Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo aplicar la derivada para hallar la ecuación de
la tangente a una curva en un punto dado. También vamos a discutir lo que significa normal a una curva en un punto determinado
y vamos a ver ejemplos de cómo hallar las ecuaciones de tangentes y normales a una
curva.
Recordemos primeramente que la tangente a una curva en un punto particular es una
recta que toca la curva en ese punto pero no la atraviesa. Recordemos también que la pendiente de la curva en un punto dado se define como igual
a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. Así que, deducimos que si podemos hallar la derivada de la función, d𝑦 sobre d𝑥,
podemos hallar la pendiente de la tangente a la curva — y, por lo tanto, la pendiente
de la curva en un punto dado — sustituyendo el valor de 𝑥 en ese punto en nuestra
función derivada, d𝑦 sobre d𝑥.
Además, recordamos que la ecuación general de una recta con pendiente 𝑚 que pasa a
través del punto 𝑥 uno, 𝑦 uno es 𝑦 menos 𝑦 uno igual a 𝑚𝑥 menos 𝑥 uno. Así que podemos usar la pendiente, la cual hemos calculado, y las coordenadas del
punto en el cual queremos hallar la tangente, para hallar la ecuación de la
tangente.
Veamos cómo funciona esto en el siguiente ejemplo.
Determina la ecuación de la tangente a la curva 𝑦 igual a cuatro 𝑥 al cubo menos
dos 𝑥 al cuadrado más cuatro en el punto menos uno, menos dos.
Nos han dado la ecuación de una curva. Y necesitamos determinar la ecuación de la recta que es tangente a esta curva en un
punto particular. Vamos a usar la fórmula general para la ecuación de la recta, 𝑦 menos 𝑦 uno igual a
𝑚 𝑥 menos 𝑥 uno. Ya conocemos las coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno. Es el punto menos uno, menos dos. Pero ¿qué pasa con 𝑚, la pendiente de esta recta? Bien, recordemos que la pendiente de una curva es igual a la pendiente de la tangente
a la curva en ese punto. Por tanto, para hallar la pendiente de esta tangente, primero tenemos que hallar la
función derivada de la curva, d𝑦 sobre d𝑥.
Podemos hacer esto aplicando la regla de la potencia, y obtenemos que d𝑦 sobre d𝑥
es igual a cuatro multiplicado por tres 𝑥 al cuadrado menos dos multiplicado por
dos 𝑥. Recuerda, una constante se deriva a cero. Más cuatro simplemente se deriva a cero en nuestra derivada, la cual se simplifica a
12𝑥 al cuadrado menos cuatro 𝑥. Esa es la función derivada de esta curva. Pero queremos saber la derivada en un punto particular. Para esto, debemos evaluar d𝑦 sobre d𝑥 en el punto de abscisa 𝑥 igual a menos uno
porque esa es nuestra coordenada 𝑥 en este punto. Esto da 12 multiplicado por menos uno al cuadrado menos cuatro multiplicado por menos
uno, lo que se simplifica a 16.
Sabemos que la pendiente de la tangente es 16 y conocemos las coordenadas de un punto
que atraviesa, que son menos uno, menos dos. Así que tenemos toda la información que necesitamos para usar la fórmula general de
la ecuación de una recta. Reemplazando los valores de 𝑚, 𝑥 uno, y 𝑦 uno y obtenemos 𝑦 menos menos dos igual
a 16 𝑥 menos menos uno. Esto es 𝑦 más dos igual a 16𝑥 más 16. Y después, restando dos de cada lado para reducir las constantes, nos da 𝑦 igual a
16𝑥 más 14. Esta es la ecuación de la tangente a la curva dada en el punto menos uno, menos
dos. Pasa a través del punto menos uno, menos dos y tiene la misma pendiente que la curva
en ese punto.
Veamos ahora un segundo ejemplo.
Halla el punto en la curva 𝑦 igual a menos 40𝑥 al cuadrado más 40 en el que la
tangente a la curva es paralela al eje 𝑥.
Pensemos en lo que significa que una recta sea paralela al eje 𝑥. El eje 𝑥 es una recta horizontal. Así que, si otra recta es paralela al eje 𝑥, también debe ser horizontal. ¿Y qué sabemos sobre la pendiente de una recta horizontal? Que vale cero. Sabemos, pues, que la pendiente de la tangente que estamos buscando debe ser igual a
cero. Además, recuerda que la pendiente de una tangente es igual a la pendiente de la curva
en ese punto. Así que sabemos que la pendiente de la curva en este punto debe ser igual a cero.
