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Vídeo de la lección: El teorema de los senos Matemáticas • Undécimo grado

En este video, vamos a aprender cómo aplicar el teorema (o ley) de los senos para calcular longitudes y medidas de ángulos en triángulos.

16:45

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a presentar la ley (o regla) de los senos y después vamos a ver cómo aplicarla a algunos problemas mixtos.

Así veamos de qué trata la ley de los senos. La ley de los senos es realmente útil porque nos permite hacer trigonometría y calcular longitudes y ángulos en triángulos que no son rectángulos. Aquí tenemos un diagrama de un triángulo que no tiene ángulo recto, y lo hemos etiquetado de una manera especial. Hemos etiquetado los tres vértices del triángulo como 𝐴, 𝐵, 𝐶 en mayúsculas. Y luego, hemos etiquetado el lado opuesto a aquellos con la misma letra, pero en minúsculas. Es decir que, el lado 𝑎 es el ángulo opuesto al vértice 𝐴 y así sucesivamente.

Lo que la ley de los senos nos dice es que, en todo triángulo, la razón entre la longitud de un lado y el seno de su ángulo opuesto es constante. Por lo tanto, si tomamos el lado 𝑎 y lo dividimos por el seno del ángulo opuesto 𝐴, obtenemos el mismo resultado que si tomamos el lado 𝑏 y lo dividimos por el seno del ángulo 𝐵. Y también obtenemos el mismo resultado si tomamos el lado 𝑐 y luego lo dividimos por el seno del ángulo opuesto 𝐶.

Ahora bien, esta es una forma de especificar la relación. Y este formato es particularmente útil si queremos calcular la longitud de un lado. Pero también podemos hacerlo usando los recíprocos, así que podemos invertir cada una de esas fracciones. Por lo tanto, también se puede escribir en este formato aquí, donde cada una de esas fracciones está al revés. Este formato es particularmente útil cuando tenemos que calcular el tamaño de un ángulo.

Entonces, ¿cuándo usamos la ley de los senos? Bien, como ya lo hemos dicho, la usamos en triángulos no rectángulos, pero más específicamente la usamos cuando la información que nos dan y lo que queremos calcular forma pares opuestos. Por ejemplo, es posible que conozcamos las longitudes de los lados a y 𝑏 y el ángulo 𝐴 y deseemos calcular el ángulo 𝐵. Y, como son pares opuestos, esta sería una oportunidad de usar el teorema de los senos.

Esta cuestión dice, halla todos los valores posibles para las otras longitudes y ángulos en el triángulo 𝐴𝐵𝐶. Y nos piden dar las longitudes al centímetro más cercano y los ángulos al grado más cercano.

Más adelante, vamos a analizar lo que significa eso de «todos los valores posibles», pero comencemos recordando la ecuación de la ley de los senos que vamos a necesitar en esta cuestión. Y recuerda, era esta razón de aquí y, por supuesto, podríamos igualmente utilizar el recíproco de eso. Por lo tanto, podríamos escribirlo al revés.

Así que tenemos tres cosas que necesitamos calcular aquí, dos ángulos faltantes y luego una longitud faltante. La razón por la que podemos usar la ley de los senos es porque tenemos pares opuestos. Tenemos, pues, esa longitud de 14 centímetros y el ángulo de 52 grados y luego esta longitud de 8.1 centímetros, lo que significa que tenemos suficiente información para calcular el ángulo 𝐵 en primer lugar.

Así que lo que vamos a hacer es escribir la ley de los senos usando el ángulo 𝐴, el lado 𝑎, el ángulo 𝐵 y el lado 𝑏. Ahora, como estamos calculando un ángulo primero, vamos a usar la forma recíproca de esa relación. Usando toda la información conocida, tenemos que sen de ángulo 𝐵 dividido por 8.1 es igual a sen de 52 dividido por 14. Y ahora, tenemos una ecuación que podemos resolver para calcular el ángulo 𝐵.

