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Vídeo de la lección: Multiplicación de expresiones radicales Matemáticas • Décimo grado

En este video, vamos a aprender cómo multiplicar expresiones radicales y cómo usar esto para simplificar expresiones.

17:14

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo multiplicar expresiones radicales y cómo simplificar los resultados. Las expresiones radicales son expresiones numéricas que contienen signos de raíz, como raíz de cinco o siete raíz de tres y cosas así.

Nuestra primera cuestión es, expresa cinco raíz de cinco por raíz de 45 en su forma reducida.

Los radicales en su forma reducida tienen los radicandos —es decir, estos números de aquí, bajo los signos de raíz— tan pequeños como pueden hacerse, pues ya se han extraído todos los divisores cuadrados. En primer lugar, ese cinco justo contra la raíz de cinco significa cinco veces la raíz de cinco. Después, tenemos que reducir la raíz de 45. Así que tenemos que hallar el divisor cuadrado más grande de 45 que podamos encontrar. Y la técnica básica para hacer esto es intentar dividir por dos, luego por tres, por cuatro, por cinco, y así sucesivamente. Y ver si alguno de los resultados que obtenemos es un número cuadrado. Y operando de este modo, el primer divisor cuadrado que encontremos será el divisor cuadrado más grande. 45 dividido por dos no funciona. 45 dividido por tres es 15. Pero este no es un número cuadrado. 45 dividido por cuatro no cabe exactamente en 45. 45 dividido por cinco es nueve. Y nueve sí es un número cuadrado. Por lo tanto, este es nuestro divisor cuadrado más grande. Así que vamos a reescribir 45 como nueve por cinco.

Tenemos raíz de nueve por cinco, así que vamos a descomponer esto como raíz de nueve por raíz de cinco. Y la razón para hacer esto es que la raíz de nueve es tres. Nueve es un cuadrado perfecto, por lo que la raíz de nueve es simplemente tres. En cuanto a la multiplicación, no importa en qué orden multipliquemos. Obtendremos el mismo resultado. Así que voy a intercambiar la raíz de cinco y el tres en el medio y a multiplicarlos en este otro orden. Cinco por tres es 15. Y la raíz cuadrada de cinco por la raíz cuadrada de cinco es simplemente cinco. Y 15 por cinco es 75, así que la respuesta es 75.

La siguiente cuestión es, expresa cuatro raíz de siete por dos raíz de 49 en su forma reducida.

Hay un par de cosas que debemos observar aquí, el cuatro frente a la raíz de siete significa cuatro por raíz de siete. Y el dos contra la raíz de 49 significa dos por la raíz de 49. Pero sabemos que 49 es un cuadrado perfecto, por lo que la raíz de 49 es exactamente siete. Así que podemos reescribir esto como cuatro por raíz de siete por dos por siete. Nuevamente, con la multiplicación no importa en qué orden multipliquemos los factores. Obtendremos la misma respuesta. Así que vamos a reordenarlos como cuatro por dos por siete por raíz de siete. Y cuatro por dos es ocho y ocho por siete es 56. Obtenemos 56 raíz de siete. Y si analizamos este siete en términos de sus factores, solo uno y siete son sus factores. Y, obviamente, uno es un número cuadrado. Pero por mucho que lo saquemos de la raíz, no nos hará ese radical más pequeño. De modo que 56 raíz de siete es nuestra respuesta.

Y la siguiente cuestión es, usa la propiedad distributiva de la multiplicación para desarrollar cinco por tres menos dos por la raíz cuadrada de cinco.

Según la propiedad distributiva de la multiplicación, esto significa cinco por tres menos cinco por dos raíz de cinco. Cinco por tres es 15. Y cinco por dos raíz de cinco significa cinco por dos por raíz de cinco. Y cinco por dos es 10, por lo que es 10 raíz de cinco. Así que tenemos 15 menos 10 raíz de cinco. Y no podemos simplificar más esta expresión, así que esa es nuestra respuesta.

La siguiente cuestión es, simplifica tres raíz de tres por dos más cinco raíz de tres.

Vamos a usar la propiedad distributiva de la multiplicación para obtener tres raíz de tres por dos. Y luego sumamos tres raíz de tres por cinco raíz de tres. Reescribamos eso poniendo ahora todos los signos de multiplicación. Y movamos las cosas un poco alrededor porque no importa en qué orden se multiplican los factores. Esto nos da tres por dos por raíz de tres más tres por cinco por raíz de tres por raíz de tres. Tres por dos son seis. Esta parte se convierte en seis por raíz de tres o simplemente seis raíz de tres. Tres por cinco es 15. Y la raíz cuadrada de tres por la raíz cuadrada de tres es simplemente tres. Esto nos da seis raíz de tres más 15 por tres. 15 por tres es 45. Por eso es importante tomar nota del orden de las operaciones. Pero todo esto se simplifica a seis raíz de tres más 45.

