Lesson Video: Clasificar las discontinuidades

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Clasificar las discontinuidades

En esta lección, vamos a aprender a identificar los diferentes tipos de discontinuidades de una función en un punto dado. Cuando pensamos en discontinuidades, primero es útil recapitular la definición de continuidad en un punto. Esto es, que el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de una función 𝑓 de 𝑥 es igual al valor de la función cuando 𝑥 es igual a 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Por supuesto, las implicaciones de esto son que tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 deben existir y ser iguales, y que 𝑎 debe estar en el dominio de la función. Así que 𝑓 de 𝑎 debe estar definida. Cuando la función 𝑓 de 𝑥 no satisface la condición de continuidad, decimos que nuestra función no es continua. Si esto sucede en un punto, decimos que tenemos una discontinuidad. Examinemos las diferentes formas en las que una discontinuidad puede ocurrir.

Nuestro primer caso es el de una discontinuidad evitable. Esta ocurre cuando el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe y es finito. Y, sin embargo, 𝑓 de 𝑎 no es igual al valor de este límite. Para ilustrar este tipo de discontinuidad, aquí tenemos como ejemplo la función 𝑓 uno de 𝑥. Podemos ver claramente que 𝑥 igual a tres no pertenece al dominio de nuestra función. Y esto se ve claramente en el punto hueco en nuestro gráfico. 𝑓 uno de tres no está definido. Y, por lo tanto, esta es nuestra discontinuidad evitable. Antes de continuar, veamos otro ejemplo, la función 𝑓 dos, la cual está definida en la misma forma que 𝑓 uno cuando 𝑥 no es igual a tres pero está definida como igual a uno cuando 𝑥 es igual a tres. Ahora, tanto para 𝑓 uno como para 𝑓 dos, el límite cuando 𝑥 se aproxima a tres es igual a cuatro.

En el caso de 𝑓 uno, nuestra función no estaba definida cuando 𝑥 es igual a tres. En el caso de 𝑓 dos, nuestra función es igual a uno cuando 𝑥 es igual a tres. Y esto está representado por el punto sólido en el gráfico. En ninguno de los casos, sin embargo, es esto igual al valor del límite. Esto muestra que nuestra función puede estar o no estar definida en el punto en donde nuestra discontinuidad evitable existe. Una sugerencia que puede ser de ayuda para recordar esto es que estas discontinuidades se llaman de esta manera porque la discontinuidad puede ser evitada redefiniendo la función en un punto, en estos dos casos, el punto en donde 𝑥 es igual a tres.

El siguiente tipo de discontinuidad que vamos a estudiar se llama discontinuidad esencial. A veces también llamada discontinuidad no evitable. Esto sucede cuando no existe el límite por la derecha cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, o no existe el límite por la izquierda o ninguno de los límites laterales. Aquí, vale la pena recordar que cuando decimos que un límite es igual a más infinito o menos infinito, esto es simplemente una forma particular de decir que el límite no existe. Expresar el límite de esta manera nos da, sin embargo, información útil sobre nuestra función. Así que lo añadiremos como una nota al margen de nuestra definición.

Para entender esto mejor, usemos como ejemplo la función 𝑓 tres, que es igual a uno sobre 𝑥. Si 𝑥 se aproxima a cero desde la izquierda, nuestra función tiende a menos infinito. Si 𝑥 se aproxima a cero desde la derecha, nuestra función tiende a más infinito. Ya que la infinidad es un concepto y no un número, estos límites no existen. Esto satisface nuestro criterio y, por lo tanto; tenemos una discontinuidad esencial en 𝑥 igual a cero. Consideremos ahora una función diferente, por ejemplo, 𝑓 cuatro, en la cual los límites laterales derecho e izquierdo tienden ambos al mismo infinito, en este caso, más infinito, y podemos decir que el límite cuando 𝑥 tiende a cero es igual a infinito. Pero esto aún satisface nuestra definición de discontinuidad esencial en 𝑥 igual a cero, ya que ninguno de estos límites existe.

