Vídeo: Existencia de los límites

En este video, vamos a aprender cómo determinar si existe el límite de una función en un punto.

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Transcripción del vídeo

Existencia de los límites

En este video vamos a aprender cómo determinar si el límite de una función existe en cierto valor. Hay varias razones por las que un límite puede no existir. Vamos a analizar estas razones y a usarlas para deducir si ciertos límites existen o no. Si consideramos el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, hay unas cuantas razones por las que este límite puede no existir. La primera es que el límite no es finito. En el caso de esta 𝑓 de 𝑥, podemos ver que cuando 𝑥 tiende a cero, 𝑓 de 𝑥 tiende a más infinito o a menos infinito dependiendo de si nos acercamos a cero desde la derecha o desde la izquierda. La razón por la que este límite no existe es porque la función debe acercarse a un punto específico. Y no podemos decir que infinito es un punto porque infinito en realidad no existe; es solo un concepto.

Veamos algunos casos especiales cuando tenemos un límite infinito. En el caso de 𝑔 de 𝑥, podemos ver que los límites derecho e izquierdo, cuando 𝑥 tiende a cero, tienden ambos a más infinito. Como ambos límites tienden al mismo signo de infinito, podemos decir que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑔 de 𝑥 es también igual a más infinito. Sin embargo, debemos insistir en que, en realidad, este límite no existe ya que el infinito no es un número, es solo un concepto. De forma similar, podemos ver que, para ℎ de 𝑥, los límites izquierdo y derecho cuando ℎ tiende a cero, tienden a menos infinito. De modo que podemos decir que el límite cuando 𝑥 tiende a cero de ℎ de 𝑥 es igual a menos infinito. Pero insistimos en que este límite en realidad no existe. Pero, aunque esto es importante, aún puede ser útil saber si una función particular tiende a más infinito o menos infinito, o si es el caso de 𝑓 de 𝑥 de que los diferentes lados del límite tienden a diferentes signos de infinito.

Veamos ahora una razón que puede hacer que el límite no exista. Podemos decir que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 no existe si la función no se aproxima a un punto en particular. Y esto sucede con ciertas funciones oscilantes. Aquí tenemos un ejemplo de una función oscilante 𝑓 de 𝑥 para la que un límite no existe. Y es el límite cuando 𝑥 tiende a cero. Podemos ver que cuanto más se acercan los valores de 𝑥 a cero, más rápidamente oscila nuestra función hacia arriba y hacia abajo. Esta función oscila entre los valores de menos uno y uno. Cuanto más se acerca 𝑥 a cero, más rápido oscila entre menos uno y uno. Así que podemos decir que la función no tiende a un valor particular cuando tiende a cero, ya que cuanto más se acerca a cero, más rápido cambia entre uno y menos uno. Y partiendo de esto, podemos decir que 𝑓 de 𝑥 no tiende a un punto particular cuando 𝑥 tiende a cero. Y, por tanto, el límite cuando 𝑥 tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 no existe.

Veamos ahora otra razón por la cual un límite puede no existir. Al hallar el límite a medida que 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, es muy importante tener en cuenta los límites izquierdo y derecho. Esto se debe a que si el límite izquierdo o el derecho no existe, o si existen los límites izquierdo y derecho pero no son iguales, el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 no existe. Si consideramos la función 𝑓 de 𝑥, podemos ver que 𝑓 de 𝑥 es una función definida a trozos, que está definida entre los valores 𝑎 y 𝑐. Consideremos el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a 𝑎. Vemos que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 desde la derecha es igual a 𝑓 de 𝑎. Sin embargo, cuando 𝑥 tiende a 𝑎 desde la izquierda, 𝑓 no está definida. Este límite desde la izquierda no existe.

