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Vídeo de la lección: Simplificación de expresiones trigonométricas mediante identidades trigonométricas

En este vídeo vamos a aprender cómo simplificar expresiones trigonométricas aplicando identidades trigonométricas.

17:44

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo simplificar expresiones trigonométricas aplicando identidades trigonométricas. Recordemos que una identidad es una ecuación que es verdadera para todos los valores de la variable. En este vídeo vamos a considerar tres tipos de identidades trigonométricas, las identidades pitagóricas, las identidades recíprocas y las identidades de cofunción.

Vamos a comenzar repasando algunas propiedades de la circunferencia unitaria. Recordemos que la circunferencia unitaria es una circunferencia de radio unidad, como se muestra. La circunferencia unitaria nos permite determinar el seno, el coseno y la tangente de cualquier ángulo 𝜃, ya que el valor de la coordenada 𝑥 de cualquier punto en la circunferencia es el coseno de 𝜃 y el valor de la coordenada 𝑦 es el seno de 𝜃. A partir del triángulo rectángulo trazado en el círculo, y usando el teorema de Pitágoras, obtenemos nuestra primera identidad pitagórica, conocida simplemente como «la identidad pitagórica». seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 es igual a uno. Si recordamos las definiciones de las identidades trigonométricas recíprocas podremos formar otras dos identidades pitagóricas.

Las tres funciones recíprocas son la secante, la cosecante y la cotangente, donde la secante del ángulo 𝜃 es igual a uno partido por el coseno de 𝜃. La cosecante de 𝜃 es igual a uno partido por seno de 𝜃, y la cotangente de 𝜃 es igual a uno partido entre la tangente de 𝜃. Como seno de 𝜃 entre coseno de 𝜃 es igual a tangente de 𝜃, entonces coseno de 𝜃 entre seno de 𝜃 es igual a cotangente de 𝜃. Para hallar la segunda identidad pitagórica vamos a dividir ambos lados de la primera identidad pitagórica por coseno al cuadrado de 𝜃. seno al cuadrado de 𝜃 entre coseno al cuadrado de 𝜃 es igual a tangente al cuadrado de 𝜃. coseno al cuadrado de 𝜃 entre coseno al cuadrado de 𝜃 es igual a uno. Y, por último, uno dividido por coseno al cuadrado de 𝜃 es igual a secante al cuadrado de 𝜃. Y hemos obtenido la segunda identidad pitagórica: tangente al cuadrado de 𝜃 más uno igual a secante al cuadrado de 𝜃.

Volvemos a la primera identidad pitagórica, y ahora dividimos cada término por seno al cuadrado de 𝜃. Y obtenemos uno más cotangente al cuadrado de 𝜃 igual a cosecante al cuadrado de 𝜃. Y ya tenemos las tres identidades pitagóricas. Veamos ahora un par de ejemplos en los que nos piden simplificar expresiones trigonométricas.

Simplifica seno de 𝜃 multiplicado por cosecante de 𝜃 menos coseno al cuadrado de 𝜃.

En este problema se nos pide que simplifiquemos una expresión trigonométrica. Una forma de hacerlo es aplicando las identidades recíprocas y las identidades pitagóricas. En cuestiones de este tipo, no siempre sabemos con certeza qué debemos hacer primero. Pero, como regla general, una excelente idea es expresar la tangente y las funciones recíprocas en términos del seno y el coseno. Sabemos que cosecante de 𝜃 es igual a uno partido entre seno de 𝜃. Al sustituir esto en nuestra expresión, obtenemos seno de 𝜃 multiplicado por uno partido por seno de 𝜃 menos coseno al cuadrado de 𝜃. Los términos seno de 𝜃 en el numerador y denominador de nuestro primer término se cancelan. Por lo que nos queda uno menos coseno al cuadrado de 𝜃.

Consideremos ahora una de nuestras identidades pitagóricas. seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 es igual a uno. Restamos coseno al cuadrado de 𝜃 de ambos lados, y obtenemos seno al cuadrado de 𝜃 igual a uno menos coseno al cuadrado de 𝜃. Esto significa que podemos simplificar nuestra expresión a seno al cuadrado de 𝜃. seno de 𝜃 multiplicado por cosecante de 𝜃 menos coseno al cuadrado de 𝜃 es, en su forma irreducible, seno al cuadrado de 𝜃.

Veamos un segundo ejemplo de este tipo.

Simplifica seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 dividido por cosecante al cuadrado de 𝜃 menos cotangente al cuadrado de 𝜃.

Para resolver esta cuestión tenemos que recordar las identidades pitagóricas. En primer lugar, tenemos seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 igual a uno. Si dividimos cada término por seno al cuadrado de 𝜃, obtenemos la segunda identidad. Uno más cotangente al cuadrado de 𝜃 es igual a cosecante al cuadrado de 𝜃. Sabemos que esto es así porque coseno de 𝜃 entre seno de 𝜃 es cotangente de 𝜃, y uno entre seno de 𝜃 es cosecante de 𝜃. El numerador de nuestra expresión es igual al lado izquierdo de la primera identidad. Así que podemos sustituir seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 por uno. Restamos cotangente al cuadrado de 𝜃 de ambos lados de la segunda identidad, y obtenemos que uno es igual a cosecante al cuadrado de 𝜃 menos cotangente al cuadrado de 𝜃.

