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Vídeo de la lección: Hallar un lado en un triángulo rectángulo con trigonometría

En este vídeo vamos a aprender cómo determinar la longitud desconocida de un lado en un triángulo rectángulo aplicando la función trigonométrica adecuada para el ángulo que se conoce.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo determinar la longitud desconocida de un lado en un triángulo rectángulo aplicando la función trigonométrica adecuada para el ángulo que se conoce. Bien, pero ¿de qué funciones trigonométricas estamos hablando? Cuando tenemos un triángulo rectángulo, usamos el acrónimo SOHCAHTOA para ayudarnos a recordar las definiciones de las funciones o razones trigonométricas, seno, coseno y tangente. Decimos que el seno de 𝜃 es igual al cateto opuesto partido por la hipotenusa. El coseno del ángulo 𝜃 es igual a la longitud del cateto adyacente —o sea, del cateto contiguo— partido por la hipotenusa. Y la tangente del ángulo 𝜃 es igual a la longitud del cateto opuesto partido por la longitud del cateto adyacente, o sea, del cateto contiguo.

Pero para obtener las razones apropiadas, tenemos que marcar el triángulo correctamente. Y eso significa que siempre vamos a considerar qué ángulo estamos usando. En este caso es el ángulo 𝜃. El cateto opuesto es el lado directamente opuesto al ángulo en cuestión. El cateto adyacente o contiguo es el lado que está al lado del ángulo y que no es la hipotenusa. Y la hipotenusa es siempre el lado más largo del triángulo rectángulo. Y es el lado directamente opuesto al ángulo recto. Si conocemos las razones trigonométricas y hemos marcado correctamente el triángulo rectángulo, estaremos listos para empezar a determinar las longitudes desconocidas en un triángulo rectángulo.

Veamos un ejemplo en el que se nos pide calcular la longitud de un lado.

Halla 𝑥 en la siguiente figura. Expresa la respuesta con una precisión de dos decimales.

Al observar esta figura, lo primero en lo que nos damos cuenta es que se trata de un triángulo rectángulo. Conocemos la amplitud de un ángulo y la longitud de un lado. Eso significa que, para resolver el problema, vamos a tener que aplicar las funciones trigonométricas. Sabemos cuáles son gracias al acrónimo SOHCAHTOA. El seno de 𝜃 es igual al cateto opuesto partido por la hipotenusa. El coseno de 𝜃 es igual al cateto adyacente partido por la hipotenusa. Y la tangente de 𝜃 es igual al cateto opuesto partido por el cateto adyacente. Nuestro punto de partida es siempre el ángulo que se nos ha dado. Tenemos el ángulo de 68 grados. Así que podemos denotar como cateto opuesto el lado 𝑥, como cateto contiguo, el lado que mide 11, y la hipotenusa es el lado que está opuesto al ángulo recto.

Una vez que hemos marcado estos lados, vemos que se nos ha dado la longitud del cateto contiguo. Y queremos conocer la longitud del cateto opuesto. Como estamos operando con el cateto opuesto y el contiguo, vamos a aplicar la función tangente. La tangente de 𝜃 es igual al cateto opuesto partido por el cateto contiguo y escribimos 68 grados para el ángulo. El cateto opuesto es el lado que queremos hallar, 𝑥, y el cateto contiguo mide 11.

Y ahora solo tenemos que despejar 𝑥. Podemos hacerlo multiplicando ambos lados de la ecuación por 11. 11 por tangente de 68 grados es igual a la longitud del lado 𝑥. Ahora, para efectuar este cálculo, necesitamos usar una calculadora. Introducimos 11 por tangente de 68. Y obtenemos 27.22595. Si tu calculadora no te da esta solución, deberías comprobar y asegurarte de que está puesta en modo de grados y no de radianes.

Vamos a usar la solución que nos ha dado la calculadora y la vamos a poner en nuestra ecuación. El lado desconocido 𝑥 mide 27.22595. Pero se nos ha pedido que redondeemos a dos decimales. Para redondear al segundo decimal, nos vamos a la derecha. Y como hay un cinco en el tercer decimal, redondeamos al alza. Y obtenemos que 𝑥 es igual a 27 con veintitrés centésimas, 27.23. Como no se nos ha dado ninguna unidad, está bien dejarlo en esta forma. 𝑥 es igual a 27.23.