Esto nos dice que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 no existe. Veamos el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑏 de 𝑓 de 𝑥. Para considerar este límite, pongamos nombres a estas dos secciones de nuestro gráfico. Vamos a llamar a esta sección entre 𝑎 y 𝑏 𝑔 de 𝑥 y la sección entre 𝑏 y 𝑐 ℎ de 𝑥. El límite cuando 𝑥 tiende a 𝑏 desde la derecha será igual a ℎ de 𝑏 ya que venimos desde la derecha de 𝑏 y el valor de 𝑓 de 𝑥 se moverá a lo largo de ℎ de 𝑥.

El límite cuando 𝑥 tiende a 𝑏 desde la izquierda será igual a 𝑔 de 𝑏 ya que el valor de 𝑓 de 𝑥 se aproxima más y más a 𝑏 desde la izquierda, continuará a lo largo de 𝑔 de 𝑥. Y será igual a 𝑔 de 𝑏. Como ℎ de 𝑏 y 𝑔 de 𝑏 no son iguales, concluimos que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 no existe. Una vez que hemos visto todas las razones por las cuales un límite puede no existir. Podemos decir que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe si los límites izquierdo y derecho existen y el límite izquierdo es igual al límite derecho. También podemos decir que si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿, entonces 𝐿 es también igual al límite por la izquierda y al límite por la derecha. Ahora estamos listos para ver algunos ejemplos.

Discute la existencia del límite cuando 𝑥 tiende a siete de 𝑓 de 𝑥 sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a 13𝑥 más siete si uno es menor que 𝑥, que es menor que siete, y 14𝑥 más siete si siete es menor o igual que 𝑥, que es menor que ocho.

En este ejemplo, 𝑓 de 𝑥 es una función definida a trozos. Y nos piden hallar el límite cuando 𝑥 tiende a siete. Siete es el valor 𝑥 en el que nuestra función cambia entre 13𝑥 más siete y 14𝑥 más siete. Para hallar si nuestro límite existe, necesitamos verificar si los límites izquierdo y derecho existen y si son iguales. Vamos a comenzar considerando el límite izquierdo. Cuando 𝑥 tiende a siete, sabemos que 𝑥 debe ser menor que siete. Como 𝑥 es menor que siete, podemos ver en nuestra función definida a trozos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 13𝑥 más siete.

Como este es un polinomio, podemos usar sustitución directa. Para hallar este límite, simplemente sustituimos 𝑥 por siete en 13𝑥 más siete. Y esto nos da que el límite izquierdo es igual a 98. Puesto que el límite aquí es igual a un número real, decimos que el límite por la izquierda existe. Consideremos ahora el límite cuando 𝑥 tiende a siete desde arriba. Como 𝑥 se acerca a siete desde arriba, tenemos que 𝑥 es mayor que siete. Por lo tanto, según nuestra definición a trozos, tenemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 14𝑥 más siete, que nuevamente es un polinomio. Y podemos usar sustitución directa para hallar este límite. Sustituyendo 𝑥 por siete en 14𝑥 más siete, obtenemos que el límite cuando 𝑥 se acerca a siete desde la derecha es igual a 105. Por lo tanto, el límite por la derecha existe.

Hemos hallado, pues, que los límites izquierdo y derecho existen. Sin embargo, el límite izquierdo es igual a 98. Y el límite derecho es igual a 105. Por tanto, podemos concluir que el límite cuando 𝑥 tiende a siete de 𝑓 de 𝑥 no existe porque los límites izquierdo y derecho no son iguales. En este ejemplo, hemos visto que el límite no existe porque los límites izquierdo y derecho no son iguales. Esto se debe a que hay un salto en la función en el punto donde estamos tratando de hallar el límite. Así que no podemos decir que la función 𝑓 de 𝑥 tiende a un punto particular ya que el valor del límite depende de la dirección en la que nos acercamos al punto en el que estamos calculando el límite.

Veamos otro ejemplo.

Discute la existencia del límite cuando 𝑥 tiende a tres de 𝑓 de 𝑥 sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a módulo de 𝑥 menos dos más tres si menos dos es menor que 𝑥, que es menor que tres, y es igual a 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 menos 27 todo sobre 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 si tres es menor que 𝑥, que es menor que nueve.

