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Integrales impropias de segunda especie: integrandos no acotados
En este vídeo vamos a aprender cómo calcular integrales que son denominadas impropias
porque su integrando no está acotado, o sea, tiene una discontinuidad infinita. En primer lugar, conviene aclarar cuándo decimos de una integral que es impropia. En el primer caso, uno de los límites de integración, o los dos, es más o menos
infinito. Por lo tanto, el límite superior o el inferior, o ambos, ha de ser infinito. En el segundo caso, el integrando, que llamaremos 𝑓 de 𝑥, tiene una discontinuidad
infinita en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏, donde 𝑎 y 𝑏 son los límites de
integración. Este es el caso de un integrando no acotado, que es el que vamos a estudiar en este
vídeo. Un ejemplo sería la integral entre menos uno y uno de uno sobre 𝑥 al cuadrado con
respecto a 𝑥.
Conviene hacer hincapié en que, a primera vista, este tipo de integral puede no
parecer impropia, pues no hay signos de que haya infinitos en los límites de
integración. No obstante, y como veremos enseguida, no podemos utilizar los procedimientos usuales
para calcular esta integral. Vamos a necesitar herramientas adicionales. Si te fijas en la integral que se nos presenta, verás que el procedimiento que
podemos emplear para calcularla es la segunda parte del teorema fundamental del
cálculo, o sea, la regla de Barrow. Recordemos que la regla de Barrow dice que, si 𝑓 minúscula es una función continua
en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, entonces la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 minúscula
de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝐹 mayúscula de 𝑏 menos 𝐹 mayúscula de 𝑎. Y 𝐹 mayúscula es cualquier antiderivada de 𝑓 minúscula.
Si representamos la función uno sobre 𝑥 al cuadrado, podemos ver claramente que no
es continua en el intervalo cerrado entre menos uno y uno, pues presenta una
discontinuidad infinita para 𝑥 igual a cero. Supongamos que ignoramos la condición de continuidad del teorema fundamental del
cálculo. Y que insistimos en calcular esta integral aplicando este procedimiento de todos
modos. ¿Qué pasaría? Vamos a verlo. Primero reexpresamos uno sobre 𝑥 al cuadrado como 𝑥 elevado a menos dos. De esta forma podemos ver mejor nuestra antiderivada, que es menos 𝑥 elevado a menos
uno, que también puede escribirse como menos uno sobre 𝑥.
Vale, vamos a reexpresarlo de esta forma. E introducimos los límites de integración, menos uno y uno. Y obtenemos la siguiente expresión, que se simplifica a menos uno menos uno, que es
menos dos. Como ves, este resultado es bastante raro, pues, si te fijas en la gráfica, puedes
ver claramente que el área bajo la curva está completamente por encima del eje de
las 𝑥. Así que debería ser positiva. Pero nuestra integral proporciona un valor negativo. En esta integral y en otras de este tipo, la discontinuidad infinita nos da
problemas. Después de todo puede que no sea posible hallar un valor numérico para esta integral,
desde luego no aplicando esta técnica.
Vamos a introducir nuevas definiciones que nos permitan calcular integrales que
tienen una discontinuidad infinita. Si 𝑓 es continua en el intervalo cerrado en 𝑎 y abierto en 𝑏, y tiene una
discontinuidad en 𝑏. Entonces, la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al límite
cuando 𝑡 se acerca a 𝑏 por la izquierda de la integral entre 𝑎 y 𝑡 de 𝑓 de 𝑥
con respecto a 𝑥. Esto es así si el límite existe y es finito. Aquí tenemos un ejemplo de cómo sería esto. De igual forma, si 𝑓 es continua en el intervalo abierto en 𝑎 y cerrado en 𝑏 y
tiene una discontinuidad en 𝑎. Entonces, la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al límite
cuando 𝑡 se acerca a 𝑎 por la derecha de la integral entre 𝑡 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥. Y, al igual que antes, esto es así siempre que el límite exista y sea finito. Aquí tenemos la representación visual.
Vamos a mencionar algunos aspectos que deben ser tenidos en cuenta. En primer lugar, hemos introducido 𝑡 en ambas definiciones. 𝑡 es una variable auxiliar que nos ayuda a calcular límites. Además, en la primera definición, hemos utilizado un límite por la izquierda. Esto es porque el intervalo de integración se encuentra completamente a la izquierda
del límite superior. Y nos acercamos a la discontinuidad por la izquierda. En la segunda definición hemos usado un límite por la derecha, pues el intervalo de
integración se encuentra completamente a la derecha del límite inferior. Y nos acercamos a la discontinuidad por la derecha. Ahora bien, la afirmación final en ambos casos es que esto se cumple solo si los
límites existen y son finitos.