Vemos que el lado derecho es igual al denominador de nuestra expresión. Esto significa que esto también es igual a uno. Así que nuestra expresión se simplifica a uno entre uno. Por lo tanto, concluimos que seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 entre cosecante al cuadrado de 𝜃 menos cotangente al cuadrado de 𝜃 es igual a uno.

Antes de pasar al siguiente ejemplo, vamos a recordar las identidades de cofunción. Consideremos la circunferencia unitaria que vimos antes. Como los ángulos en un triángulo suman 180 grados, el tercer ángulo en nuestro triángulo rectángulo es igual a 90 grados menos 𝜃. Veamos lo que pasa si volvemos a dibujar este triángulo de modo que el ángulo entre el semieje positivo de las 𝑥 y la hipotenusa sea 90 grados menos 𝜃. Las coordenadas del punto marcado en el círculo unitario serán coseno de 90 grados menos 𝜃, seno de 90 grados menos 𝜃.

Observamos que la distancia en la dirección 𝑥 aquí es la misma que la distancia en la dirección 𝑦 en el primer triángulo. Esto significa que coseno de 90 grados menos 𝜃 es igual a seno de 𝜃. Asimismo, seno de 90 grados menos 𝜃 es igual a coseno de 𝜃. Como seno de 𝜃 entre coseno de 𝜃 es igual a tangente de 𝜃, la tangente de 90 grados menos 𝜃 es igual a coseno de 𝜃 entre seno de 𝜃. Y usando lo que sabemos de las funciones recíprocas, obtenemos que es igual a cotangente de 𝜃. Por lo tanto, la secante de 90 grados menos 𝜃 es igual a cosecante de 𝜃. La cosecante de 90 grados menos 𝜃 es la secante de 𝜃. Y la cotangente de 90 grados menos 𝜃 es la tangente de 𝜃.

Usando lo que sabemos sobre los ángulos complementarios, hemos obtenido estas seis ecuaciones, las denominadas identidades de cofunción. ¡Ojo!, aquí es importante tener en cuenta que, si nuestros ángulos están en radianes, 𝜋 partido por dos radianes es igual a 90 grados. Veamos un ejemplo en el que vamos a hacer uso de estas identidades.

Simplifica coseno de 𝜃 multiplicado por cosecante de 90 grados menos 𝜃 menos tangente de 𝜃 multiplicado por tangente de 90 grados menos 𝜃.

Para resolver una cuestión de este tipo, primero tenemos que simplificar nuestra expresión usando las identidades de cofunción. Usando lo que sabemos sobre los ángulos complementarios y la circunferencia unitaria, tenemos que el seno de 90 grados menos 𝜃 es igual a coseno de 𝜃 y que el coseno de 90 grados menos 𝜃 es igual a seno de 𝜃. La función cosecante es la recíproca de la función seno. Así que la cosecante de 90 grados menos 𝜃 es igual a uno partido entre coseno de 𝜃, que es igual a secante de 𝜃. Por lo tanto, podemos reescribir el primer término de nuestra expresión como coseno de 𝜃 multiplicado por secante de 𝜃.

A continuación, si recordamos que seno de 𝜃 entre coseno de 𝜃 es tangente de 𝜃, entonces tenemos que la tangente de 90 grados menos 𝜃 es igual a coseno de 𝜃 entre seno de 𝜃, que es igual a cotangente de 𝜃. El segundo término de nuestra expresión se simplifica a tangente de 𝜃 multiplicado por cotangente de 𝜃.

Ahora vamos a usar lo que sabemos sobre las funciones recíprocas. Sabemos que secante de 𝜃 es igual a uno entre coseno de 𝜃 y que cotangente de 𝜃 es igual a uno entre tangente de 𝜃. Por lo tanto, nuestra expresión se convierte en coseno de 𝜃 multiplicado por uno partido entre coseno de 𝜃 menos tangente de 𝜃 multiplicado por uno partido entre tangente de 𝜃. Ambas partes de nuestra expresión se simplifican a uno. Así que tenemos uno menos uno. Por lo tanto, hallamos que coseno de 𝜃 multiplicado por cosecante de 90 grados menos 𝜃 menos tangente de 𝜃 multiplicado por tangente de 90 grados menos 𝜃 es igual a cero.

En el último ejemplo vamos a ver un problema más complicado en el que tendremos que hacer uso de una variedad de identidades trigonométricas.

Simplifica uno más cotangente al cuadrado de tres 𝜋 medios menos 𝜃 dividido por uno más tangente al cuadrado de tres 𝜋 medios menos 𝜃.