Consideremos los límites izquierdo y derecho cuando 𝑥 tiende a tres de esta función definida a trozos. Cuando 𝑥 tiende a tres desde abajo, sabemos que 𝑥 será menor que tres. Por tanto, 𝑓 de 𝑥 será igual a módulo de 𝑥 menos dos más tres. Podemos usar sustitución directa para hallar este límite. Hallamos que es igual a cuatro. Veamos ahora el límite derecho. Como 𝑥 se acerca a tres desde arriba, sabemos que 𝑥 será mayor que tres. Así que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 menos 27 todo sobre 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥. Si intentamos usar sustitución directa para hallar este límite, hallaremos que es igual a cero sobre cero, lo cual no está definido. Sin embargo, como es una función racional, en la que el numerador y el denominador son ambos iguales a cero en tres, esto significa que podemos sacar un factor común de 𝑥 menos tres de la parte superior y de la inferior.

Obtenemos 𝑥 más nueve multiplicado por 𝑥 menos tres sobre 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos tres. Podemos, pues, cancelar 𝑥 menos tres en la parte superior y en la parte inferior de la fracción. Sin embargo, debemos ser cuidadosos, ya que, al hacer esto, estamos cambiando el dominio de 𝑓 de 𝑥. Antes, al ingresar un valor de 𝑥 igual a tres nos habría dado un resultado no definido. Pero, si ahora ingresamos 𝑥 igual a tres, obtendremos un número. Por tanto, debemos llamar esta nueva función 𝑔 de 𝑥, donde 𝑔 de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥 en todo, excepto en su dominio, pues podemos ingresar 𝑥 igual a tres en 𝑔 de 𝑥, y sin embargo, no podemos en 𝑓 de 𝑥. Podemos usar sustitución directa en 𝑔 de 𝑥 para hallar el límite desde arriba.

Hallamos que el límite desde arriba es igual a cuatro. Comparando esto al límite desde abajo, vemos que estos dos límites son iguales. Podemos, por tanto, concluir que el límite cuando 𝑥 tiende a tres de 𝑓 de 𝑥 existe. Y es igual a cuatro. En este ejemplo, hemos visto cómo el límite de una función definida a trozos en el punto donde la definición de la función cambia puede existir si los límites derecho e izquierdo coinciden en un valor, y este es valor del límite.

Veamos otro ejemplo.

Discute la existencia del límite cuando 𝑥 tiende a dos de uno sobre módulo de 𝑥 menos dos.

Comencemos considerando el límite cuando 𝑥 tiende a dos de módulo de 𝑥 menos dos, el cual es el denominador de nuestra fracción. Podemos hallar su valor usando sustitución directa. Y esto nos da cero. Lo que esto nos dice es que, cuando 𝑥 tiende a dos, el módulo de 𝑥 menos dos se vuelve más y más pequeño, es decir, se aproxima a cero. Y como módulo de 𝑥 menos dos disminuye, el recíproco, uno sobre módulo de 𝑥 menos dos aumenta. Y esto nos dice que tenemos un límite infinito. Por tanto, el límite no tiende a un valor particular, así que el límite no existe. Esto se debe a que infinito no es un número; es simplemente un concepto. Hay más cosas que podemos deducir aparte de que límite no existe. Así que vamos a dibujar la gráfica de uno sobre módulo de 𝑥 menos dos.

Nuestra gráfica tenderá a infinito en 𝑥 igual a dos. Y sabemos que la gráfica debe estar por encima del eje de las 𝑥 ya que la función está dentro de un signo de módulo o de valor absoluto. Ya que todo lo de fuera del módulo es positivo, nuestra grafica debe estar por encima del eje de las 𝑥. Podemos ver en nuestra gráfica que, cuando 𝑥 tiende a dos desde la izquierda o desde la derecha, nuestra función tiende a más infinito. Podemos decir que el límite izquierdo y el derecho, cuando 𝑥 tiende a dos, son ambos iguales a más infinito. Como ambos son iguales a más infinito, deducimos que el límite cuando 𝑥 se acerca a dos de uno sobre módulo de 𝑥 menos dos también es igual a más infinito.