La pendiente de la curva es su función derivada, d𝑦 sobre d𝑥. Lo que vamos a hacer es hallar la función derivada, d𝑦 sobre d𝑥, derivando 𝑦 con
respecto a 𝑥 y después la vamos a igualar a cero. Podremos resolver la ecuación resultante para hallar la abscisa 𝑥 del punto en la
curva donde la pendiente es igual a cero. El primer paso es hallar d𝑦 sobre d𝑥, lo que podemos hacer aplicando la regla de la
potencia. Obtenemos menos 40 multiplicado por dos 𝑥, que es menos 80𝑥. Y recuerda, la derivada de una constante es cero. Por tanto, nuestra función derivada, d𝑦 sobre d𝑥, es simplemente menos 80𝑥.
Después, igualamos d𝑦 sobre d𝑥 a cero y resolvemos la ecuación resultante. Tenemos menos 80𝑥 igual a cero. Y al dividir ambos lados de esta ecuación por menos 80, hallamos que 𝑥 es igual a
cero. Hemos hallado, pues, que la abscisa 𝑥 del punto en esta curva en la cual la tangente
es paralela al eje 𝑥 es cero. También necesitamos hallar la coordenada 𝑦, lo que podemos hacer sustituyendo 𝑥
igual a cero en la ecuación de la curva. Cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑦 es igual a menos 40 multiplicado por cero al cuadrado
más 40, que es igual a 40. Hemos hallado, pues, que el punto en esta curva en la que la tangente a la curva es
paralela al eje 𝑥 es el punto con coordenadas cero, 40.
También podríamos haber hecho esto fijándonos en cómo se ve realmente la gráfica de
𝑦 igual a menos 40𝑥 al cuadrado más 40. Es una parábola invertida, ya que el coeficiente de 𝑥 al cuadrado es menos 40, y
tiene una intersección con el eje 𝑦 de más 40. Podemos ver en nuestro boceto que esta función tiene un punto crítico en el punto con
coordenadas cero, 40. De hecho, se trata de un máximo local. En los puntos críticos de una función, la pendiente de la curva y de la tangente es
igual a cero. Y así, vemos que en el punto cero, 40, el punto crítico de esta curva, la tangente es
paralela al eje de las 𝑥.
Veamos otro ejemplo.
La recta 𝑥 menos 𝑦 menos tres igual a cero toca la curva 𝑦 igual a 𝑎𝑥 al cubo
más 𝑏𝑥 al cuadrado en uno, menos uno. Halla 𝑎 y 𝑏.
La información clave dada en esta pregunta es que la recta y la curva se tocan en
este punto con coordenadas uno, menos dos. Pero la recta no atraviesa la curva, lo que significa que la recta 𝑥 menos 𝑦 menos
tres igual a cero es una tangente en este punto a la curva dada. Sabemos que la pendiente de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la
curva en ese punto. La ecuación de nuestra recta es 𝑥 menos 𝑦 menos tres igual a cero. Y reorganizándola, vemos que esto es equivalente a 𝑦 igual a 𝑥 menos tres. Comparando con 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐 — que es la forma general de la ecuación de una
recta en la forma de pendiente ordenada en el origen — vemos que la pendiente de
nuestra tangente es uno. ¿Podemos hallar una expresión para la pendiente de la curva? Podemos hacer esto por derivación. Al aplicar la regla de la potencia, vemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a tres 𝑎𝑥 al
cuadrado más dos 𝑏𝑥.
Después evaluamos esta función derivada en el punto uno, menos dos. Sustituimos 𝑥 igual a uno en la derivada, obteniendo tres 𝑎 más dos 𝑏. Y podemos igualar la pendiente de la curva en este punto con la pendiente de la
tangente a la curva en este punto. Y esto nos da una ecuación que incluye 𝑎 y 𝑏: tres 𝑎 más dos 𝑏 es igual a
uno. No podemos resolver esta ecuación porque solo tenemos una ecuación pero dos
incógnitas. Así que necesitamos hallar una segunda ecuación.
El punto uno, menos dos se halla tanto en la curva como en la tangente. De modo que si reemplazamos los valores de uno y menos dos en la ecuación de la
curva, obtendremos una segunda ecuación conectando 𝑎 y 𝑏. Obtenemos que 𝑎 multiplicado por uno al cubo más 𝑏 multiplicado por uno al cuadrado
es igual a menos dos, que se simplifica a 𝑎 más 𝑏 igual a menos dos. Tenemos dos ecuaciones lineales en 𝑎 y 𝑏, las cuales deben ser resueltas
simultáneamente. Podemos multiplicar la ecuación dos por dos, ya que esto hará el coeficiente de 𝑏
igual al de la ecuación uno.
Luego restaremos la segunda ecuación de la primera para eliminar los términos en 𝑏,
obteniendo 𝑎 igual a cinco. Sustituyendo este valor de 𝑎 en nuestra segunda ecuación, que es 𝑎 más 𝑏 igual a
menos dos, nos da cinco más 𝑏 igual a menos dos. Y, al restar cinco, vemos que 𝑏 es igual a menos siete. Y hemos obtenido los valores de 𝑎 y 𝑏. 𝑎 es igual a cinco y 𝑏 es igual a menos siete.