Nuestra siguiente cuestión está llena de signos negativos. Así que tenemos que ser muy, muy cuidadosos.

Tenemos que simplificar menos tres raíz de dos por menos cuatro menos dos raíz de dos.

En primer lugar, ponemos entre paréntesis los números negativos. Solo para asegurarnos de que sabemos que son negativos y no nos olvidamos del signo menos. Después usamos la propiedad distributiva de la multiplicación para hallar menos tres raíz de dos por menos cuatro. Y luego vamos a restar menos tres raíz de dos por dos raíz de dos. Esta parte de aquí significa menos tres por raíz de dos por menos cuatro. Y como se multiplican, podemos ponerlos en el orden que deseemos. Y de la misma manera, con estos términos aquí, ponemos todos los factores radicales por una lado y los demás factores por otro.

Bien, analicemos estos términos y multipliquémoslos. Tenemos menos tres por menos cuatro, que es 12 positivo. Y esto está multiplicado por raíz de dos. Después tenemos menos tres por dos, que es menos seis. Y la raíz cuadrada de dos por la raíz cuadrada de dos, que es solo dos. Este término más a la derecha de aquí se vuelve menos seis por dos, que es menos 12. Así que terminamos con 12 raíz de dos menos menos 12. Si restamos menos 12, eso es lo mismo que sumar 12. La raíz de dos ya no se puede simplificar más, así que esta es nuestra respuesta, 12 raíz dos más 12.

El siguiente ejemplo consiste en simplificar dos pares de paréntesis multiplicados entre sí, raíz de tres más cinco y raíz de tres menos cuatro. Y para hacer esto, vamos a multiplicar cada término en el primer paréntesis por cada término en el segundo paréntesis de esta manera. Eso nos da raíz de tres por raíz de tres. Y luego raíz de tres por menos cuatro. Así que vamos a restar raíz de tres por cuatro, y escribimos el cuatro antes de la raíz de tres. Lo que se convierte en menos cuatro raíz de tres. Luego obtenemos cinco por raíz de tres, que es cinco raíz de tres.

Y finalmente, cinco por menos cuatro, que es menos 20. Y tenemos raíz de tres por raíz de tres. Que es simplemente tres. También tenemos menos cuatro raíz de tres. A lo que sumamos cinco raíz de tres. Y esto nos da uno por raíz de tres o simplemente más raíz de tres, como podemos escribirlo. Finalmente, obtuvimos menos 20. Y, combinando términos semejantes, obtenemos tres menos 20 que es menos 17. Y luego, solo nos queda una raíz de tres por sí sola. Así que la respuesta es menos 17 más raíz de tres. Y al igual que todas estas cuestiones, no importa en qué orden escribamos esos términos. Podemos escribir también raíz de tres menos 17. De hecho, una buena razón para preferir esta forma es que, a menudo, no nos gusta comenzar con signos negativos como ese. Por lo que raíz de tres menos 17 es otra respuesta perfectamente buena.

Nuestra siguiente cuestión es siete más raíz de cinco por siete menos raíz de cinco.

Existen dos formas diferentes de abordar esto. Vamos a usar los dos enfoques y después los compararemos. El primer método es simplemente multiplicar cada término del segundo paréntesis por cada término del primer paréntesis. Y eso nos da siete por siete que es 49. Siete por menos raíz de cinco es menos siete raíz de cinco. Después raíz de cinco por siete, bueno, lo haremos al revés. Siete por raíz de cinco, es más siete raíz de cinco. Y, por último, raíz de cinco por menos raíz de cinco. La raíz cuadrada de cinco por la raíz cuadrada de cinco es simplemente cinco. Y más por menos nos da un signo menos, por lo que tenemos menos cinco. Así que tenemos menos siete raíz de cinco más siete raíz de cinco. Estos dos términos se cancelan entre sí. Y no queda nada en el medio. Por lo que nos quedamos con 49 menos cinco, que es 44.

Así que multiplicar los paréntesis así, no es sumamente difícil. Y nos ha dado nuestra simple respuesta de 44. Pero fijémonos de nuevo en la cuestión. Es suma por diferencia, que es igual a la diferencia de cuadrados. Si piensas en la factorización de expresiones de segundo grado, 𝑎 al cuadrado menos 𝑏 al cuadrado, donde el número cuadrado resta otro número cuadrado, se puede factorizar así. 𝑎 más 𝑏 por 𝑎 menos 𝑏. Y si hacemos 𝑎 igual a siete y 𝑏 igual a raíz de cinco, obtenemos siete más raíz de cinco por siete menos raíz de cinco, que es lo que estamos tratando de hacer. De modo que esto es simplemente 𝑎 al cuadrado menos 𝑏 al cuadrado. En otras palabras, siete al cuadrado menos la raíz de cinco al cuadrado. Y sabemos que siete al cuadrado es 49, y que raíz de cinco por raíz de cinco es simplemente cinco. Así que pasamos directamente a 49 menos cinco, que es 44.