Es importante insistir en que este límite no existe porque infinito no es un número. Por consiguiente, podemos concluir que el límite cuando 𝑥 tiende a dos de uno sobre módulo de 𝑥 menos dos no existe. Pero podemos decir que el límite es igual a más infinito. En este ejemplo, hemos visto lo que sucede cuando nuestro límite es infinito. Veamos un último ejemplo.

Investiga el límite de 𝑓 de 𝑥 igual a dos coseno de uno sobre 𝑥 cuando 𝑥 tiende a cero. (a) Completa la tabla de valores de 𝑓 de 𝑥 para valores de 𝑥 que se acercan a cero.

Para resolver este primer apartado, simplemente reemplazamos valores de 𝑥 en 𝑓 de 𝑥. Hallamos que 𝑓 de uno sobre 99 veces pi es igual a menos dos. 𝑓 de uno sobre 100𝜋 es igual a dos. Continuando de esta forma, podemos completar el resto de la tabla y hallamos que esta es la solución a la parte a).

Apartado b), ¿qué sugiere esto sobre la gráfica de 𝑓 cerca de cero?

Nuestra tabla sugiere que cuanto más nos acercamos a cero, más rápido la gráfica de 𝑓 de 𝑥 oscilará entre menos dos y dos. Veamos rápidamente por qué. Sabemos que cuando 𝑥 tiende a cero por arriba, uno sobre 𝑥 toma valores positivos y cada vez más grandes. Y cuando 𝑥 tiende a cero por abajo, uno sobre 𝑥 toma valores negativos y cada vez más grandes. Esto significa que cuando 𝑥 disminuye, uno sobre 𝑥 aumenta en dirección positiva o negativa dependiendo de en qué sentido nos aproximamos a cero. Cuanto más nos aproximamos a cero, más crece también la tasa a la que uno sobre 𝑥 aumenta.

Sabemos que la función coseno oscila entre menos uno y uno a un ritmo constante. Sin embargo, ya que la tasa de variación de uno sobre 𝑥 está aumentando, coseno de uno sobre 𝑥 oscilará entre menos uno y uno a un ritmo creciente. Por eso nuestra gráfica oscilará cada vez más rápidamente entre dos y menos dos.

Apartado c), por lo tanto, evalúa el límite a medida que 𝑥 se aproxima a cero de 𝑓 de 𝑥.

En el apartado b), vimos que a medida que 𝑥 tiende a cero, 𝑓 de 𝑥 oscila cada vez más rápido entre dos y menos dos. Es decir, que, cuando 𝑥 tiende a cero, no podemos deducir un valor particular al cual 𝑓 de 𝑥 se acercará, ya que la gráfica cambiará entre dos y menos dos más y más rápidamente. Como la función no tiende a un punto particular cuando 𝑥 tiende a cero, podemos deducir que el límite no existe. Y así hemos visto por qué el límite de una función oscilante puede no existir.

Y hemos analizado varios ejemplos de por qué un límite puede existir o no. Recapitulemos algunos de los puntos clave del video.

Si una función tiende a infinito en un punto, el límite de la función en ese punto no existe. Para que un límite exista, debe aproximarse a un punto particular. Es el caso de algunas funciones oscilantes, las cuales cambian rápidamente según se acercan a un punto. Y, por lo tanto, el límite no existe. Si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la izquierda de 𝑓 de 𝑥 o el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la derecha de 𝑓 de 𝑥 no existe o el límite inferior no es igual al superior, entonces el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 no existe. Si el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por abajo de 𝑓 de 𝑥 y el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por arriba de 𝑓 de 𝑥 existen y el límite por abajo es igual al límite por arriba, y este es igual a alguna constante 𝐿, entonces el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe. Y solo en ese caso podemos decir que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐿.

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