Al describir esto, diremos que la integral impropia es convergente si el límite
correspondiente existe. Y «existir» quiere decir que tiene que ser finito, y es divergente si el límite no
existe. Muy bien. Tenemos una definición para aquellos casos en los que hay una discontinuidad infinita
en uno de los límites de integración. Pero, ¿qué pasa si la discontinuidad está entre los límites? Un ejemplo de esto sería el caso de uno sobre 𝑥 al cuadrado que hemos visto
antes. Si 𝑓 tiene una discontinuidad en 𝑐, donde 𝑐 es mayor que 𝑎 y menor que 𝑏, y
tanto la integral entre 𝑎 y 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 como la integral entre
𝑐 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 son convergentes. Entonces, decimos que la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es
igual a la integral entre 𝑎 y 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥, más la integral
entre 𝑐 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Esto último debe resultarnos familiar, pues el método de descomposición de integrales
se emplea en muchas otras áreas del cálculo.
Lo que estamos haciendo aquí es descomponer nuestra integral en la suma de dos
integrales más pequeñas, una con una discontinuidad infinita en el límite superior,
como se muestra aquí, y la otra con una discontinuidad infinita en el límite
inferior. De esta forma podemos calcular estas dos integrales pequeñas usando los límites en la
manera que hemos mostrado antes. Cabe señalar que esta afirmación solo es válida si las dos integrales pequeñas que
estamos sumando son convergentes. Si este es el caso, la integral principal también es convergente. Si cualquiera de las dos integrales pequeñas es divergente, entonces también lo es la
integral impropia principal.
Teniendo en cuenta lo que hemos aprendido, para resolver este tipo de problemas
debemos llevar a cabo los siguientes pasos. En primer lugar, debemos examinar nuestro integrando para hallar aquellos valores de
𝑥 en los que existen discontinuidades. En el caso de uno sobre 𝑥 al cuadrado, es bastante evidente. Es posible que para otras funciones necesitemos esforzarnos un poco más. Como norma general, es común que existan discontinuidades infinitas en funciones con
cocientes. Una vez que hemos hallado las discontinuidades, debemos averiguar dónde se halla este
valor de 𝑥 con respecto a los límites de integración. Para uno sobre 𝑥 al cuadrado, la discontinuidad ocurre en el punto de abscisa 𝑥
igual a cero. Y puede estar en el límite inferior de integración, en el límite superior de
integración, entre los límites de integración o fuera de los límites de
integración.
Vale la pena señalar que, de hecho, esta última integral no se consideraría impropia,
pues la discontinuidad no ocurre en los límites de integración ni entre ellos. Por ejemplo, no hay una discontinuidad en el intervalo cerrado entre uno y dos. La posición de la discontinuidad con respecto a los límites de integración impone el
método y las técnicas que vamos a aplicar para resolver la integral.
Veamos un ejemplo.
Determina si la integral entre cero y uno de uno sobre 𝑥 con respecto a 𝑥 es
convergente o divergente.
En esta cuestión se nos pide que calculemos una integral definida de la función uno
sobre 𝑥. Esta función debería resultarnos familiar. Podemos ver claramente que tiene una discontinuidad infinita cuando 𝑥 es igual a
cero, pues tiende a más infinito por la derecha y a menos infinito por la
izquierda. El procedimiento habitual que seguimos para calcular una integral definida es la
segunda parte del teorema fundamental del cálculo. Pero esto requiere que nuestro integrando 𝑓 sea una función continua en el intervalo
cerrado entre 𝑎 y 𝑏, que son los límites de integración. Acabamos de ver que uno sobre 𝑥 tiene una discontinuidad infinita cuando 𝑥 es igual
a cero. Y podemos ver que este es uno de nuestros límites de integración. Así que la condición de continuidad no se cumple. Por lo tanto, lo que tenemos es una integral impropia. Así que debemos emplear un método distinto.
