Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo dibujar e interpretar lugares geométricos en el plano complejo definidos por una ecuación en términos del argumento. Al igual que podemos usar el módulo para definir lugares geométricos en el plano complejo considerando la geometría del plano, también podemos usar el argumento de un número complejo para definir el lugar geométrico de los puntos que satisfacen ciertos criterios. Vamos a considerar las semirrectas, los arcos mayores, los semicírculos y los arcos menores como lugares geométricos del plano complejo y vamos a analizar las ecuaciones cartesianas que corresponden a estos.
Recuerda que, para un número complejo representado en un diagrama de Argand y unido por un segmento al origen, el argumento es el ángulo que este segmento forma con el eje real positivo medido en sentido antihorario. En lugar de preguntar cuál es el argumento de un número complejo, podemos preguntar ¿cuál es el lugar geométrico de un punto dado un argumento fijo, por ejemplo, ¿el argumento de 𝑧 es 𝜋 sobre tres?
Esto representa todos los números complejos en la semirrecta que forma un ángulo de 𝜋 por tres radianes con el eje 𝑥 en sentido antihorario. El lugar geométrico de 𝑧 es esta semirrecta. Recuerda que el argumento no está definido cuando 𝑧 es igual a cero, por lo que el lugar geométrico no puede incluir el punto en el origen. Generalicemos esta idea para cualquier semirrecta en el plano complejo considerando una transformación que consiste en restar un número fijo 𝑧 uno. Decimos que el lugar geométrico de los puntos 𝑧 tales que el argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno es igual a 𝜃 es una semirrecta desde 𝑧 uno, pero sin incluirlo, que forma un ángulo 𝜃 con la semirrecta horizontal que se extiende desde 𝑧 uno en la dirección positiva. Y, por supuesto, esto se mide en sentido antihorario. Veamos un ejemplo de esto.
Dibuja el lugar geométrico de los números 𝑧 tales que el argumento de 𝑧 más dos más 𝑖 es igual a 𝜋 sobre cuatro.
Recuerda, el lugar geométrico de los números 𝑧 tales que el argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno es igual a 𝜃 es una semirrecta desde 𝑧 uno pero sin incluirlo. Esta semirrecta forma un ángulo 𝜃 con la semirrecta horizontal que se extiende desde 𝑧 uno en el sentido positivo del eje 𝑥. Y es importante que recordemos que esto se mide en sentido antihorario. Así que para comenzar, vamos a escribir la ecuación de nuestro lugar geométrico en la forma argumento de 𝑧 menos 𝑧 igual a 𝜃. Para ello factorizamos menos uno, y obtenemos que 𝑧 más dos más 𝑖 es lo mismo que 𝑧 menos menos dos menos 𝑖. Obtenemos pues que el argumento de 𝑧 menos menos dos menos 𝑖 es igual a 𝜋 por cuatro. Comparando nuestra ecuación con la fórmula general, vemos que 𝑧 sub uno es igual a menos dos menos 𝑖 y 𝜃 es igual a pi sobre cuatro.
Recuerda que 𝑧 uno es el punto de inicio de nuestra semirrecta, pero, de hecho, ese punto no pertenece a la semirrecta. En un diagrama de Argand, 𝑧 uno es el punto cuyas coordenadas cartesianas son menos dos, menos uno. Y agregamos un círculo vacío aquí para mostrar que no incluimos este punto en nuestro lugar geométrico. Agregamos una semirrecta horizontal desde 𝑧 uno en la dirección positiva de 𝑥. Después medimos 𝜋 partido por cuatro radianes desde esta recta en sentido antihorario. Haciendo todo esto, hallamos el lugar geométrico de 𝑧. También podemos revertir este proceso para formar una ecuación a partir de un diagrama del lugar geométrico de 𝑧.
A continuación, vamos a ver cómo se puede expresar el lugar geométrico como una ecuación cartesiana.
Halla la ecuación cartesiana del lugar geométrico de los números 𝑤 tales que el argumento de 𝑤 más tres más 𝑖 es igual a 𝜋 sobre tres.