Aquí tenemos otro ejemplo. Esta vez, nos faltan las longitudes de dos de los lados. Y tenemos que calcularlas.

Halla los valores de 𝑥 y de 𝑦 con una precisión de tres decimales.

Vemos que se trata de un triángulo rectángulo. Se nos da un ángulo y la longitud de un lado, lo que significa que podemos usar las razones trigonométricas para resolver los dos lados desconocidos haciendo uso del acrónimo SOHCAHTOA. El seno de 𝜃 es igual al opuesto partido por la hipotenusa. El coseno de 𝜃 es igual al adyacente partido por la hipotenusa. Y la tangente de 𝜃 es igual al opuesto partido por el adyacente.

La clave aquí es marcar el triángulo correctamente. Y para hacerlo, vamos a usar el ángulo que se nos ha dado como punto de partida. Denotamos las longitudes de los lados en relación con el ángulo dado. 𝑦 es el cateto opuesto al ángulo de 40 grados. 𝑥 es el cateto contiguo al ángulo de 40 grados. Y la hipotenusa es siempre el lado opuesto al ángulo recto.

Vamos a empezar hallando 𝑦. Si queremos hallar 𝑦 y conocemos la hipotenusa, tenemos que usar la función seno, pues el seno de 𝜃 es igual al cateto opuesto partido por la hipotenusa. Y eso significa que podemos decir que seno de 40 grados es igual a 𝑦 sobre 14. Como lo que queremos es despejar 𝑦, vamos a multiplicar ambos lados por 14. De esta forma obtenemos que 14 por seno de 40 grados es igual a 𝑦.

Cuando introducimos esto en la calculadora, obtenemos 8.99902 etcétera. Si no obtienes esta respuesta en tu calculadora, entonces deberías comprobarla y asegurarte de que estás operando en grados y no en radianes. El problema nos pide que demos la respuesta con una precisión de tres decimales. Así que nos fijamos en el cuarto decimal, que es un cero, así que redondeamos hacia abajo. 𝑦 es igual a 8.999. Y las unidades de medida son centímetros. Así que decimos que 𝑦 es igual a 8.999 centímetros.

Ahora tenemos que hallar 𝑥. Y podemos hallar 𝑥 con dos razones trigonométricas distintas. Podemos usar el cateto contiguo y la hipotenusa, que sería la razón del coseno. O podemos utilizar la medida de 𝑦 y usarla como el cateto opuesto. Eso significa que usaríamos la razón de la tangente, pues tendríamos el cateto opuesto y el cateto contiguo. En este caso vamos a usar la hipotenusa para ahorrarnos muchos cálculos.

Estamos operando con la razón del coseno. Y eso significa que tendremos 𝑥 partido por 14. Multiplicamos ambos lados por 14. 14 por coseno de 40 grados es igual a 𝑥. Así que 𝑥 será igual a 10.72462 etcétera. Si redondeamos a tres cifras decimales tenemos que redondear hacia arriba a 10.725. De nuevo, las unidades aquí se miden en centímetros. Así que decimos que 𝑥 es igual a 10.725 centímetros.

Fíjate en cómo hasta ahora hemos operado con longitudes laterales desconocidas en el numerador de la fracción de la razón.

Veamos ahora un ejemplo en el que tenemos una longitud que está en el denominador de la razón.

Halla los valores de 𝑥 y de 𝑦 con una precisión de tres decimales.

Tenemos un triángulo rectángulo. Se nos da un ángulo y la longitud de un lado, y se nos pide que hallemos los dos lados que faltan. Para hacerlo, tenemos que aplicar las razones trigonométricas. Y para acordarnos de ellas nos basta con aprender el acrónimo SOHCAHTOA. El seno de 𝜃 es igual al cateto opuesto partido por la hipotenusa. El coseno de 𝜃 es igual al cateto contiguo partido por la hipotenusa. Y la tangente de 𝜃 es igual al cateto opuesto partido por el cateto contiguo. La clave para resolver estos problemas es marcar correctamente el triángulo. Y lo vamos a marcar en relación con el ángulo que se nos ha dado.