Así que si te conviene aprenderte de memoria la identidad de la diferencia de cuadrados. Este tipo de cuestiones puede darte menos trabajo para resolverlo de esta manera que de otra.

Nuestra siguiente cuestión es simplifica seis raíz de siete menos cuatro raíz de dos por seis raíz de siete más cuatro raíz de dos.

Y si miramos dentro de estos paréntesis, tenemos seis raíz de siete en ambos. Y tenemos cuatro raíz de dos en ambos paréntesis. Es decir, estamos restando en uno y sumando en el otro. Esta es como la cuestión anterior. Esta expresión es igual a la diferencia de los cuadrados. Y esta vez, 𝑎 es seis raíz de siete, y 𝑏 es cuatro raíz de dos. Podemos reescribir esto como seis raíz de siete al cuadrado menos cuatro raíz de dos al cuadrado. Y seis por la raíz de siete al cuadrado significa seis por la raíz de siete por seis por la raíz de siete. Y cuatro raíz de dos al cuadrado significa cuatro por raíz de dos por cuatro por raíz de dos. Y recuerda que con la multiplicación no importa en qué orden multipliquemos los términos. Así que vamos a reorganizar esto un poco.

Así que simplemente intercambiar el orden en el que multiplicamos los términos significa que tenemos los radicales juntos y el resto de los números aparte. Tenemos seis por seis por raíz de siete por raíz de siete y cuatro por cuatro por raíz de dos por raíz de dos. Bien, seis por seis es 36, y raíz de siete por raíz de siete es simplemente siete. Tenemos 36 por siete. Y cuatro por cuatro es dieciséis. Y raíz de dos por raíz de dos es dos. Esto se simplifica a 36 por siete menos 16 por dos. Estoy seguro de que todos ustedes se saben de memoria la tabla de multiplicar del 36. 36 por siete es obviamente 252. Y 16 por dos es 32. Haciendo 252 menos 32, obtenemos nuestra respuesta, que es 220.

Nuestra siguiente cuestión, simplifica la raíz de cinco menos la raíz de seis, todo al cuadrado.

Debemos estar muy atentos cuando trabajamos con estas cuestiones. El error más común, especialmente en un examen, es que las personas ven esto y piensan: «Oh, esa es la raíz de cinco al cuadrado menos la raíz de seis al cuadrado». Y así terminan obteniendo cinco menos seis. Y eso es completamente erróneo. Siempre debes escribirlo completo; algo al cuadrado es esa misma cosa multiplicada por sí misma. Aquí, raíz de cinco menos raíz de seis al cuadrado es raíz de cinco menos raíz de seis por raíz de cinco menos raíz de seis. Y tenemos que multiplicar cada término del segundo paréntesis por cada término del primero. Así que esa es la raíz de cinco por la raíz de cinco, y luego tenemos raíz de cinco por menos raíz de seis. Eso es menos raíz de cinco raíz de seis. Y luego tenemos menos raíz de seis por raíz de cinco.

No importa en qué orden multipliquemos. Así que vamos a escribirlo como raíz de cinco raíz de seis nuevamente. Y es negativo por positivo, por lo que vuelve a ser negativo. Y luego, tenemos menos raíz seis por menos raíz seis o menos por menos que es más. Veamos estas expresiones: tenemos raíz de cinco por raíz de cinco, que es simplemente cinco. Y tenemos raíz de seis por raíz de seis, que es simplemente seis. De hecho, es más seis. Raíz de cinco por raíz de seis también es lo mismo que raíz cinco por seis. Hemos visto esto antes, cuando estuvimos factorizando y simplificando los radicales. Pero también funciona al revés. Raíz de cinco por raíz de seis es raíz de cinco por seis, y eso es raíz de 30. Así que tenemos menos raíz de 30 menos otra raíz de 30.

Ahora vamos a agrupar los términos semejantes. Cinco más seis es 11 y menos raíz de 30 menos raíz de 30 es menos dos raíz de 30. Fijémonos ahora en el radicando, 30, de este radical. Pensemos en los factores de 30. Bien, 30 tiene muchos factores. Pero mirándolos, solo el número uno es un número cuadrado. Y este número no nos ayuda a reducir el tamaño del radicando. Así que no podemos sacar más factores para simplificar ese radical. Por lo tanto, esta es nuestra respuesta, 11 menos dos raíz de 30.