Recuerda, un lugar geométrico en esta forma es una semirrecta. Sabiendo que el argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno es igual a 𝜃, la semirrecta se extiende desde 𝑧 uno, pero sin incluirlo. Forma un ángulo 𝜃 con la semirrecta horizontal positiva, y es medido en sentido antihorario. Reescribamos nuestra definición como argumento de 𝑤 menos 𝑤 uno. Tenemos que escribir la ecuación del argumento de 𝑤 más tres más 𝑖 igual a 𝜋 sobre tres en esta forma. Para lograr esto, extraemos el factor común menos uno, y obtenemos que el argumento de 𝑤 menos menos tres menos 𝑖 es igual a 𝜋 por tres. Igualamos 𝑤 sub uno a menos tres menos 𝑖 y que 𝜃 sea 𝜋 por tres.
Sabemos que nuestra semirrecta se extiende desde el punto 𝑤 uno, pero no lo incluye. Podemos graficar 𝑤 uno usando las coordenadas cartesianas menos tres, menos uno. Luego medimos un ángulo de 𝜋 partido por tres radianes desde la semirrecta horizontal positiva que se extiende desde 𝑤 uno. Y así, obtenemos el lugar geométrico de 𝑤 que se muestra. Básicamente, es una línea recta. Para hallar su ecuación cartesiana, vamos a usar la fórmula 𝑦 menos 𝑦 igual a 𝑚 por 𝑥 menos 𝑥 uno. Sabemos que 𝑥 uno, 𝑦 uno es un punto por el que pasa esta recta. Así que podemos decir que 𝑥 uno, 𝑦 uno aquí es el punto menos tres, menos uno. 𝑚, sin embargo, es la pendiente de la recta. Y, si agregamos un triángulo rectángulo a nuestros lugares geométricos, sabemos que 𝑚 es el cambio vertical dividido por el cambio horizontal.
Con respecto a nuestro ángulo de 𝜋 partido por tres, eso es lo mismo que cateto opuesto partido por cateto contiguo. Y ese cociente es, por supuesto, la tangente del ángulo. Así que nuestra pendiente 𝑚 es igual a tan de 𝜋 partido por tres, que es raíz de tres. Ahora sustituimos todo esto en nuestra fórmula de la ecuación de una recta. Y obtenemos 𝑦 menos menos uno igual a raíz cuadrada de tres por 𝑥 menos menos tres. Y después, desarrollamos nuestros paréntesis y obtenemos 𝑦 más uno igual a la raíz cuadrada de tres 𝑥 más tres raíz de tres.
Si restamos uno de ambos lados, vemos que tenemos la ecuación explícita de una recta. Pero queremos la ecuación cartesiana del lugar geométrico. Sabemos que es una semirrecta que no incluye el punto en menos tres, menos uno. Añadimos esta condición a 𝑥: que 𝑥 es mayor que menos tres. Así que la ecuación cartesiana es 𝑦 igual a la raíz cuadrada de tres 𝑥 más tres raíz de tres menos uno, con 𝑥 mayor que menos tres.
El siguiente lugar geométrico en el que estamos interesados es el de un arco de circunferencia. El lugar geométrico de los números 𝑧 tales que el argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno partido por 𝑧 menos 𝑧 dos igual a 𝜃 es el arco de una circunferencia que subtiende un ángulo de 𝜃 entre los puntos representados por 𝑧 uno y 𝑧 dos. Este se recorre en sentido antihorario desde 𝑧 uno hasta 𝑧 dos y no incluye los puntos finales como parte de su lugar geométrico. Ahora bien, si 𝜃 es menor que 𝜋 medios, como en este diagrama, el lugar geométrico es un arco mayor. Si es igual a 𝜋 en dos, nuestro lugar geométrico es un semicírculo. Y si es mayor que 𝜋 en dos, tenemos un arco menor.
Veamos un ejemplo.
La figura muestra el lugar geométrico de un punto 𝑧 en el plano complejo. Escribe una ecuación para el lugar geométrico en la forma argumento de 𝑧 menos 𝑎 sobre 𝑧 menos 𝑏 igual a 𝜃, donde los números complejos 𝑎 y 𝑏, y el ángulo 𝜃, que es mayor que cero y menor o igual que 𝜋, son constantes por hallar.