El primer paso es multiplicar ambos lados de esta ecuación por 8.1. Tenemos que sen de 𝐵 es igual a 8.1 multiplicado por sen 52 sobre 14. Ahora, vamos a usar la función inversa del seno para calcular el ángulo 𝐵. Y, usando una calculadora para evaluar esto, hallamos que el ángulo 𝐵 es igual a 27.124. Redondeando como se nos indica obtenemos 27 grados. Si el ángulo 𝐵 es de 27 grados y sabemos que el ángulo 𝐴 es de 52 grados, podemos calcular el ángulo 𝐶 directamente sin usar la ley de los senos, sino simplemente usando la suma de los ángulos en un triángulo. Así que, tenemos que el ángulo 𝐶 es 180 menos 52 menos 27, y por lo tanto es 101 grados.

Ahora tenemos todos los ángulos en el triángulo, solo necesitamos calcular el último lado. Y, para ello, vamos a aplicar la ley de los senos nuevamente. Y como estamos calculando la longitud de un lado esta vez, usamos la primera versión donde los lados están en el numerador. Solo necesitamos usar uno de los otros pares, el par A o el par B. Vamos a optar por usar el par A. Tenemos que 𝑐 sobre sen 101 es igual a 14 sobre sen 52. Y debemos tener cuidado al distinguir entre letras minúsculas y mayúsculas aquí. Recuerda, las letras minúsculas representan lados, por lo que es una letra 𝑐 minúscula.

Para resolver esta ecuación para el lado 𝑐, multiplicamos ambos lados de la ecuación por sen 101. Y tenemos entonces que 𝑐 es igual a 14 multiplicado por sen de 101 dividido por sen de 52, que es 17.43. Ahora bien, nos piden redondear esto al centímetro más cercano, así que tenemos 17 centímetros para el lado 𝑐. Entonces, el lado 𝑐 es de 17 centímetros, el ángulo 𝐵 es de 27 grados y el ángulo 𝐶 es de 101 grados.

Volvamos ahora a esa parte de la cuestión en la que nos piden todos los valores posibles para las otras longitudes y ángulos. Y debemos tener en cuenta que, cuando calculamos el ángulo 𝐵, vimos que era igual a 27 grados. Es importante tener en cuenta, sin embargo, que existe otra posibilidad para el ángulo 𝐵, y esto es debido a que que sen de un ángulo es igual a sen de 180 menos ese ángulo. Y eso es simplemente una de las propiedades que tiene la razón seno.

Lo que esto nos dice es que, aunque el ángulo 𝐵 puede valer 27 grados, también podría valer 180 menos 27 grados, lo que significa que 𝐵 podría valer 153 grados. Ahora bien, si miramos la información que ya teníamos en esta etapa, que el ángulo 𝐴 es de 52 grados, vemos que esto no funciona. Porque si sumamos 𝐴 y 𝐵, la suma de los ángulos estará por encima de 180 grados, y sabemos que, en un triángulo, 180 grados es la suma de todos los ángulos. Esto nos dice que, en realidad, no hay otra posibilidad para el ángulo 𝐵. Porque si fuera 153 grados, no sería posible construir un triángulo con la información que ya conocemos.

Sin embargo, esto que acabamos de hacer es una verificación importante. Y si hubiera sido el caso de que este ángulo pudiera haberse incluido en un triángulo con los 52 grados, entonces tendríamos otro conjunto de posibilidades y necesitaríamos pasar por el proceso de calcular otro valor del ángulo 𝐶 y otro valor del lado 𝑐 nuevamente usando el segundo valor de 𝐵. Entonces, en esta cuestión, hemos aplicado la ley de los senos dos veces, una vez para calcular un lado y otra para calcular un ángulo. Y luego, hemos usado el hecho de que los ángulos en un triángulo suman 180 grados para hallar el tercer ángulo en el triángulo.

Esta cuestión nos dice que 𝐴𝐵𝐶 es un triángulo en el que el ángulo 𝐴 mide 55 grados, 𝐵𝐶 mide 13 centímetros y 𝐴𝐶 mide 28 centímetros. Nos piden que, si el triángulo existe, hallemos todos los valores posibles para las otras longitudes y ángulos y luego nos dicen cómo redondear nuestras respuestas.

Ahora bien, es interesante que la cuestión diga «si el triángulo existe». Así que, lo que haremos es suponer que el triángulo existe, y haremos todo lo que podamos hacer. Y si todo funciona perfectamente, entonces es que el triángulo existe. Y si nos encontramos con un problema insoluble, el triángulo no existe.