Consideremos ahora otro ejemplo diferente. En el caso de una función como sen de uno sobre 𝑥, cuando 𝑥 se aproxima a cero desde la izquierda o la derecha, el valor de la función oscilará más y más rápidamente entre menos uno y uno. Sabiendo esto, no tiene sentido que asignemos un valor a los límites por la izquierda o por la derecha, ya que 𝑓 cinco de 𝑥 parece aproximarse a dos valores simultáneamente. Como decimos que estos límites no existen, esto nuevamente satisface los criterios para una discontinuidad esencial en 𝑥 igual a cero. Como observación final, podemos decir que a pesar de que ambos casos son discontinuidades esenciales, a veces usamos un lenguaje más específico cuando nos referimos a ellas, llamando al primer caso una discontinuidad infinita y al segundo caso una discontinuidad oscilante.

El último caso que analizaremos es el de la discontinuidad de salto finito. Esta ocurre si ambos límites laterales cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existen y son finitos, pero no son iguales. A menudo, pero no siempre, encontramos discontinuidades de salto finito en funciones definidas a trozos, como el ejemplo de la función 𝑓 seis mostrado aquí. Si examinamos el límite entre las dos subfunciones, lo que ocurre cuando 𝑥 es igual a dos, podemos ver claramente que a medida que nos acercamos por la izquierda, 𝑓 de 𝑥 se aproxima a tres y cuando nos acercamos desde la derecha, 𝑓 de 𝑥 se aproxima a dos.

También debemos notar la posición del punto hueco y el punto sólido, la cual nos dice que 𝑓 de dos está definido y es igual a dos. Pero en realidad para una discontinuidad de salto, no estamos particularmente interesados en este hecho. Debido a que los dos límites laterales existen y son finitos pero no iguales, hemos satisfecho la condición de la discontinuidad de salto. De hecho, el caso sería el mismo aún si 𝑓 de dos no estuviese definido, la característica más importante que observamos es el salto en 𝑥 igual a dos. Bien, ahora que hemos visto los diferentes tipos de discontinuidades, veamos un ejemplo.

Halla el tipo de discontinuidad que la función 𝑓 tiene en 𝑥 igual a cero, 𝑥 igual a dos, 𝑥 igual a cinco, y 𝑥 igual a seis, si tiene alguna discontinuidad en estos puntos.

En esta pregunta, se nos ha dado un gráfico y pedido identificar si existen discontinuidades y clasificarlas. Para contestar la pregunta, vamos a revisar los diferentes tipos de discontinuidades que conocemos, específicamente las características de cada una que podemos ver en un gráfico. El primer tipo de discontinuidad que conocemos es la evitable. Sucede cuando el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe y es finito, alcanzando cierto valor 𝐿 aquí. Pero 𝑓 de 𝑎 no es igual a este valor, 𝐿. Mirando nuestro gráfico, vemos que cuando 𝑥 se aproxima a dos desde la izquierda y desde la derecha, 𝑓 de 𝑥 se aproxima a uno. En otras palabras, el límite cuando 𝑥 se aproxima a dos de 𝑓 de 𝑥 es igual a uno.

Otra cosa que notamos cuando 𝑥 es igual a dos es que 𝑓 de dos no vale uno, lo que el punto hueco indica, sino que vale menos uno, lo que el punto sólido indica. En otras palabras, 𝑓 de dos es igual a menos uno. Hemos hallado que el límite cuando 𝑥 se aproxima a dos de 𝑓 de 𝑥 no es igual a 𝑓 de dos. Y esta es la condición de una discontinuidad evitable. Por lo tanto, hemos respondido la segunda parte de la pregunta. Pasemos ahora al siguiente tipo de discontinuidad, la discontinuidad esencial. Esta ocurre cuando el límite izquierdo, el límite derecho o ambos límites unilaterales, cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, no existen. Si observamos el gráfico, vemos que a medida que 𝑥 se acerca a seis, tanto desde la izquierda como desde la derecha, el valor de 𝑓 parece tender a menos infinito.