El punto clave que hemos usado en esta pregunta es que la pendiente a la curva es
igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.
Veamos otro ejemplo.
Halla la ecuación de la tangente a la curva 𝑦 igual a 𝑥 al cubo más nueve 𝑥 al
cuadrado más 26𝑥 que hace un ángulo de 135 grados con el semieje positivo de las
𝑥.
En esta cuestión nos piden hallar la ecuación de una tangente a una curva en
particular, que sabemos que podemos hallar usando la derivada y la ecuación general
de la recta. Pero ¿qué significa que esta tangente forma un ángulo de 135 grados con el semieje
positivo de las 𝑥? Veamos el boceto. Se verá algo así. La tangente se muestra de color rosado. Y podemos ver que, en la intersección con el eje de las 𝑥, el ángulo entre el eje de
las 𝑥 y la tangente es de 135 grados.
Para aplicar la fórmula general de la ecuación de una recta, 𝑦 menos 𝑦 uno igual a
𝑚 𝑥 menos 𝑥 uno, necesitamos conocer la pendiente 𝑚 de nuestra recta y las
coordenadas de un punto 𝑥 uno, 𝑦 uno, que se encuentre en la recta. Saber que nuestra tangente forma un ángulo de 135 grados con el eje positivo de las
𝑥, ¿cómo nos ayuda a determinar algo de esto? Bien, el ángulo al otro lado de la recta mide 45 grados porque sabemos que los
ángulos en una recta suman 180 grados. Podemos esbozar un triángulo rectángulo debajo de esta recta y recordar que la
pendiente de una recta es cambio en 𝑦 sobre cambio en 𝑥. Esa es la altura vertical de este triángulo dividido por la distancia horizontal. Pero en este triángulo rectángulo, estos lados son el opuesto y el adyacente en
relación con el ángulo de 45 grados. Así que estamos dividiendo la longitud del lado opuesto por la longitud del lado
adyacente.
Pero como la recta está inclinada hacia abajo, el cambio vertical tiene un signo
opuesto al cambio horizontal. La pendiente es igual a menos el opuesto sobre el adyacente. El opuesto dividido por el adyacente viene dado por la razón tangente. Por lo tanto, esto es igual a menos tan de 45 grados. Y tan de 45 grados es simplemente uno. Al considerar este triángulo rectángulo, hallamos que la pendiente de esta recta es
negativa. Y hemos hallado la pendiente de nuestra tangente. Pero aún no conocemos las coordenadas del punto en la curva por donde pasa esta
tangente. Para hallarlo, necesitamos saber el punto en la curva donde la pendiente es igual a
menos uno.
Comenzamos por derivar la ecuación de la curva con respecto a 𝑥 y, aplicando la
regla de la potencia, hallamos d𝑦 sobre d𝑥 igual a tres 𝑥 al cuadrado más 18𝑥
más 26. Igualamos esta expresión a menos uno para hallar la coordenada 𝑥 del punto en la
curva en el que la pendiente es menos uno. Esto se simplifica a tres 𝑥 al cuadrado más 18𝑥 más 27 igual a cero. Y después, dividiendo por tres obtenemos 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más nueve igual a
cero. Y nos podemos dar cuenta de que esto es un cuadrado perfecto. Podemos escribirlo como 𝑥 más tres todo al cuadrado. Esta ecuación significa que 𝑥 más tres debe ser igual a cero. Por tanto, 𝑥 es igual a menos tres.
A continuación, necesitamos hallar el valor de 𝑦 cuando 𝑥 es igual a menos tres, lo
que hacemos sustituyendo menos tres en la ecuación de la curva. Y esto nos da menos 24. Sabemos que esta tangente tiene una pendiente de menos uno en el punto menos tres,
menos 24. Todo lo que nos queda por hacer es sustituir en la ecuación general de la recta. Obtenemos 𝑦 menos menos 24 igual a menos uno multiplicado por 𝑥 menos menos
tres. Esto se simplifica a 𝑦 más 𝑥 más 27 igual a cero.
Los pasos clave en esta pregunta han sido un razonamiento trigonométrico para
identificar que si una recta forma un ángulo de 135 grados con el eje positivo de
las 𝑥. Su pendiente es igual a menos tan 45 grados, que es igual a menos uno. Luego usamos la función derivada de la curva para identificar el valor 𝑥 en el que
el gradiente es igual a menos uno. Hallamos el valor de 𝑦 sustituyéndolo en la ecuación de la curva y, finalmente,
utilizamos la ecuación general de una recta 𝑦 menos 𝑦 uno igual a 𝑚 𝑥 menos 𝑥
uno para hallar la ecuación de esta tangente.