Así que, vamos a asumir que existe, y vamos a dibujar un boceto de este triángulo. Aquí está nuestro diagrama, con toda la información que nos dieron. Nos piden que calculemos longitudes y ángulos, y necesitamos usar la ley de los senos aquí porque tenemos un par opuesto allí de 55 grados y 13 centímetros. Recordemos la ley (o teorema) de los senos. Esta ley dice que la razón entre el seno de un ángulo y la longitud del lado opuesto es constante para todos los pares opuestos del triángulo. Recuerda, las minúsculas 𝑎, 𝑏 y 𝑐 representan los lados opuestos a los ángulos 𝐴, 𝐵 y 𝐶. Así que las incluimos en el diagrama.

Hemos decidido usar la ley de los senos en este formato, donde los ángulos están en el numerador porque vamos a intentar calcular el ángulo 𝐵 primero. Y requiere menos reorganización si comenzamos con el ángulo en el numerador. Podríamos usar la otra versión, usando los recíprocos de cada una de estas fracciones, pero requeriría una reorganización un poco más complicada.

Entonces, lo que vamos a hacer es escribir esta ley de los senos usando el par que conocemos, que es el par A, y usando el par que queremos calcular, que es el par B. Y tenemos que sen de 𝐵 dividido por 28 es igual a sen de 55 dividido por 13. Esto nos da una ecuación que debemos resolver para calcular el ángulo 𝐵. Y el primer paso es multiplicar ambos lados de esta ecuación por 28. Al hacerlo, obtenemos que sen de 𝐵 es igual a 28 sen 55 sobre 13.

Ahora, para calcular el ángulo 𝐵, necesitamos usar la función inversa del seno. Y hallamos que 𝐵 es igual a sen inverso de esta razón, 28 sen 55 sobre 13. Si intentamos calcular esto con una calculadora, obtendremos algún tipo de error, y no podremos calcular el ángulo 𝐵. Volvamos un paso atrás para ver por qué. Si evaluamos la fracción en este punto de aquí, veremos que es igual a 1.764. Tenemos sen de 𝐵 es igual a 1.764. Y es por eso que obtenemos un error.

Si recuerdas, el valor del seno de cualquier ángulo siempre está entre menos uno y uno. Y en el caso de un ángulo convexo, como son todos los ángulos de un triángulo, siempre está entre cero y uno. Por lo tanto, no es posible que sen 𝐵 sea igual a este valor de 1.76, que es mayor que uno. Esto nos dice que no podemos calcular el ángulo 𝐵 y, por lo tanto, nuestra suposición de que este triángulo existe debe ser falsa. Nuestra respuesta a la cuestión es que no podemos calcular las longitudes de ninguno de estos lados o el tamaño de ninguno de los ángulos porque el triángulo no existe.

Veamos ahora un problema. Nos dice que Jaime quiere calcular la altura de un edificio. Mira el edificio desde el mismo plano horizontal, y halla que el ángulo de elevación hasta la parte superior es de 40 grados. Jaime luego se aleja 30 metros más del edificio, y el ángulo de elevación ahora es de 25 grados. Nos piden calcular la altura de este edificio a la décima más cercana.

No nos dan un diagrama, y siempre es una buena idea dibujar el nuestro. Entonces, comenzamos con un edificio alto. Jaime está a cierta distancia de él. No sabemos cuál es esta distancia. Y el ángulo de elevación hasta lo alto del edificio es de 40 grados. Jaime se aleja 30 metros más del edificio y el ángulo de elevación ahora es de 25 grados, así que agregamos esta parte al diagrama. Agregamos algunas letras al diagrama. Y es 𝐵𝐷 lo que queremos calcular, la altura del edificio.

Ahora bien, 𝐵𝐷 es un lado de un triángulo rectángulo, por lo que en teoría podríamos usar trigonometría de triángulos rectángulos, usando el seno, el coseno y la tangente de este triángulo. Pero de este triángulo solo conocemos un ángulo, por lo que necesitaríamos más datos, preferiblemente una longitud, para calcular la longitud de 𝐵𝐷. Afortunadamente, también tenemos un triángulo no rectángulo, el triángulo 𝐴𝐵𝐶, del que tenemos un poco más de información. Conocemos un ángulo y un lado. También notarás que el lado 𝐴𝐵 es común a ambos triángulos. Así que, tal vez podamos usar el triángulo no rectángulo para calcular 𝐴𝐵 y luego usar trigonometría en el triángulo 𝐴𝐵𝐷 para hallar la altura de este edificio.