Para una discontinuidad que ocurre en el límite inferior de integración, la
definición de integral impropia dice lo siguiente. Si 𝑓 es continua en el intervalo abierto en 𝑎 y cerrado en 𝑏 y discontinua en
𝑎. Entonces, la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al límite
cuando 𝑡 tiende a 𝑎 por la derecha de la integral entre 𝑡 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥. Y esto siempre que este límite exista y sea finito. No te preocupes por esta 𝑡 que hemos introducido, pues se trata simplemente de una
variable auxiliar que nos sirve para calcular nuestro límite. Vamos a aplicar lo que acabamos de ver a la cuestión. 𝑓 de 𝑥, nuestro integrando, es uno sobre 𝑥. El límite inferior de integración, 𝑎, es cero. Y el límite superior de integración, 𝑏, es uno.
Nuestra definición nos dice que la integral es igual al límite cuando 𝑡 tiende a
cero por la derecha de la integral entre 𝑡 y uno de uno sobre 𝑥 con respecto a
𝑥. Muy bien. Vamos a calcularla. Sabemos que la antiderivada de uno sobre 𝑥 es el logaritmo neperiano del valor
absoluto de 𝑥. Y ahora introducimos los límites de integración, 𝑡 y uno. Y obtenemos la siguiente expresión. Las propiedades de los límites nos permiten aplicar nuestro límite por separado a
cada uno de estos términos. Vamos a hacerlo para ver lo que pasa. El primer término no tiene dependencia de 𝑡. Así que nos deshacemos de esto. También sabemos que el logaritmo neperiano de uno es cero. Puede que veamos esto más claramente si tomamos la exponencial a ambos lados. 𝑒 elevado a cero es uno.
Vale. Pero, ¿qué hay de este término? Aplicamos el método de sustitución directa y obtenemos el logaritmo neperiano de
cero, que es técnicamente cero por la derecha. En cierto modo podemos decir que esto es igual a menos infinito. Puesto que, cuando 𝑡 tiende a cero por la derecha, el logaritmo neperiano del valor
absoluto de 𝑡 tiende a menos infinito. Introducimos estos dos valores en nuestra expresión y obtenemos lo siguiente. Nuestro límite es igual a cero menos menos infinito, que es más infinito.
Decir que un límite es igual a infinito nos da cierta información sobre ese
límite. No obstante, es simplemente una forma particular de decir que el límite no existe,
pues infinito no es un número. Como nuestro límite no existe, deducimos que el límite no tiene un valor finito, o
sea, numérico. En este caso, decimos que la integral es divergente. De esta forma hemos obtenido la solución al problema.
Estupendo. Al completar este ejemplo nos damos cuenta de que, hasta ahora, solo hemos
considerado funciones que consisten en potencias de 𝑥. No obstante, también podemos aplicar estas técnicas para integrar otros tipos de
funciones no acotadas, tales como las funciones trigonométricas o las
exponenciales. Veamos una de ellas.
La integral entre cero y 𝜋 sobre dos de coseno de 𝜃 entre la raíz cuadrada de seno
de 𝜃, con respecto a 𝜃 es convergente. ¿A qué valor converge?
Enseguida nos damos cuenta de que el enunciado nos dice que la integral es
convergente. Esto nos da una pista de que estamos ante una integral impropia. Y como vemos que ninguno de nuestros límites de integración es infinito, deducimos
que nuestro integrando debe tener una discontinuidad en el intervalo cerrado entre
cero y 𝜋 sobre dos, que son los límites de integración. Vamos a ver dónde se encuentra esta discontinuidad. Como el integrando que tenemos es un cociente, vamos a ver dónde su denominador es
igual a cero. La raíz cuadrada de seno de 𝜃 es cero donde seno de 𝜃 es también igual a cero. Esto ocurre cuando 𝜃 es igual a cero más 𝑛𝜋, que es 𝑛𝜋. Y 𝑛 es un número entero. De esta forma vemos que el denominador es igual a cero cuando 𝜃 es igual a
cualquiera de los siguientes valores. El único de estos valores que está en el intervalo de integración es cero.
A fin de tomar las precauciones necesarias, vamos a comprobar lo que ocurre con el
numerador cuando 𝜃 es igual a cero. El numerador es coseno de 𝜃. Así que esto se convierte en coseno de cero, que es uno. Hacemos esto para comprobar que, cuando 𝜃 es igual a cero, la función no es igual a
la forma indeterminada cero sobre cero. Pues, de lo contrario, podríamos tal vez tener una discontinuidad evitable. En realidad, cuando 𝜃 es igual a cero, la función es igual a uno sobre cero, que es
el caso de una discontinuidad infinita. Muy bien. Ya hemos confirmado que tenemos una integral impropia. Y que tenemos una discontinuidad infinita en el límite inferior de integración. La definición de integral impropia para este caso en concreto dice que, si 𝑓 es una
función continua en el intervalo abierto en 𝑎 y cerrado en 𝑏 y es discontinua en
𝑎. Entonces, la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al límite
cuando 𝑡 tiende a 𝑎 por la derecha de la integral entre 𝑡 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥. Si el límite existe y es finito.
