico que vamos a ver en este video es la racionalización de denominadores. Si tenemos expresiones como esta, uno partido por la raíz cuadrada de dos, el denominador, «el número de abajo», en esa fracción es un radical: la raíz cuadrada de dos. Y, a la mayoría de la gente, esta fracción le parecería totalmente inofensiva. Pero en los ambientes matemáticos, no nos gusta esa situación en la que hay radicales en el denominador, así que tenemos que ver si podemos eliminarlos. Y cómo hacer esto es lo que vamos a aprender en este video.

Así que, vamos con nuestro primer ejemplo: racionaliza el denominador de uno sobre la raíz cuadrada de cinco. Bien, escribamos uno partido por raíz de cinco igual a uno partido por raíz de cinco. Esto parece bastante obvio; un número es igual a sí mismo. Pero intentémoslo ahora con uno sobre raíz de cinco por uno. Si multiplicamos algo por uno, obtenemos el mismo valor. Así que eso también es claramente cierto. A continuación, vamos a ver diferentes versiones de uno.

Bien, raíz de cinco sobre raíz de cinco, como algo dividido por sí mismo nos da uno como resultado, claramente la raíz de cinco sobre la raíz de cinco es uno. Es lo que hemos hecho aquí; así que esto sigue siendo uno sobre raíz de cinco por uno. La razón por la que elegimos raíz de cinco sobre raíz de cinco es porque este denominador de aquí contiene raíz de cinco; y sabemos que raíz de cinco por raíz de cinco es simplemente cinco. Y cinco no es un número radical, no es una raíz que no pueda resolverse, sino que es un número racional, que es lo que buscamos. En el numerador, uno por raíz cinco es simplemente raíz de cinco, y raíz de cinco por raíz de cinco es cinco.

Así que, aquí está nuestra respuesta. Y puedes ver que no se trata de una simplificación, pues, de hecho, la fracción de aquí probablemente parece un poco más complicada que esta otra fracción. Esta fracción tiene números más pequeños, números más pequeños en el numerador y el denominador. Pero lo que queremos es tener un número racional en el denominador, y para eso tenemos que eliminar estos radicales del denominador. Así que esa es la respuesta que estábamos buscando.

Veamos otro ejemplo: cuatro sobre raíz de doce. El proceso básico es exactamente el mismo que hicimos antes, pero es posible que al final tengamos que cancelar un poco más. Como hicimos antes, ahora decimos que cuatro sobre raíz de doce es igual a cuatro sobre raíz de doce por uno, y la versión de uno que vamos a usar es... ¡exacto!, lo adivinaste. Va a ser raíz de doce partido por raíz de doce, para que así podamos eliminar el radical del denominador.

Y aquí lo tenemos, raíz de doce sobre raíz de doce es uno, así que todo lo que hemos hecho es tomar la fracción que nos dieron y multiplicarla por uno. No vamos a cambiar la magnitud, el tamaño de esta fracción. Al multiplicar esas dos fracciones, obtenemos una fracción grande, cuatro por raíz de doce en la parte superior y raíz de doce por raíz doce en la parte inferior. Recordemos que raíz de doce por raíz de doce es simplemente doce.

Y el numerador sigue siendo cuatro por raíz de doce, o sea, cuatro raíz de doce. Así que tenemos cuatro raíz de doce en el numerador y doce en el denominador. Cuatro y doce tienen un factor común de cuatro. Cuatro dividido por cuatro es uno, y doce dividido por cuatro es tres. Lo cancelamos y simplificamos un poco.

Y podemos escribir esto como raíz de doce sobre tres. Sin embargo, esto no es nuestra respuesta todavía, porque, aunque es cierto que hemos racionalizado el denominador, por lo que técnicamente hemos contestado la pregunta. Usualmente simplificaríamos completamente la respuesta; y en este caso, significa que tenemos que simplificar un poco más el numerador. La tentación es cancelar el tres con el doce. Pero como el doce de la parte superior está dentro de una raíz, no podemos hacer esto porque el tres de la parte inferior no está dentro de una raíz. Pero doce se puede escribir como cuatro por tres, y cuatro es un número cuadrado, por lo que es un divisor cuadrado de doce.