Recordemos que el lugar geométrico de un punto 𝑧 tal que el argumento de 𝑧 menos 𝑎 sobre 𝑧 menos 𝑏 es igual a 𝜃 es un arco de circunferencia que subtiende un ángulo 𝜃 entre los puntos representados por 𝑎 y 𝑏. Es importante que nos demos cuenta de que este lugar geométrico es recorrido en sentido antihorario de 𝑎 a 𝑏. Para nuestro lugar geométrico, esa es esta dirección. Si 𝜃 es menor que 𝜋 partido por dos, el lugar geométrico es un arco mayor. De hecho tenemos un arco mayor, y podemos ver además que nuestro valor de 𝜃 es igual a 𝜋 partido por cinco. Así que tiene perfecto sentido. Los extremos están en 𝑎 y 𝑏 cuyas coordenadas cartesianas son cuatro, menos tres y menos tres, uno, respectivamente.
El primero de estos puntos representa el número complejo cuatro menos tres 𝑖. Sabemos que, para ser recorrido en sentido antihorario, el lugar geométrico debe comenzar aquí. Así que es igual a cuatro menos tres 𝑖. Del mismo modo, el arco termina en el punto menos tres, uno, que representa el número complejo menos tres más 𝑖. Por lo tanto, podemos decir que la ecuación del lugar geométrico es argumento de 𝑧 menos cuatro menos tres 𝑖 partido por 𝑧 menos menos tres más 𝑖 es igual a cinco.
En nuestro siguiente ejemplo, vamos a practicar cómo dibujar un lugar geométrico de esta forma.
El punto 𝑧 satisface argumento de 𝑧 menos seis sobre 𝑧 menos seis 𝑖 es igual a 𝜋 sobre cuatro. Dibuja el lugar geométrico de 𝑧 en un plano complejo.
Notamos que la ecuación en esta cuestión se parece mucho al argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno sobre 𝑧 menos 𝑧 dos es igual a 𝜃. El lugar geométrico de 𝑧 en este caso es un arco de circunferencia que subtiende un ángulo de 𝜃 entre los puntos representados por 𝑧 uno y 𝑧 dos. Y, por supuesto, esto se recorre en sentido antihorario de 𝑧 uno a 𝑧 dos. Comparando la forma general con la ecuación en nuestra pregunta, hallamos que 𝑧 uno debe ser igual a seis y 𝑧 dos debe ser igual a seis 𝑖. En un diagrama de Argand, estos son puntos representados por las coordenadas cartesianas seis, cero y cero, seis, respectivamente. También vemos que 𝜃 es igual a 𝜋 partido por cuatro. Y sabemos que si 𝜃 es menor que 𝜋 en dos, entonces nuestro lugar geométrico es un arco mayor.
También sabemos que los puntos finales no están incluidos en nuestro lugar geométrico, pero aquí tenemos un pequeño problema. Sabemos que nuestro lugar geométrico es el arco de una circunferencia. Pero sin conocer el centro de la circunferencia, no podemos usar esta información para hallar el arco correcto. De hecho, podría ser este arco mayor o este arco mayor. Pero sabemos que el lugar geométrico se dibuja en sentido antihorario desde 𝑧 uno, eso es seis, cero, hasta 𝑧 dos, que es cero, seis. Para que ese sea el caso, tenemos que usar este arco de la derecha. También podemos optar por añadir el ángulo de 𝜋 partido por cuatro radianes aquí.
También es posible hallar la ecuación cartesiana de lugares geométricos de esta forma. Ocasionalmente, podremos adoptar un enfoque geométrico, pero en general, adoptamos un enfoque algebraico.
En nuestro último ejemplo, vamos a ver uno de esos enfoques.
El lugar geométrico de 𝑧 satisface el argumento de 𝑧 menos tres 𝑖 sobre 𝑧 menos cinco 𝑖 es igual a dos 𝜋 sobre tres. Dibuja este lugar geométrico en un diagrama de Argand y halla su ecuación cartesiana.