Este es nuestro punto de partida. La longitud del cateto opuesto es la longitud del lado directamente opuesto a este ángulo. El cateto contiguo está al lado de ese ángulo. Y la hipotenusa siempre es el lado opuesto al ángulo recto. Una vez que hemos etiquetado el triángulo, estamos listos para determinar qué razón trigonométrica necesitamos. Si comenzamos hallando la longitud del lado 𝑦, la hipotenusa, y ya conocemos el cateto opuesto, 28 centímetros, necesitamos usar la razón del seno, pues la razón del seno hace uso de la longitud del cateto opuesto y de la hipotenusa. La ecuación tendría esta pinta. Seno de 47 grados es igual a 28 sobre 𝑦.

Cuando la variable está en el denominador, vamos a tener que realizar dos pasos para hallar el valor. Lo primero que haremos es multiplicar ambos lados de la ecuación por 𝑦. Al hacerlo, obtenemos que 𝑦 por seno de 47 grados es igual a 28. Como el objetivo es despejar 𝑦, entonces ahora tenemos que dividir ambos lados de la ecuación por seno de 47 grados, así. Y luego, a la izquierda, tenemos 𝑦. Y a la derecha, tenemos 28 sobre seno de 47 grados. Cuando introducimos esto en la calculadora, obtenemos 38.28516 etcétera. Y se nos pide que redondeemos la respuesta a tres cifras decimales. Así que redondeamos este número a 38.285. Los lados se miden en centímetros, así que las unidades aquí son centímetros. Así que ya hemos hallado uno de los lados desconocidos.

Para hallar la longitud del lado 𝑥, tenemos dos opciones. Podemos usar la medida de la hipotenusa que acabamos de calcular, 38.285. Si lo hiciéramos, estaríamos tratando con el cateto contiguo y la hipotenusa, por lo que tendríamos que usar la función coseno. O podríamos usar otra vez el lado de 28 centímetros. En ese caso, estaríamos usando el cateto opuesto y el contiguo, por lo que tendríamos que aplicar la razón de la tangente. Esto significa que obtendríamos la ecuación tangente de 47 grados igual a 28 sobre 𝑥. O, si usamos la hipotenusa y el cateto adyacente, diremos que coseno de 47 grados es igual a 𝑥 sobre 38.285.

Vamos a practicar con la variable 𝑥 en el denominador. Tangente de 47 grados es igual a 28 sobre 𝑥. Para hallar 𝑥, primero multiplicamos ambos lados de la ecuación por 𝑥. Y decimos que 𝑥 por tangente de 47 grados es igual a 28. Para despejar 𝑥, dividimos ambos lados de la ecuación por tangente de 47 grados. Y obtenemos que 𝑥 es igual a 28 sobre tangente de 47 grados, lo que nos da 26.1104. Redondeamos a tres cifras decimales. Y obtenemos 𝑥 igual a 26.110, medido en centímetros, por lo que ya hemos calculado los dos lados que faltaban.

Veamos ahora un problema que no parece, a simple vista, tener nada que ver con un triángulo.

Una persona quiere calcular la altura de la Torre Eiffel. Ha medido una distancia de 250 metros desde la base de la torre. Desde ese punto, ha sido capaz de determinar que el ángulo de elevación a lo alto de la torre mide 52 grados. Utiliza estas medidas para aproximar la altura de la torre al metro más cercano.

Cuando tenemos un problema así, lo primero que debemos hacer es reflexionar sobre la información que se nos ha dado. En primer lugar, tenemos la Torre Eiffel, y se nos dice que alguien ha medido una distancia de 250 metros desde la base de la torre. Desde ese punto, ha calculado que el ángulo de elevación a lo alto de la torre mide 52 grados. Una vez que tenemos toda esta información en forma de diagrama, podremos ver la forma de un triángulo rectángulo.