Aquí debemos recordar que cuando decimos que un límite es igual a infinito, sea positivo o negativo, esta es solo una forma particular de decir que el límite no existe, ya que el infinito es un concepto y no un número. Dada esta información, vemos que se satisface la condición para una discontinuidad esencial, la cual dice que al menos uno de nuestros límites laterales no debe existir. Y en este caso, de hecho, ninguno de los dos existe. Hemos hallado, pues, que en 𝑥 igual a seis, tenemos una discontinuidad esencial. Finalmente, pensemos en las discontinuidades de salto finito. Estas ocurren cuando ambos límites laterales, a medida que 𝑥 se aproxima a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, existen y son finitos pero no son iguales. Nuevamente, fijémonos en nuestro gráfico para hallar los casos en donde este puede ser el caso.

Observando 𝑥 igual a cero, podemos ver que cuando 𝑥 se aproxima por la izquierda, el valor de 𝑓 también se aproxima a cero, mientras que cuando 𝑥 se aproxima a cero desde la derecha, el valor de 𝑓 se aproxima a tres. Nuestros dos límites laterales, cuando 𝑥 se aproxima a cero de 𝑓 de 𝑥, existen y son finitos. Sin embargo, no son iguales, lo cual es la condición para una discontinuidad de salto. Y así hemos hallado que 𝑓 tiene una discontinuidad de salto en 𝑥 igual a cero. Para terminar esta pregunta, debemos mirar el punto en donde 𝑥 es igual a cinco. Cuando 𝑥 tiene a cinco tanto desde la izquierda como desde la derecha, el valor de 𝑓 se aproxima a tres. Ya que los dos límites laterales existen y valen lo mismo, podemos decir que el límite existe y toma el mismo valor.

Otra cosa que podemos ver es que 𝑓 de cinco está definido como tres, como podemos ver en el punto sólido de nuestra gráfica. Ahora, gracias a estos dos datos, hemos hallado que el límite cuando 𝑥 se aproxima a cinco de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑓 de cinco. Podemos identificar esto como la condición de continuidad. Y hemos probado, por lo tanto, que 𝑓 es continua en 𝑥 igual a cinco. En esta esquina, tenemos un pico, lo que significa que 𝑓 no es diferenciable. Sin embargo, esto está más allá del alcance de este video. Debido a que hemos demostrado la continuidad aquí, por definición, podemos decir que 𝑓 no es discontinua cuando 𝑥 es igual a cinco. Con esta información, hemos completado la pregunta y hemos identificado todas las discontinuidades mostradas en el gráfico de 𝑓.

Bien, hemos visto algunos ejemplos gráficos de discontinuidades. Ahora vamos a estudiar ejemplos algebraicos en los que no nos dan información visual. Lo primero que debemos considerar es que, al tratar con una función definida a trozos, siempre es recomendable revisar y evaluar los límites entre las diferentes subfunciones. Veamos un ejemplo de esto ahora.

Supongamos que la función 𝑓 de 𝑥 es igual a uno menos 𝑥 cuando 𝑥 es menor que cero, cero cuando 𝑥 es igual a cero, y uno más dos 𝑥 cuando 𝑥 es mayor que cero. Primera parte, ¿cuánto vale 𝑓 de cero?

Para esta pregunta nos han dado una función definida por partes y construida con tres subfunciones diferentes. Para comenzar, debemos simplemente evaluar 𝑓 cuando 𝑥 es igual a cero. De hecho, la segunda subfunción lo define diciéndonos que 𝑓 es cero cuando 𝑥 es igual a cero. Podemos, por lo tanto, decir que 𝑓 de cero es igual a cero. Y hemos respondido la primera parte de la pregunta.

Segunda parte, ¿cuál es el límite cuando 𝑥 se aproxima a cero desde la izquierda de 𝑓 de 𝑥?