Recuerda, el lugar geométrico de un punto 𝑧 tal que el argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno sobre 𝑧 menos 𝑧 dos es 𝜃 es el arco de una circunferencia que subtiende un ángulo de 𝜃 entre los puntos representados por 𝑧 uno y 𝑧 dos. Es trazado en sentido antihorario desde 𝑧 uno hasta 𝑧 dos, pero los puntos finales no son parte del lugar geométrico. Sabemos, además, que, si 𝜃 es mayor que 𝜋 partido por dos radianes, el lugar geométrico es un arco menor. Del mismo modo, si es mayor que 𝜋 partido por dos, es un arco mayor. Y si es igual a 𝜋 partido por dos, es un semicírculo.
Aquí, podemos decir que 𝑧 uno debe ser tres 𝑖, 𝑧 dos debe ser cinco 𝑖 y 𝜃 es dos 𝜋 sobre tres radianes. Así que es mayor que 𝜋 medios, y es un arco menor. Para graficar 𝑧 uno y 𝑧 dos en el plano de Argand, graficamos los puntos con coordenadas cartesianas cero, tres y cero, cinco, respectivamente. Pero aquí tenemos un pequeño problema. ¿Cómo sabemos dónde está el arco menor? Sabemos que es el arco de una circunferencia. Pero sin conocer el centro de la circunferencia, no podemos usar esta información para hallar el arco. Sin embargo, sabemos que el lugar geométrico se recorre en sentido antihorario de 𝑧 uno a 𝑧 dos. Y para que el arco de cero, tres a cero, cinco sea un arco menor cuando se dibuja en esta dirección, necesitamos dibujar el lugar geométrico que se muestra. Y podemos poner dos 𝜋 partido por tres radianes en el diagrama.
En la siguiente parte de esta cuestión nos piden que hallemos la ecuación cartesiana del lugar geométrico. Se puede hallar la ecuación cartesiana determinando el centro y el radio de la circunferencia. En este caso, sin embargo, vamos a usar un enfoque puramente algebraico. Vamos a sustituir 𝑧 igual a 𝑥 más 𝑦𝑖 en la ecuación compleja. Obtenemos argumento de 𝑥 más 𝑦𝑖 menos tres 𝑖 sobre 𝑥 más 𝑦𝑖 menos cinco 𝑖 igual a dos 𝜋 sobre tres. Reescribamos esto un poco. Y ahora vamos a realizar la división compleja 𝑥 más 𝑖 por 𝑦 menos tres dividido por 𝑥 más 𝑖 por 𝑦 menos cinco.
Para hacer esto, multiplicamos el numerador y el denominador de nuestra fracción por el conjugado del denominador. Recuerda, para hallar el conjugado de nuestro denominador, cambiamos el signo de la parte imaginaria. Vamos a multiplicar el numerador y el denominador de nuestra fracción por 𝑥 menos 𝑖 por 𝑦 menos cinco. Desarrollando los paréntesis en nuestro numerador y recordando, por supuesto, que 𝑖 al cuadrado es menos uno, obtenemos 𝑥 al cuadrado menos 𝑥𝑖 por 𝑦 menos cinco más 𝑥𝑖 por 𝑦 menos tres más 𝑦 menos tres por 𝑦 menos cinco. Y en nuestro denominador, simplemente obtenemos 𝑥 al cuadrado más 𝑦 menos cinco al cuadrado.
Ahora vamos a dividir esto en partes reales e imaginarias. Y vemos que la parte real es 𝑥 al cuadrado más 𝑦 menos tres por 𝑦 menos cinco sobre 𝑥 al cuadrado más 𝑦 menos cinco al cuadrado. Y la parte imaginaria es menos 𝑥 por 𝑦 menos cinco más 𝑥 por 𝑦 menos tres, que he escrito como 𝑥 por 𝑦 menos tres menos 𝑥 por 𝑦 menos cinco todo sobre 𝑥 al cuadrado más 𝑦 menos cinco al cuadrado.