Para simplificar esta expresión vamos a tener que hacer uso de una variedad de identidades trigonométricas. En problemas de este tipo, no siempre sabemos por dónde hemos de empezar. Y en esta cuestión, esto se complica aún más por el ángulo tres 𝜋 medios menos 𝜃. Así que hacemos 𝛼 igual a tres 𝜋 medios menos 𝜃. De esta forma podemos reescribir nuestra expresión como uno más cotangente al cuadrado de 𝛼 dividido por uno más tangente al cuadrado de 𝛼. Según las identidades pitagóricas, seno al cuadrado de 𝛼 más coseno al cuadrado de 𝛼 es igual a uno. tangente al cuadrado de 𝛼 más uno es igual a secante al cuadrado de 𝛼. Y uno más cotangente al cuadrado de 𝛼 es igual a cosecante al cuadrado de 𝛼.

Vemos que el numerador de nuestra fracción es igual que el lado izquierdo de la tercera identidad. Esto significa que podemos reescribir esto como cosecante al cuadrado de 𝛼. El denominador de nuestra expresión es el igual que el del lado izquierdo de la segunda identidad. Así que reescribimos la expresión como cosecante al cuadrado de 𝛼 partido por secante al cuadrado de 𝛼. Dos de las identidades trigonométricas recíprocas dicen que cosecante de 𝛼 es igual a uno entre seno de 𝛼 y que secante de 𝛼 es igual a uno entre coseno de 𝛼. La segunda identidad también podría reescribirse como uno partido por secante de 𝛼 igual a coseno de 𝛼.

Reescribimos cosecante al cuadrado de 𝛼 como uno entre seno al cuadrado de 𝛼 y uno entre secante al cuadrado de 𝛼 como coseno al cuadrado de 𝛼, y obtenemos uno partido por seno al cuadrado de 𝛼 multiplicado por coseno al cuadrado de 𝛼. Esto es igual a coseno al cuadrado de 𝛼 partido por seno al cuadrado de 𝛼, que es igual a cotangente al cuadrado de 𝛼. Sustituimos 𝛼 por tres 𝜋 medios menos 𝜃, y obtenemos cotangente al cuadrado de tres 𝜋 medios menos 𝜃. Podemos pensar que esta es nuestra respuesta final. Pero podemos simplificarla. Para ello, vamos a considerar los ángulos relacionados en la circunferencia unitaria. Sabemos que el punto que se muestra en la circunferencia unitaria en el primer cuadrante tiene coordenadas coseno de 𝜃, seno de 𝜃. Sabemos que tres 𝜋 partido por dos radianes es igual a 270 grados. El punto con coordenadas coseno de tres 𝜋 medios menos 𝜃, seno de tres 𝜋 medios menos 𝜃 es este de aquí.

Observamos que el desplazamiento en la dirección negativa de 𝑥 de este triángulo es igual al desplazamiento en la dirección positiva de 𝑦 de nuestro primer triángulo. Esto significa que el coseno de tres 𝜋 medios menos 𝜃 es igual a menos seno de 𝜃. Asimismo, el seno de tres 𝜋 medios menos 𝜃 es igual a menos coseno de 𝜃. Como coseno de 𝜃 entre seno de 𝜃 es igual a cotangente de 𝜃, al dividir estas dos expresiones obtenemos que cotangente de tres 𝜋 medios menos 𝜃 es igual a menos seno de 𝜃 partido por menos coseno de 𝜃. El lado derecho se simplifica a tangente de 𝜃. Por lo tanto, cotangente al cuadrado de tres 𝜋 medios menos 𝜃 es igual a tangente de 𝜃. La expresión original, uno más cotangente al cuadrado de tres 𝜋 medios menos 𝜃 dividido por uno más tangente al cuadrado de tres 𝜋 medios menos 𝜃 es tangente al cuadrado de 𝜃.

Resumamos los puntos clave que hemos visto en este vídeo. En primer lugar, hemos aprendido cómo simplificar expresiones trigonométricas usando una variedad de identidades trigonométricas. Hemos usado las identidades pitagóricas. Seno al cuadrado de 𝜃 más coseno al cuadrado de 𝜃 es igual a uno, tangente al cuadrado de 𝜃 más uno es igual a secante al cuadrado de 𝜃, y uno más cotangente al cuadrado de 𝜃 es igual a cosecante al cuadrado de 𝜃. También hemos usado las identidades recíprocas. Cosecante de 𝜃 es igual a uno entre seno de 𝜃, secante de 𝜃 es igual a uno entre coseno de 𝜃 y cotangente de 𝜃 es igual a uno entre tangente de 𝜃. Como seno de 𝜃 partido por coseno de 𝜃 es tangente de 𝜃, entonces coseno de 𝜃 partido por seno de 𝜃 es cotangente de 𝜃.

Por último, hemos visto las identidades de cofunción. Seno de 90 grados menos 𝜃 es igual a coseno de 𝜃 y coseno de 90 grados menos 𝜃 es seno de 𝜃. Hemos aprendido, además, que, usando las identidades recíprocas, también podemos formar cuatro identidades de cofunción más. Cosecante de 90 grados menos 𝜃 es secante de 𝜃, secante de 90 grados menos 𝜃 es cosecante de 𝜃, tangente de 90 grados menos 𝜃 es cotangente de 𝜃, y por último cotangente de 90 grados menos 𝜃 es tangente de 𝜃.

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