Ahora, para esta parte de la pregunta, ya que 𝑥 se aproxima a cero desde la izquierda, sabemos que 𝑥 es menor que cero. Y, por lo tanto, 𝑓 de 𝑥 está definida por nuestra primera subfunción, uno menos 𝑥. Cuando hallamos nuestro límite, podemos reemplazar 𝑓 de 𝑥 por esa subfunción. Y podemos resolverlo usando el método de sustitución directa para obtener uno menos cero, lo que, por supuesto, es igual a uno.

Ahora notamos que la tercera parte de la pregunta es muy similar a la segunda pero ahora nos preguntan por el límite por la derecha cuando 𝑥 se aproxima a cero de 𝑓 de 𝑥.

Cuando 𝑥 es mayor que cero, 𝑓 de 𝑥 está definida por la tercera subfunción, uno más dos 𝑥. Podemos evaluar este límite unilateral de la misma forma, poniendo nuestra subfunción como 𝑓 de 𝑥 y, nuevamente, usando el método de sustitución directa de 𝑥 igual a cero para hallar nuestro límite, que vale uno. Y así hemos respondido la segunda parte y la tercera de la pregunta, hallando que nuestros dos límites laterales son iguales a uno cuando 𝑥 se aproxima a cero.

Finalmente, la cuarta parte nos pregunta ¿qué tipo de discontinuidad tiene la función 𝑓 en 𝑥 igual a cero?

Para esta parte de la pregunta, primero recordamos que ambos límites unilaterales existen, son finitos y son iguales entre sí. Con estos datos podemos concluir que el límite cuando 𝑥 tiende a cero existe y es finito tomando el mismo valor, uno. Ahora, volvamos a mirar nuestra respuesta a la primera parte. Hemos hallado que cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑓 vale cero. En otras palabras, 𝑓 de cero es igual a cero. Pongamos ahora junta toda nuestra información. Hemos hallado que el límite cuando 𝑥 se aproxima a cero de 𝑓 de 𝑥 existe y es finito pero no es igual a 𝑓 de cero.

Ahora recordamos que esta es justamente la condición que debe cumplirse para una discontinuidad evitable en 𝑥 igual a cero. Con esto, hemos respondido las cuatro partes de nuestra pregunta. En 𝑥 igual a cero, hemos evaluado nuestra función, hallado sus límites y clasificado el tipo de discontinuidad. Como nota final, si dibujáramos la gráfica de nuestra función, se vería así. Y podríamos eliminar la discontinuidad evitable redefiniendo 𝑓 de cero como igual a uno.

Bien, acabamos de ver una función definida por partes, pero en muchos casos nuestra función no estará definida de esta manera. También son interesantes las funciones racionales, o sea, funciones con cocientes de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥. Debemos prestar particular atención a los valores de 𝑥 que hacen que nuestro denominador 𝑄 de 𝑥 sea igual a cero. En estos valores de 𝑥, deberíamos dividir por cero. Y, por lo tanto, sabemos que la función 𝑓 de 𝑥 no está definida. Vale la pena indicar que, aunque veamos que un denominador igual a cero es posible en algún valor de 𝑥, no podemos determinar de inmediato el tipo de discontinuidad que existe aquí. Podemos volver a ver los dos ejemplos anteriores para ilustrar esto.

Para 𝑓 uno, el denominador del cociente será cero cuando 𝑥 vale tres. Para 𝑓 cuatro, el denominador del cociente será cero cuando 𝑥 vale cero. A pesar de que en ambos casos observamos un denominador igual a cero, la primera es una discontinuidad evitable mientras que la segunda es una discontinuidad esencial, una discontinuidad infinita. Para poder distinguir algebraicamente entre los dos tipos, debemos examinar nuestros límites según los criterios descritos anteriormente. Hay que notar que, en ambos casos, es muy fácil hallar el valor de 𝑥 que hará que nuestro denominador sea cero. En otros casos, sin embargo, no será tan evidente.