De hecho, al desarrollar los paréntesis, obtenemos 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado menos ocho 𝑦 más 15 como el numerador de nuestra primera parte y dos 𝑥 como el numerador de nuestra parte imaginaria. Sabemos que el argumento de este número complejo es igual a dos 𝜋 sobre tres. Y para un número complejo de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, sabemos que tan de 𝜃, donde 𝜃 es el argumento, es igual a 𝑏 sobre 𝑎. Esto significa que tan de dos 𝜋 sobre tres será igual a 𝑏, que es la parte imaginaria, dividida por 𝑎, que es la parte real de nuestro número complejo. Y cuando dividimos la parte imaginaria por la parte real, los denominadores se cancelan. Así que hallamos que tan de dos 𝜋 sobre tres es igual a dos 𝑥 sobre 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado menos ocho 𝑦 más 15. Y podemos hallar fácilmente que tan de dos 𝜋 sobre tres es menos raíz de tres.
Hagamos un poco de espacio y reorganicemos nuestra ecuación. Para hacer esto, vamos a multiplicar ambos lados por el denominador de nuestra fracción para luego dividir por menos la raíz de tres. Y cuando lo hacemos, hallamos que 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado menos ocho 𝑦 más 15 es igual a dos 𝑥 dividido por menos raíz de tres, que podemos escribir como menos dos raíz de tres sobre tres 𝑥. Sumamos dos raíz de tres sobre tres 𝑥 a ambos lados, y ahora podemos ya completar los cuadrados. Completando el cuadrado para la expresión 𝑥 al cuadrado más dos raíz de tres sobre tres 𝑥 nos da 𝑥 más raíz de tres sobre tres al cuadrado menos un tercio.
Del mismo modo, completando el cuadrado para 𝑦 al cuadrado menos ocho 𝑦 obtenemos 𝑦 menos cuatro al cuadrado menos 16. Y, por supuesto, sumamos 15 y lo igualamos a cero. Menos un tercio menos 16 más 15 es menos cuatro tercios. Así que sumamos cuatro tercios a ambos lados. Y obtenemos la ecuación 𝑥 más raíz de tres sobre tres al cuadrado más 𝑦 menos cuatro todo al cuadrado es igual a cuatro tercios.
Esta es la ecuación de una circunferencia como esperábamos. Pero debemos tener un poco de cuidado. Necesitamos establecer una restricción en 𝑥 y 𝑦 para asegurarnos de que los puntos estén en el lugar geométrico. Y, por supuesto, ese es el arco menor que bosquejamos anteriormente. Así que solo vamos a considerar los puntos donde 𝑥 es mayor que cero. Así que hemos dibujado el lugar geométrico en un diagrama de Argand y hemos hallado que su ecuación cartesiana es 𝑥 más raíz de tres sobre tres al cuadrado más 𝑦 menos cuatro al cuadrado es igual a cuatro tercios, y eso para valores de 𝑥 mayores que cero.
En este video, hemos visto que podemos usar el argumento de un número complejo de la misma manera que podemos usar el módulo para definir lugares geométricos en el plano complejo. Podemos usar nuestro conocimiento de la geometría del plano complejo para interpretar los lugares geométricos de los puntos que satisfacen ciertas ecuaciones e investigar sus propiedades. Hemos visto que el lugar geométrico de los números 𝑧 tales que argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno es igual a 𝜃, es una semirrecta desde 𝑧 uno, pero que no incluye este punto, que forma un ángulo 𝜃 con la semirrecta horizontal en sentido antihorario.
Del mismo modo, hemos visto que el lugar geométrico de un punto 𝑧 que satisface argumento de 𝑧 menos 𝑧 uno sobre 𝑧 menos 𝑧 dos es igual a 𝜃, es un arco de circunferencia que subtiende un ángulo 𝜃 entre los puntos representados por 𝑧 uno y 𝑧 dos. Se recorre en sentido antihorario y los puntos finales no son parte del lugar geométrico. Y, por último, hemos aprendido que, en este caso, si 𝜃 es menor que 𝜋 partido por dos radianes, el lugar geométrico es un arco mayor. Si es igual a 𝜋 partido por dos radianes, el lugar geométrico es una semicircunferencia. Y si es mayor que 𝜋 partido por dos radianes, el lugar geométrico es un arco menor.