Vamos a aplicar esto a nuestra cuestión. La integral que tenemos es igual al límite cuando 𝑡 tiende a cero por la derecha de
la misma integral, pero ahora entre los límites de 𝑡 y 𝜋 sobre dos. A estas alturas puede que te hayas dado cuenta ya de que nuestra integral no es tan
sencilla como parece. Y que, por lo tanto, vamos a tener que esforzarnos para calcularla. Para ello vamos a utilizar un cambio de variable en 𝑢, concretamente haciendo 𝑢
igual a seno de 𝜃. A partir de aquí, derivamos para hallar que d𝑢 sobre d𝜃 es igual a coseno de
𝜃. Una afirmación equivalente a esto es que d𝑢 es igual a coseno de 𝜃 d𝜃. Ahora aplicamos el cambio de variable. Sustituimos seno de 𝜃 por 𝑢. Y sustituimos coseno de 𝜃 d𝜃 por d𝑢. De esta forma obtenemos la integral de uno sobre la raíz cuadrada de 𝑢 con respecto
a 𝑢. Otra forma de expresar esta integral es 𝑢 elevado a menos un medio. Calculamos esto y obtenemos dos 𝑢 elevado a un medio, que es dos por la raíz
cuadrada de 𝑢. Ahora volvemos a la sustitución original y reemplazamos 𝑢 por seno de 𝜃. Por lo tanto, nuestra integral es dos por la raíz cuadrada de seno de 𝜃 más la
constante de integración.
Ahora que ya hemos hecho el trabajo de campo en nuestra integral, vamos a usar este
resultado para tratar de resolver nuestra cuestión. Usamos la antiderivada que acabamos de hallar para nuestra integral. Y obtenemos lo siguiente. Introducimos los límites de integración, 𝑡 y 𝜋 sobre dos. Y obtenemos este límite. Vamos a aplicar el método de sustitución directa a nuestro límite. Y obtenemos que seno de 𝜋 sobre dos es igual a uno. Seno de cero es igual a cero. Y obtenemos dos por la raíz cuadrada de uno menos dos por la raíz cuadrada de
cero. La raíz cuadrada de uno es uno. Y todo este término es cero. De esta forma, obtenemos que la respuesta es dos. Como hemos obtenido este resultado, hemos resuelto el problema. Hemos usado nuestra definición para hallar que la integral que se nos ha dado
converge a un valor de dos.
Hasta ahora, hemos visto ejemplos en los que la discontinuidad está en uno de los
límites de integración. ¿Pero qué pasa si está entre ellos?
¿Es la integral entre cero y cinco de 𝑥 partido entre 𝑥 al cuadrado menos 16 con
respecto a 𝑥 convergente? De ser así, ¿a qué valor converge?
En este ejemplo tenemos una integral impropia con un integrando discontinuo. Para resolver el problema debemos saber dónde ocurren estas discontinuidades y ver
qué relación tienen con los límites de integración. Como nuestro integrando está en forma de cociente, podemos hallar dónde ocurren sus
discontinuidades si sabemos dónde su denominador, 𝑥 al cuadrado menos 16, es igual
a cero. Resolvemos esta ecuación y hallamos que el denominador es igual a cero cuando 𝑥 es
igual a más o menos cuatro. Muy bien, veamos ahora qué relación tienen estos valores con los límites de
integración, cero y cinco. El primer valor, menos cuatro, no es igual a ninguno de los límites de integración,
ni se encuentra entre ellos. Sin embargo, el cuatro sí se encuentra entre los límites de integración. Para asegurarnos vamos a examinar nuestro integrando, que llamamos 𝑓 de 𝑥, para ver
el tipo de discontinuidad que creemos hay cuando 𝑥 es igual a cuatro. Calculamos 𝑓 de cuatro y obtenemos cuatro sobre cero, lo que significa que estamos
ante una discontinuidad infinita, frente a si hubiera sido cero sobre cero, lo que
podría implicar una discontinuidad evitable.