Todavía estamos considerando que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥. Pero imaginemos ahora que 𝑄 de 𝑥 es un polinomio. Una herramienta que podemos usar para ayudarnos a hallar los puntos en los 𝑄 de 𝑥 es igual a cero es el teorema de Ruffini. Este teorema nos dice que si 𝑥 menos 𝑎 es un factor de 𝑄 de 𝑥, entonces 𝑄 de 𝑎 debe ser cero. Como un ejemplo rápido, si 𝑄 de 𝑥 es una función cuadrática y pudiésemos factorizarla como 𝑥 menos 𝑎 multiplicado por 𝑥 menos 𝑏, Esto significa que el denominador de nuestra función 𝑓 de 𝑥 será cero cuando 𝑥 es igual a 𝑎 y cuando 𝑥 es igual a 𝑏. Por consiguiente, deberíamos examinar nuestra función 𝑓 para discontinuidades en estos valores de 𝑥. Veamos un ejemplo.

Considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos cinco dividido por 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos 10. Halla los valores de 𝑥 en los cuales 𝑓 tiene discontinuidades. Determina el tipo de cada discontinuidad.

Para comenzar a responder esta pregunta, notamos que 𝑓 de 𝑥 es una función racional en la forma 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥. Al ver esta forma, puede que recordemos que nuestro siguiente paso es buscar los valores de 𝑥 que hacen nuestro denominador, o sea, 𝑄 de 𝑥 igual a cero. Una herramienta que podemos usar para ayudarnos a hallar estos valores es el teorema de Ruffini. El cual nos dice que, si 𝑥 menos 𝑎 es un factor de 𝑄 de 𝑥, entonces 𝑄 de 𝑎 debe ser igual a cero. Nuestro primer paso debe ser tratar de factorizar nuestro denominador. Con un poco de inspección, podemos factorizar nuestro denominador a 𝑥 más dos por 𝑥 menos cinco. Aquí, el teorema de Ruffini nos dice que cuando 𝑥 es igual a menos dos o cuando 𝑥 es igual a cinco, nuestro denominador será cero. Y por consiguiente 𝑓 de 𝑥 no estará definida.

Podemos extender nuestro análisis un poco más lejos y decir que estos son los valores en los cuales podremos hallar nuestras discontinuidades. Pero necesitaremos analizar un poco más en detalle para determinar su tipo. Comencemos por 𝑥 igual a menos dos. Si calculamos el límite cuando 𝑥 se aproxima a menos dos de 𝑓 de 𝑥, usando la forma factorizada de nuestro denominador, y usamos el método de sustitución directa, obtenemos que nuestro límite no existe, ya que sabemos que tenemos una división entre cero. Una vez más, decir que el límite es igual a más infinito o menos infinito es una forma particular de decir que el límite no existe. A partir de esta información, podemos concluir que los límites unilaterales izquierdo, derecho o ambos no existen.

Echemos, no obstante, un vistazo más de cerca para ver qué está pasando. Aquí hemos hecho algo parecido, pero hemos notado que, ya que ambos paréntesis son iguales y no cero, podemos cancelarlos. También hemos notado que, en el denominador de nuestro cociente, tenemos menos dos, al cual nos acercamos desde la izquierda y agregamos dos. Lo que significa que tenemos uno dividido por cero. Nos estamos acercando a cero desde la izquierda. Debido a que nos aproximamos a cero por la izquierda, tenemos un número negativo. Y si dividimos uno por un número negativo infinitamente pequeño, obtenemos menos infinito. Esta es una forma simple de determinar si nuestro infinito es positivo o negativo. Podemos continuar con este proceso para hallar que nuestro límite derecho es más infinito.

A pesar de que estos dos últimos pasos no son estrictamente necesarios, nos ayudan a comprender mejor el comportamiento de nuestra función cuando 𝑥 se aproxima a menos dos desde la izquierda y desde la derecha. Aquí, hemos encontrado que ni el límite derecho ni el izquierdo existen cuando 𝑥 se aproxima a menos dos. Y es por eso que tenemos una discontinuidad esencial. Y, teniendo en cuenta nuestro análisis, podemos clasificarla más específicamente como discontinuidad infinita. Ahora analicemos el caso en el cual 𝑥 es igual a cinco. Calculemos el límite cuando 𝑥 se aproxima a cinco de 𝑓 de 𝑥. Esta vez, la sustitución directa nos lleva a la forma indeterminada de cero sobre cero. Así que debemos usar una técnica diferente para solucionar esto.

