Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo identificar, escribir y hallar valores de una función logarítmica sabiendo que es la inversa de una función exponencial. Vamos a comenzar recordando la relación entre las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas.
Las funciones logarítmicas son las funciones inversas de las funciones exponenciales. Si la función exponencial es 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 elevado a 𝑥, entonces la inversa de 𝑓 de 𝑥 es igual a log en base 𝑎 de 𝑥. Esto nos permite resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos. Si 𝑦 es igual a 𝑎 elevado a 𝑥, entonces 𝑥 es igual a logaritmo en base 𝑎 de 𝑦. También debemos recordar que el logaritmo natural o logaritmo neperiano, que se escribe ln de 𝑥, es el inverso de la función 𝑒 elevado a 𝑥. Finalmente, cuando un logaritmo se escribe sin base, debemos entender que la base es 10. Log 𝑥 es lo mismo que log en base 10 de 𝑥. A continuación, vamos a ver algunas cuestiones que contienen funciones exponenciales y logarítmicas.
La función 𝑓 de 𝑥, que es igual a dos 𝑒 elevado a 𝑥 más tres, tiene una inversa de la forma 𝑔 de 𝑥 igual a ln de 𝑎𝑥 más 𝑏. ¿Cuáles son los valores de 𝑎 y 𝑏?
Para hallar la inversa de una función, debemos comenzar reemplazando 𝑓 de 𝑥 con 𝑦. En este caso, 𝑦 es igual a dos 𝑒 elevado a 𝑥 más tres. Nuestro siguiente paso es reorganizar esta ecuación para despejar 𝑥. Comenzamos restando tres de ambos lados y obtenemos 𝑦 menos tres igual a dos 𝑒 elevado a 𝑥. Después podemos dividir ambos lados de nuestra ecuación por dos. Obtenemos 𝑦 menos tres sobre dos es igual a 𝑒 elevado a 𝑥. El lado izquierdo se puede reescribir como un medio de 𝑦 menos tres medios. Hecho esto podemos tomar el logaritmo neperiano de ambos lados ya que sabemos que ln de 𝑥 es la función inversa de 𝑒 elevado a 𝑥. Esto nos da que ln de un medio 𝑦 menos tres sobre dos es igual a 𝑥.
Como ahora hemos hecho de 𝑥 el sujeto de la ecuación, podemos intercambiar las variables 𝑦 y 𝑥. Por lo tanto, la inversa de 𝑓 de 𝑥 es ln de un medio de 𝑥 menos tres medios. Como la inversa 𝑔 de está en la forma ln de 𝑎𝑥 más 𝑏, podemos ver inmediatamente que 𝑎 es igual a un medio y 𝑏 es igual a menos tres sobre dos, o sea, menos tres medios. Este método puede usarse para calcular la inversa de cualquier función.
En nuestra siguiente cuestión, vamos a explorar el dominio y el rango de las funciones exponenciales y logarítmicas.
Considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 a la 𝑥, donde 𝑏 es un número real positivo no igual a uno. ¿Cuál es el dominio de la inversa de 𝑓 de 𝑥?
Hay varias formas de abordar este problema. Una forma consiste en aplicar el hecho de que las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas son inversas entre sí. Esto significa que, si 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑏 elevado a 𝑥, la función inversa es igual a log en base 𝑏 de 𝑥. Se nos pide hallar el dominio de esta función. El dominio de cualquier función es el conjunto de los valores de entrada. Sabemos que solo podemos hallar el logaritmo de valores positivos. Esto significa que el dominio de la función inversa es 𝑥 es mayor que cero ya que los únicos valores que podemos sustituir en la función log en base 𝑏 de 𝑥 son valores de 𝑥 mayores que cero.
Un método alternativo aquí sería considerar las gráficas de nuestras funciones. Se muestra la gráfica de 𝑓 de 𝑥. La gráfica interseca el eje Y en 𝑏 y el eje X es una asíntota. La gráfica de la inversa de cualquier función es su reflexión en la recta 𝑦 igual a 𝑥. Esto significa que la función log en base 𝑏 de 𝑥 interseca el eje X en 𝑏 y el eje Y es una asíntota. Como el dominio es el conjunto de valores de entrada, podemos ver en la gráfica que el dominio de la inversa de 𝑓 de 𝑥 está formado por todos los números mayores que cero.
Un último método sería recordar que el dominio de 𝑓 es igual al rango de la inversa. Del mismo modo, el rango de 𝑓 de 𝑥 es igual al dominio de la inversa. El rango de cualquier función es el conjunto de los valores de salida. Podemos ver en el gráfico que el rango de 𝑓 de 𝑥 es todos los valores mayores que cero. Esto prueba una vez más que el dominio de la función inversa es 𝑥 mayor que cero.
Nuestra siguiente cuestión requiere resolver una ecuación logarítmica.
Considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a log en base dos de tres 𝑥 menos uno. Sabiendo que 𝑓 de 𝑎 es igual a tres, halla el valor de 𝑎.