Pasemos a nuestra penúltima cuestión.

Raíz de siete por tres raíz de siete menos cinco menos dos por cuatro menos cinco raíz de siete.

Vamos a usar la propiedad distributiva de la multiplicación para resolver esta cuestión. Comenzando por el primer paréntesis, tenemos raíz de siete por tres raíz de siete, que es lo mismo que raíz de siete por tres por raíz de siete. Tenemos raíz siete por menos cinco. Así que restamos la raíz siete por cinco, que es lo mismo que cinco por raíz de siete. Luego, resolvemos menos dos por cuatro, que es menos ocho. Así que restamos ocho. Y menos dos por menos cinco raíz de siete. Menos dos por menos cinco es más 10. Así que tenemos más 10 raíz de siete.

Bien, veamos esto. En este primer término aquí, tenemos raíz de siete por raíz de siete por tres. Raíz de siete por raíz siete es siete, y siete por tres es 21. Y no podemos simplificar el segundo término, así que nos quedamos con menos cinco raíz de siete. Y tenemos menos ocho. Y del mismo modo, no podemos simplificar el último término. 21 menos ocho es 13. Y menos cinco raíz de siete más 10 raíz siete es más cinco raíz de siete. Y dado que siete no tiene ningún factor cuadrado mayor que uno, no podemos simplificarlo más. Por lo tanto 13 más cinco raíz siete es nuestra respuesta.

Por último, solo para divertirnos un poco, vamos a intentar resolver esta cuestión un poco más complicada.

Simplifica raíz cuadrada de 15 más raíz cuadrada de 19 al cuadrado por raíz cuadrada de 15 menos raíz cuadrada de 19 al cuadrado.

Ahora bien, si has prestado atención a lo largo del video, probablemente estés pensando que parece una diferencia de dos cuadrados. Pero no está exactamente en esa forma, ¿verdad? La diferencia de dos cuadrados dice que 𝑎 al cuadrado menos 𝑏 al cuadrado es igual a 𝑎 más 𝑏 por 𝑏 menos 𝑏. Y estamos casi ahí. Pero tenemos este problema de los dos cuadrados arriba del paréntesis aquí. Pero aún así, si reorganizamos un poco, esa identidad nos puede ser muy útil. Así que veamos lo que podemos hacer. Raíz de 15 más raíz de 19 al cuadrado es simplemente raíz de 15 más raíz de 19 por raíz de 15 más raíz de 19. Así que ese es el primer paréntesis al cuadrado desarrollado, y de manera similar para el segundo.

Así que tenemos cuatro pares de paréntesis, todos multiplicados. Y cuando multiplicamos términos, realmente no importa en qué orden lo hacemos. Así que los reordenamos. Acabamos de cambiar el orden de los dos pares de paréntesis del medio. Lo que nos deja con raíz de 15 más raíz de 19 por raíz de 15 menos raíz de 19 todo por raíz de 15 más raíz de 19 por raíz de 15 menos raíz de 19. Cada uno de esos tiene la forma que aparece en la identidad de la diferencia de cuadrados que estamos buscando. Por lo que, si 𝑎 es raíz de 15 y 𝑏 es raíz de 19, tenemos este patrón aquí. Y también lo tenemos aquí. Esto quiere decir que 𝑎 al cuadrado es raíz de 15 al cuadrado, que es 15. Y 𝑏 al cuadrado es raíz de 19 al cuadrado, que es 19. Y 𝑎 al cuadrado menos 𝑏 al cuadrado es 15 menos 19.

Volvamos a nuestra cuestión. Tenemos 𝑎 más 𝑏 por 𝑎 menos 𝑏 por 𝑎 más 𝑏 por 𝑎 menos 𝑏. Y 𝑎 más 𝑏 por 𝑎 menos 𝑏 es lo mismo que 𝑎 al cuadrado menos 𝑏 al cuadrado. Y como acabamos de decir, 𝑎 al cuadrado menos 𝑏 al cuadrado es 15 menos 19. Y 15 menos 19 es menos cuatro. Así que tenemos menos cuatro por menos cuatro que es 16.

Como acabamos de ver, acordarse de memoria de la identidad de la diferencia de cuadrados, y hacer un poco de reorganización para poner los términos en la forma correcta, nos ha ahorrado muchísimo trabajo en esta multiplicación. Y nos ha llevado a una respuesta muy simple de 16 en lugar de todo ese desbarajuste de allá arriba, que teníamos al principio de la pregunta.

Así que, ¡buena suerte con la multiplicación de expresiones radicales!

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