La altura de la torre forma un ángulo recto con la base. La altura es el valor desconocido que estamos tratando de resolver. Así que ahora tenemos que empezar desde el ángulo de elevación y marcar los lados del triángulo rectángulo. La altura es opuesta al ángulo que conocemos. La base de 250 metros es el cateto contiguo al ángulo dado. Y el otro lado que va desde la persona hasta lo alto de la torre es la hipotenusa.

En este problema no nos interesa hallar el valor de la hipotenusa. Lo que queremos hallar es el cateto opuesto, por lo que vamos a hacer uso de SOHCAHTOA. El seno de 𝜃 es igual al cateto opuesto partido por la hipotenusa. El coseno de 𝜃 es igual al cateto adyacente partido por la hipotenusa. Y la tangente de 𝜃 es igual al cateto opuesto partido por el cateto adyacente. Basándonos en la información que nos han dado, vemos que tenemos que aplicar la función tangente.

Puesto que la tangente de 𝜃 es igual al cateto opuesto partido por el cateto contiguo, podemos decir que la tangente de 52 grados es igual a ℎ, la altura de la torre, partido por 250 metros. Para obtener una estimación para ℎ, tenemos que resolver para ℎ, es decir, tenemos que despejar ℎ. Así que multiplicamos ambos lados de la ecuación por 250. Y obtenemos que 250 por tangente de 52 grados es igual a ℎ. Cuando metemos esto en una calculadora, obtenemos 319.9854 etcétera. Como queremos redondear al metro más cercano, redondearemos al entero más cercano. Así que nos fijamos en el primer decimal y vemos que tenemos que redondear al alza. Las unidades en las que estamos midiendo son metros. Así que una estimación de la altura de la Torre Eiffel basada en la información que nos han dado es 320 metros.

Veamos un último ejemplo en el que no se nos da un diagrama.

Calcula la longitud del segmento 𝐴𝐶 sabiendo que 𝐴𝐵𝐶 es un triángulo con un ángulo recto en 𝐵, que seno de 𝐶 es igual a nueve sobre 16, y que 𝐴𝐵 es 18 centímetros.

En este caso, el primer paso es dibujar un triángulo para ilustrar estas condiciones. En primer lugar, tenemos un triángulo rectángulo. El ángulo recto está en 𝐵. Así que marcamos el ángulo recto en 𝐵. Y luego añadimos 𝐴 y 𝐶. Sabemos que 𝐴𝐵 mide 18 centímetros. Y luego se nos dice que el seno de 𝐶 es igual a nueve sobre 16. Esto quiere decir que el ángulo del que estamos hablando es el ángulo 𝐶. Y si nos acordamos del acrónimo de las razones trigonométricas SOHCAHTOA, sabemos que el seno de un ángulo es igual al cateto opuesto partido por la hipotenusa. Por lo tanto, si el ángulo que estamos considerando es 𝐶, la longitud del cateto opuesto será el lado 𝐴𝐵. Y la hipotenusa es siempre el cateto opuesto al ángulo recto. Y, por lo tanto, esa relación es 9 sobre 16.

Es muy importante que recuerdes que estas relaciones son razones. Por lo tanto, el seno del ángulo 𝐶 nos dice que, por cada nueve unidades de longitud que mida el cateto opuesto, la hipotenusa medirá 16 unidades. Así que podemos decir que, si el cateto opuesto mide 18 centímetros, y sabemos que nueve por dos es igual a 18. Y cuando se trata de razones o fracciones, si multiplicamos por dos en el numerador, tenemos que multiplicar por dos en el denominador. 16 por dos es 32. Por lo tanto, decimos que la hipotenusa mide 32 centímetros. El segmento de recta 𝐴𝐶 es la hipotenusa. Y mide 32 centímetros.

Cuando tenemos un triángulo rectángulo y tenemos que resolver uno de los lados, debemos recordar las tres razones trigonométricas y luego seguir estos pasos. Primero, denotar los lados del triángulo como cateto opuesto, cateto contiguo e hipotenusa según sea su posición con respecto al ángulo conocido. Segundo, elegir la razón trigonométrica correcta que relaciona el lado conocido con el lado desconocido. Y, por último, sustituir los valores y resolver.

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