Hasta ahora, hemos estado ignorando el hecho de que nuestra función original 𝑓 de 𝑥 tiene un factor común de 𝑥 menos cinco tanto en la parte superior como en la parte del cociente. Si cancelamos este factor, nos quedaríamos con uno sobre 𝑥 más dos. Ahora bien, debemos tener cuidado en no decir que esto es 𝑓 de 𝑥. Y en su lugar llamarla de otra forma, por ejemplo, 𝑔 de 𝑥. Aunque pareciera que 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥 son iguales, esto es cierto solamente cuando 𝑥 no es igual a cinco, ya que sabemos que 𝑥 igual a cinco no está en el dominio de 𝑓 de 𝑥. Sin embargo, está en el dominio de 𝑔 de 𝑥. Y aquí está nuestro truco. Ya que el límite contiene los valores de 𝑥 que están arbitrariamente cerca de cinco, pero no 𝑥 igual a cinco, podemos decir que el límite cuando 𝑥 se aproxima a cinco de 𝑓 de 𝑥 es igual al límite cuando 𝑥 se aproxima a cinco de 𝑔 de 𝑥.

Esto nos permite usar el método de sustitución directa, puesto que 𝑥 igual a cinco está en el dominio de 𝑔 de 𝑥. Haciendo esto, hallamos que el valor de nuestro límite es uno sobre siete. Ahora, estamos en posición de pensar en nuestra discontinuidad. Hemos hallado que el límite cuando 𝑥 se aproxima a cinco de 𝑓 de 𝑥 existe y es finito, tomando el valor de uno sobre siete. Sin embargo, hemos concluido antes que cuando 𝑥 es igual a menos dos o cuando 𝑥 es igual a cinco, 𝑓 de 𝑥 no está definida porque requiere dividir por cero. Por eso, 𝑓 de cinco no está definido. En definitiva, hemos hallado que el límite cuando 𝑥 se aproxima a cinco de 𝑓 de 𝑥 existe, es finito, pero no es igual a 𝑓 de cinco. Esta es la condición exacta para una discontinuidad evitable en 𝑥 igual a cinco. Ahora, hemos respondido completamente nuestra pregunta.

Hemos hallado que 𝑓 tiene una discontinuidad esencial infinita en 𝑥 igual a menos dos. Y 𝑓 tiene una discontinuidad evitable en 𝑥 igual a cinco. Si dibujáramos la gráfica de 𝑓 de 𝑥, se vería un poco así. Para terminar nuestro video. Revisemos algunos puntos clave. Cuando una función no satisface la condición de continuidad, se dice que es discontinua. Las discontinuidades que ocurren en un punto, hemos aprendido a clasificarlas de esta manera: primero, las discontinuidades evitables, segundo, las discontinuidades esenciales, que son subcategorizadas en infinitas y oscilantes; y finalmente discontinuidades de salto finito. Cada uno de estos tipos de discontinuidad tiene sus propias condiciones, las cuales hemos descrito.

Cuando buscamos discontinuidades, es muy útil evaluar ciertos puntos de una función. Para funciones definidas por partes debemos observar los valores de 𝑥 en el límite entre las diferentes subfunciones. Y para las funciones racionales, que son cocientes en la forma de 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥, debemos buscar los valores de 𝑥 en donde el denominador, 𝑄 de 𝑥, es igual a cero. Como nota final hay que decir que, en algunos casos en donde una función se define usando valores absolutos o potencias no enteras de 𝑥, a veces reescribir esta función en una forma más manejable, que quizás podría ser por partes, podría hacer que las discontinuidades sean más fáciles de hallar y clasificar.