Veamos primero el triángulo no rectángulo, el triángulo 𝐴𝐵𝐶. Y, de hecho, podemos calcular los tres ángulos en este triángulo porque ese ángulo de 40 grados forma una recta con el otro ángulo. Y, por lo tanto, este otro ángulo debe ser de 140 grados, usando el hecho de que los ángulos en una línea recta suman 180. Entonces, este ángulo aquí, ángulo 𝐴, debe ser de 140 grados. También podemos calcular el ángulo 𝐵 porque sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo es 180 grados, por lo que el ángulo 𝐵 debe ser 15.

Mirando este triángulo no rectángulo, conocemos los tres ángulos y conocemos un lado, lo que significa que podemos aplicar la ley de los senos para calcular la longitud de cualquiera de los otros dos lados. Por lo tanto, les daré las letras 𝑎 minúscula, 𝑏 minúscula y 𝑐 minúscula correspondientes a los ángulos opuestos. Y recordemos el teorema de los senos. Aquí está. Lo estamos usando en este formato con las longitudes en el numerador porque es una longitud lo que queremos calcular.

Queremos calcular la longitud de 𝐴𝐵, a la que aquí nos referimos como lado 𝑐. Así que usamos el lado 𝑐 y el ángulo 𝐶. Y también el lado 𝑏 y el ángulo 𝐵 porque son los dos que conocemos. Lo que tenemos es que 𝑐 sobre sen 25 es igual a 30 sobre sen 15, usando los pares opuestos. Y podemos resolver esta ecuación para calcular 𝑐. Necesitamos multiplicar ambos lados por sen 25. Esto nos dice que 𝑐 es igual a 30 sen 25 sobre sen 15. Y evaluando eso, hallamos 48.9861. Ahora, mantendremos este valor en nuestra calculadora para usarlo más adelante en el cálculo.

Si dirigimos nuestra atención ahora al triángulo rectángulo, el triángulo 𝐴𝐵𝐷, conocemos el tamaño de un ángulo, 40 grados, conocemos la longitud 𝑐, o 𝐴𝐵, que es 48, y queremos calcular la longitud de ese lado 𝐵𝐷. Así que podemos usar trigonometría básica. Comenzamos identificando los tres lados de ese triángulo con sus etiquetas en relación con ese ángulo de 40. Tenemos el cateto opuesto, el cateto contiguo o adyacente y la hipotenusa. Y conocemos la hipotenusa y queremos calcular lo opuesto. Eso nos dice que es la razón de los senos la que podemos usar, es decir, la fórmula básica del seno en un triángulo rectángulo, no la ley de los senos.

El seno de un ángulo, recuerda, es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa. Podemos, por supuesto, usar la ley de los senos en un triángulo rectángulo, pero es innecesariamente complicado. Implica usar ese ángulo de 90 grados y el sen de 90 es solo uno. Es más sencillo usar simplemente usar la definición básica de la razón seno. Así que escribiremos esta razón para este triángulo. Tendremos sen de 40 es igual al opuesto 𝐵𝐷 sobre 48.98. Queremos resolver esta ecuación para hallar el valor 𝐵𝐷, así que multiplicamos ambos lados por ese valor de 48.986.

Es por eso que mantuvimos ese valor en nuestra calculadora porque ahora podemos multiplicarlo por sen 40 para obtener una respuesta exacta. Así que, evaluar eso me da 31.48. Y luego, redondeándolo a la décima más cercana según lo solicitado, nos da una respuesta de 31.5 metros para la altura de este edificio. Por lo tanto, en esta cuestión, dibujar un diagrama apropiado era importante en primer lugar. Después, hemos usado la ley de los senos en un triángulo no rectángulo y luego la definición básica de la razón seno en un triángulo rectángulo para hallar la respuesta.

En resumen, la ley de los senos nos permite calcular ángulos y lados en triángulos que no son rectángulos. Nos dice que la razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante en todo el triángulo. Y podemos usarlo en cualquiera de estos dos formatos dependiendo de si queremos calcular la longitud de un lado o el tamaño de un ángulo.

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