Nos dicen que 𝑓 de 𝑎 es igual a tres, por lo que podemos comenzar sustituyendo estos valores en la función 𝑓 de 𝑥. Esto nos da log en base dos de tres 𝑎 menos uno es igual a tres. Recordemos que las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales. Esto significa que, si log en base 𝑎 de 𝑦 es igual a 𝑥, entonces 𝑎 elevado a 𝑥 es igual a 𝑦. En esta cuestión, la base 𝑎 es igual a dos, la variable 𝑦 es igual a tres 𝑎 menos uno y la variable 𝑥 es igual a tres. Por lo tanto, dos al cubo es igual a tres 𝑎 menos uno.
Sabemos que dos al cubo es igual a ocho. Luego podemos sumar uno a ambos lados de esta ecuación y obtener tres 𝑎 igual a nueve. Dividir ambos lados de esta ecuación por tres nos da 𝑎 igual a tres. Si la función 𝑓 de 𝑥 es igual a log en base dos de tres 𝑥 menos uno y 𝑓 de 𝑎 es igual a tres, entonces el valor de 𝑎 es tres. Podríamos comprobar esta respuesta en la calculadora reemplazando nuestro valor en la función original.
En nuestra siguiente cuestión, queremos hallar la base de una función logarítmica.
Sabiendo que la gráfica de la función 𝑓 de 𝑥 igual a log en base 𝑎 de 𝑥 pasa por el punto 1024, cinco, halla el valor de 𝑎.
Nos dicen que nuestra función pasa a través del punto de coordenada 𝑥 igual a 1024 y de coordenada 𝑦 igual a cinco. La función 𝑓 de 𝑥 se puede reescribir como 𝑦 es igual a log en base 𝑎 de 𝑥. Cuando se trata de funciones, 𝑓 de 𝑥 y 𝑦 son intercambiables. Sustituyendo nuestros valores de 𝑥 y 𝑦, obtenemos cinco igual a log en base 𝑎 de 1024. Sabemos que las funciones logarítmicas y las funciones exponenciales son inversas entre sí. Esto significa que, si 𝑥 es igual a log en base 𝑎 de 𝑦, 𝑎 elevado a 𝑥 es igual a 𝑦.
Podemos reescribir nuestra ecuación en forma exponencial, la cual es 𝑎 elevado a cinco es igual a 1024. Luego podemos sacar la raíz quinta de ambos lados de nuestra ecuación para calcular el valor de 𝑎. La raíz quinta de 1024 es igual a cuatro. Podemos verificar esto calculando cuatro a la quinta. Esto es igual a cuatro multiplicado por cuatro multiplicado por cuatro multiplicado por cuatro multiplicado por cuatro. Cuatro multiplicado por cuatro es igual a 16. Cuando multiplicamos esto por cuatro, obtenemos 64. 64 multiplicado por cuatro es 256. Y finalmente, multiplicar esto por cuatro nos da 1024. Si la función 𝑓 de 𝑥, que es igual a log base 𝑎 de 𝑥, pasa por el punto 1024, cinco, entonces la base 𝑎 es igual a cuatro.
Nuestra última cuestión implica resolver una ecuación logarítmica en un contexto de la vida real.
El pH de una solución está dado por la fórmula pH es igual a menos logaritmo de 𝑎 sub H+, donde 𝑎 sub H+ es la concentración de iones de hidrógeno. Halla la concentración de iones de hidrógeno en una solución cuyo pH es 8.4.
Cuando el pH es igual a 8.4, 8.4 es igual a menos logaritmo de 𝑎 sub H+. Estamos tratando de calcular este valor, que es la concentración de iones de hidrógeno. Recordemos que cuando un logaritmo está escrito sin base, asumimos que tiene base 10. Log 𝑥 es lo mismo que log en base 10 de 𝑥. Podemos multiplicar ambos lados de nuestra ecuación por menos uno para obtener menos 8.4 es igual a log en base 10 de 𝑎 sub H+. Sabemos que una función logarítmica es la inversa de una función exponencial. Si 𝑥 es igual a log en base 𝑎 de 𝑦, entonces 𝑎 elevado a 𝑥 es igual a 𝑦. Esto significa que 10 elevado a menos 8.4 es igual a 𝑎 sub H+. La concentración de iones de hidrógeno es, por lo tanto, igual a 10 elevado a menos 8.4.
A continuación, vamos a resumir los puntos clave de este video. En este video, hemos explorado el hecho conocido de que las funciones logarítmicas y las funciones exponenciales son inversas entre sí. Esto significa que, si 𝑥 es igual a log en base 𝑎 de 𝑦, entonces 𝑎 elevado a 𝑥 es igual a 𝑦. Esto nos permite convertir entre ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Y un caso particular de esta relación entre funciones exponenciales y logarítmicas es que, si 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑒 elevado a 𝑥, entonces la inversa de esta función es igual al logaritmo natural o logaritmo neperiano ln de 𝑥. El dominio de 𝑓 de 𝑥 es igual al rango de la función inversa. Del mismo modo, el rango de 𝑓 de 𝑥 es igual al dominio de la función inversa. Esto se debe a que las gráficas de 𝑓 de 𝑥 y de 𝑓 a la menos uno de 𝑥 son reflexiones la una de la otra con respecto a la recta 𝑦 igual a 𝑥. Finalmente, hemos recordado que cuando un logaritmo se escribe sin base, debemos suponer que la base es 10. Log 𝑥 es igual a log en base 10 de 𝑥.