Finalmente, en este video, vamos a discutir el significado de normal a la curva. Y vamos a hacer esto en el contexto de un ejemplo.
Haz una lista de las ecuaciones de las normales a 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado más dos
𝑥 en los puntos donde la curva interseca la recta 𝑦 menos cuatro 𝑥 igual a
cero.
¿A qué se refiere el término «normal» en este contexto? En primer lugar, recordemos que la tangente a una curva tiene el mismo gradiente que
la curva en ese punto. La normal, sin embargo, pasa por ese mismo punto, pero es perpendicular a la tangente
en ese punto. Podemos usar propiedades de las rectas perpendiculares para deducir la relación que
existe entre la pendiente de la tangente y la pendiente de la normal a una curva en
un punto dado. El producto de las pendientes es igual a menos uno, o lo que es equivalente, una
pendiente es menos el recíproco de la otra.
Debemos asegurarnos de tener claro si nos han pedido que encontremos la ecuación de
una recta tangente o de una recta normal cuando respondemos preguntas como esta. Ahora que sabemos qué son las rectas normales, veamos cómo podemos responder esta
pregunta. Se nos ha pedido que enumeremos las ecuaciones de las normales a una curva dada en
los puntos donde esta curva interseca otra recta. Así que nuestro primer paso será hallar estos puntos de intersección.
Podemos reordenar la ecuación de la recta para obtener 𝑦 igual a cuatro 𝑥 y luego
igualar las dos expresiones para 𝑦 para así obtener una ecuación solo en 𝑥. Podemos restar cuatro 𝑥 de cada lado y luego factorizar la cuadrática resultante
para obtener 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos dos igual a cero. Las dos raíces de esta ecuación son 𝑥 igual a cero y 𝑥 igual a dos. Hemos obtenido, pues, las coordenadas 𝑥 de nuestros puntos de intersección. Para hallar las coordenadas 𝑦 correspondientes, sustituimos cada valor 𝑥 nuevamente
en la ecuación de la curva para obtener 𝑦 igual a cero cuando 𝑥 es igual a cero y
𝑦 igual a ocho cuando 𝑥 es igual a dos.
Y ahora tenemos los dos puntos de intersección. Por lo tanto, conocemos las coordenadas de los puntos por los que pasa cada recta
normal. Pero necesitamos determinar la pendiente de cada normal. Para ello podemos hallar la pendiente de cada tangente derivando 𝑦 con respecto a
𝑥, obteniendo d𝑦 sobre d𝑥 igual a dos 𝑥 más dos. Cuando 𝑥 es igual a cero, la pendiente es dos. Y cuando 𝑥 es igual a dos, la pendiente es seis. Pero recuerda que esta es la pendiente de la tangente, no la pendiente de la
normal. Para hallar la pendiente de cada normal, necesitamos hallar menos el recíproco de la
pendiente de cada tangente. Así que la pendiente de nuestra primera normal es menos un medio y la pendiente de
nuestra segunda normal es menos un sexto.
Finalmente, podemos aplicar la fórmula general para la ecuación de una recta. Para la primera normal, que tiene una pendiente de menos un medio y que pasa por el
punto cero, cero, obtenemos la ecuación dos 𝑦 más 𝑥 igual a cero. Y para la segunda normal, que tiene una pendiente de menos un sexto y que pasa por el
punto dos, ocho, obtenemos la ecuación seis 𝑦 más 𝑥 menos 50 igual a cero. Hemos hallado, pues, las ecuaciones de las dos rectas normales. Debemos tener mucho cuidado con preguntas como esta. Recuerda que la pendiente de la normal no es lo mismo que la pendiente de la
tangente. Es igual a menos el recíproco de la pendiente de la tangente porque las dos rectas
son perpendiculares entre sí.
Resumamos lo que hemos visto en este video. En primer lugar, recordamos que la pendiente de una curva es igual a la pendiente de
la tangente a la curva en ese punto. Por tanto, derivando y luego sustituyendo el valor 𝑥 en ese punto, podemos hallar la
pendiente de la tangente a una curva en cualquier punto dado. Luego podemos sustituir la pendiente y las coordenadas del punto en la ecuación
general de una recta, 𝑦 menos 𝑦 uno igual a 𝑚𝑥 menos 𝑥 uno, para hallar la
ecuación de la tangente a la curva en ese punto.
También vimos que la recta normal a una curva es perpendicular a la recta tangente a
la curva en ese punto. Y, por lo tanto, el producto de sus pendientes es igual a menos uno. Podemos aplicar esta información esencial para hallar las ecuaciones de tangentes y
normales a una variedad de curvas diferentes.