Como ves, hemos hecho caso omiso de la discontinuidad en 𝑥 igual a menos cuatro,
pues no interactúa con nuestros límites de integración. También hemos confirmado que el ejemplo nos ha dado una integral impropia con una
discontinuidad que ocurre entre los límites de integración, que es cuando 𝑥 es
igual a cuatro. La definición de integral impropia nos permite descomponer una integral con una
discontinuidad en 𝑐 en una suma de dos integrales más pequeñas. Vamos a aplicar esto a nuestro problema, en el que tenemos el integrando 𝑓 de 𝑥, el
límite inferior 𝑎, el límite superior 𝑏 y una discontinuidad en 𝑐. A partir de nuestra definición podemos decir que la integral original es igual a la
suma de dos integrales pequeñas, las cuales son adyacentes entre sí y a cada lado de
la discontinuidad en 𝑥 igual a cuatro. Deducimos esto a partir del hecho de que la discontinuidad ocurre en el límite
superior de la primera integral y en el límite inferior de la segunda integral.
Pero debemos insistir en que esta afirmación es cierta y la integral original es
convergente si y solo si las dos integrales pequeñas son convergentes. Así que vamos a comprobar la convergencia de las dos integrales pequeñas. No obstante, antes de hacerlo, vamos a hacer un cambio de variable en 𝑢 para
resolver estas dos integrales. Así que lo primero es hacer esto. El cambio de variable que vamos a hacer es 𝑢 igual a 𝑥 al cuadrado menos 16. Derivamos con respecto a 𝑥 y obtenemos que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a dos 𝑥. Una afirmación equivalente de esto es decir que d𝑢 es igual a dos 𝑥 d𝑥. Además, una ecuación más útil es un medio de d𝑢 igual a 𝑥 d𝑥.
Bueno. Y como estamos operando con integrales definidas, también debemos prestar atención a
los límites de integración. Cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑢 es igual a menos 16. Cuando 𝑥 es cuatro, 𝑢 es cero. Y cuando 𝑥 es cinco, 𝑢 es nueve. Vamos a hacer ahora las sustituciones, sustituyendo 𝑥 al cuadrado menos 16 por 𝑢,
𝑥 d𝑥 por un medio de d𝑢, y los límites de integración que acabamos de hallar. Una vez hemos realizado estas sustituciones, sacamos este factor de un medio fuera de
las integrales.
Bien. Ahora conviene que hagamos una breve pero importante anotación. Cuando operamos con una integral impropia que presenta una discontinuidad entre los
límites de integración, siempre se debe descomponer la integral en la discontinuidad
antes de realizar un cambio de variable. Esto se debe a que, realizar primero un cambio de variable puede eliminar la
discontinuidad, ocasionando problemas. Aunque no lo parezca, lo cierto es que puede traernos algunos problemas. Para continuar debemos comprobar si nuestras integrales son convergentes. Como vemos, las integrales presentan una discontinuidad en los límites superior e
inferior, respectivamente, antes del cambio de variable y después de este. Vamos a empezar por la integral que tiene una discontinuidad en el límite
superior.
La definición de integral impropia nos dice que hagamos lo siguiente para resolver
este problema. Aplicamos esto al primer término y obtenemos este resultado. Continuamos y usamos el hecho de que la antiderivada de uno sobre 𝑢 es el logaritmo
neperiano del valor absoluto de 𝑢. Vamos a borrar estas definiciones para hacer espacio. Introducimos los límites de integración. Vamos a tomar un atajo, pues, si tratamos de calcular este primer término,
obtendremos menos infinito. Como el otro término, que es el logaritmo neperiano del valor absoluto de menos 16,
es finito, deducimos que el límite original valdrá menos infinito. Esta es otra forma de expresar que el límite no existe. Y como el límite que define la primera de las integrales pequeñas no existe, es
divergente. Y, de hecho, esta divergencia se traslada todo el trayecto hasta la integral
original.
Recordemos que nuestra definición dice que la igualdad original que hemos usado es
válida solo si las dos integrales pequeñas que estamos sumando son ambas
convergentes. Como la primera integral que analizamos es divergente, no es necesario que
comprobemos la segunda para saber que la integral original también es
divergente. Sin necesidad de hacer más operaciones podemos decir que la integral que se nos ha
dado en el enunciado es divergente, y no convergente.
Para concluir vamos a repasar los puntos clave del vídeo. Una integral cuyo integrando presenta una discontinuidad infinita se llama
impropia. La definición de integral impropia nos da las herramientas para enfrentarnos a
discontinuidades en el límite superior, el límite inferior, y entre los límites de
integración. Por último, si el límite correspondiente que define una integral impropia existe y es
finito, decimos que esa integral es convergente. Y si el límite no existe, es divergente.