Y raíz de cuatro por tres es lo mismo que raíz cuadrada de cuatro por raíz cuadrada de tres y, por supuesto, raíz cuadrada de cuatro es dos. Lo que nos da dos raíz de tres sobre tres. Con esto hemos demostrado que, cuando simplificamos estos radicales, lo que siempre queremos hacer es eliminar los radicales del denominador. Pero también queremos hacer que el radicando — o sea, el número dentro de la raíz— sea lo más pequeño posible. Y al extraer este factor cuadrado de doce, cuatro, y luego hallar la raíz cuadrada de cuatro, que es dos, hemos logrado hacer este número, este valor, más simple, como diríamos en términos matemáticos.

A veces las fracciones radicales son un poco más complicadas.

En esta cuestión nos han pedido que simplifiquemos por completo quince más raíz de tres, que está en el numerador, sobre raíz de tres. Hay que tener mucho cuidado, pues el error número uno del mundo al hacer este tipo de cosas es simplemente cancelar las raíces de tres y quedarse tan panchos. Pero no podemos hacer eso, pues solo podemos cancelar factores. Y tenemos quince más raíz de tres en la parte superior, no quince por raíz de tres, por lo que no son factores sino términos, que no podemos cancelar. Bien, veamos lo que sí podemos hacer. Tenemos una raíz de tres en el denominador. Así que vamos a multiplicar la fracción por uno, pero la versión de uno que vamos a usar es raíz de tres sobre raíz de tres.

Ponemos entre paréntesis los quince más la raíz de tres, solo para asegurarnos de que sabemos que están juntos. Y multiplicamos la totalidad de ese numerador por la raíz de tres y multiplicamos la totalidad del denominador por la raíz de tres; y como la raíz de tres dividida por la raíz de tres es uno, estamos multiplicando simplemente por la unidad. Bien, la razón por la que lo hemos hecho esto es porque cuando multiplicamos estos dos números, raíz de tres por raíz de tres, nos da tres. Y así eliminamos nuestro radical del denominador.

Así que ahora todo lo que tenemos que hacer es multiplicar los factores del numerador, y tenemos que raíz de tres por raíz de tres es tres, y raíz de tres por quince es quince raíz de tres. Analicemos esto nuevamente: ¿podemos factorizar? ¿Podemos cancelar? ¿Qué podemos hacer? Si miramos ese numerador de allí, vemos que es quince raíz de tres más tres. Bien, tres es un factor de tres y tres también es un factor de quince. Podremos simplificar un poco ese numerador si sacamos un factor común.

Y tres lotes de cinco raíz de tres son quince raíz de tres y tres lotes de uno son tres aquí. Con esto hemos acabado de sacar factor común en el numerador. Probablemente valga la pena mencionar ahora que tenemos tres veces el total de cinco raíz de tres más uno y tengo tres en la parte inferior. Así que podemos cancelar, pues tres es un factor de tres. Si dividimos tres por tres, obtenemos uno. Si dividimos tres por tres, obtenemos uno. Así que obtenemos uno por cinco raíz de tres más uno, todo partido por uno. Evidentemente.

No es necesario multiplicar por uno y dividir por uno aquí. Podemos escribir directamente esto como cinco raíz de tres más uno o uno más cinco raíz de tres. No importa en absoluto el orden como lo escribamos.

Bien, veamos este otro ejemplo.

Simplifica completamente uno partido por raíz de dos más uno. Esta vez tenemos una expresión numérica un poco más complicada en el denominador que en el numerador, y esto nos hace la vida un poco más difícil. Nuestra manera de enfocarlo va a ser la misma, de todas maneras: vamos a multiplicar esto por alguna versión de uno. Pero en este caso, la versión de uno por la que vamos a multiplicar es raíz de dos menos uno. Lo que hacemos aquí primero es fijarnos en el denominador. Y en el denominador tenemos raíz de dos más uno, y simplemente cambiamos el signo, y eso nos da la expresión radical que usaremos para multiplicar. Te darás cuenta de por qué cuando hagamos de hecho la multiplicación. Para aquellos de ustedes a los que les gusta anticiparse, piensen en la diferencia de cuadrados y en la identidad notable de la diferencia de cuadrados. Por supuesto, cuando multiplicamos el numerador, obtenemos uno por ese paréntesis completo, así que es bastante sencillo.

Y multiplicando obtenemos un lote de raíz de dos, que es simplemente raíz de dos, y un lote de menos uno, que es menos uno. Mirando a nuestro denominador ahora, tenemos raíz cuadrada de dos por raíz cuadrada de dos, que es simplemente dos. Luego tenemos menos raíz de dos más raíz de dos. Y, si comenzamos con menos raíz dos y le sumamos raíz de dos, eso nos da cero. Estos dos términos se cancelan, y nos quedamos con dos menos uno.

Y dos menos uno es simplemente uno, por lo tanto. tenemos menos raíz…, ¡perdón!, tenemos raíz de dos menos uno todo sobre uno. No necesitamos escribir sobre uno. Así que todo se simplifica a raíz cuadrada de dos menos uno.

Veamos un ejemplo más, simplifica completamente nueve sobre tres menos raíz cuadrada de tres. Es una buena idea poner los denominadores entre paréntesis; si tienes un par de términos, ponlos entre paréntesis, lo mismo con los numeradores, para que quede claro qué términos deben permanecer juntos. Y tenemos que hallar una versión de uno para multiplicar esto que nos sirva para eliminar por completo todos los radicales del denominador de esta fracción. Veamos lo que dijimos anteriormente. Tenemos el término aquí; tenemos tres; tenemos menos raíz de tres. Así que vamos a.… si cambiamos este signo, tendremos tres más raíz de tres. Esa es la expresión radical que vamos a poner en el numerador y en el denominador para hacer nuestra versión de uno.

Así que, lo que vamos a hacer es un proceso relativamente complicado en el que vamos a multiplicar la parte superior e inferior de esa fracción por tres más raíz de tres. Pero lo cierto es que no vamos a multiplicar el numerador todavía porque existe la posibilidad, como ocurre a menudo con estas cuestiones, de que podamos sacar factores comunes más adelante, y que podamos cancelar factores. Por lo que, para intentar ahorrarnos un poco de trabajo, no vamos a hacer nada por ahora con el numerador. Pero fijándonos en el denominador, multiplicamos tres por tres, lo que nos da nueve. Tres por raíz de tres, y ambos números tienen signo positivo, así que obtenemos más tres raíz de tres.

Pasando a los siguientes términos, tenemos menos raíz de tres por tres, que es menos tres raíz de tres, y luego tenemos menos raíz de tres por más raíz de tres. Sabemos que menos por más es menos, y que raíz de tres por raíz de tres es tres. Pues esa es precisamente la definición de las raíces cuadradas.

Así que veamos si podemos arreglar un poco este denominador. Tenemos nueve y restamos tres, así que es simplemente seis. Y tenemos tres raíz de tres menos tres raíz de tres. Se cancelan y nos dan cero, tres raíz de tres menos tres raíz de tres es cero. Así que no hay nada más que poner en el denominador.

Hemos obtenido nueve por tres más raíz de tres en la parte superior y seis en la parte inferior. Como tenemos números que están multiplicando —son, por lo tanto, factores— podemos intentar hacer algunas cancelaciones. Tres es un divisor tanto de nueve como de seis, y seis dividido por tres es dos, y nueve dividido por tres es tres. Por lo que nuestra respuesta es ahora tres por tres más raíz de tres sobre dos. Y a partir de aquí, no podemos ya hacer más cancelaciones; así que esa es de hecho nuestra respuesta final.

Si desarrollamos el paréntesis en el numerador, obtenemos nueve más tres raíz de tres sobre dos, y esa es una respuesta igual de buena que la otra; eso no es un problema. Y, de hecho, podemos descomponer esto en dos fracciones separadas, nueve sobre dos más tres raíz de tres sobre dos. Todas estas respuestas, y algunas más, son equivalentes y todas son correctas.

De modo que cuando hablamos de racionalizar denominadores, solo significa eliminar todas las raíces cuadradas del denominador, y la forma en que lo hacemos es multiplicando por alguna versión de uno, y eso nos sirve para eliminar esos radicales del denominador.