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Vídeo de la lección: Relaciones proporcionales y no proporcionales Matemáticas • Séptimo grado

En este video, vamos a aprender cómo reconocer si dos cantidades que varían son proporcionales, cómo hallar valores en una relación proporcional y cómo identificar la proporcionalidad en situaciones reales.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender qué es una proporción, cómo son las relaciones proporcionales y las no proporcionales, y cómo identificar la proporcionalidad en situaciones reales.

Comencemos recordando un concepto estrechamente relacionado, la razón. Imaginemos que tenemos una receta para una ensalada de frutas para dos personas, se necesitan dos manzanas y cuatro naranjas. Entonces podemos escribir que la razón de manzanas a naranjas es de dos a cuatro. Imaginemos que queremos hacer la ensalada de frutas para cuatro personas. Necesitamos simplemente duplicar las cantidades. Necesitaríamos cuatro manzanas y ocho naranjas. En este caso, nuestra razón será de cuatro a ocho. Podemos decir que la razón es la relación entre las partes.

Informalmente, podemos decir que una proporción es una relación entre una parte y un todo. Así que, si queremos hallar la proporción de manzanas con respecto al total de fruta, en este primer escenario, esta sería dos sobre seis. Y en nuestro segundo escenario, la proporción de manzanas sería cuatro sobre 12. Podemos decir en nuestra situación que las manzanas y las naranjas están en cantidades proporcionales. Si tenemos dos cantidades 𝐴 y 𝐵, decimos que son proporcionales cuando de una situación a otra ambas cantidades han de ser multiplicadas o divididas por el mismo número. En nuestra ensalada de frutas, hemos visto que para pasar de hacerla para dos personas a hacerla para cuatro personas, multiplicamos todas nuestras cantidades por dos.

También podemos pensar en nuestra relación de proporción en términos de razones. Si tenemos las cantidades 𝐴 y 𝐵 como 𝐴 sub uno y 𝐵 sub uno en una situación y 𝐴 sub dos y 𝐵 sub dos en otra situación, podemos decir que 𝐴 sub uno es a 𝐵 sub uno como 𝐴 sub dos es a 𝐵 sub dos. En nuestra situación, tenemos una relación de manzanas a naranjas de dos a cuatro. Y eso es igual a la razón de cuatro a ocho. Podemos decir esto porque cuatro a ocho se simplifica a la razón dos a cuatro, o que ambos se simplificarían a la razón uno a dos.

Además, podemos escribir esta relación proporcional en la forma 𝐴 sub uno sobre 𝐵 sub uno es igual a 𝐴 sub dos sobre 𝐵 sub dos. Y, finalmente, consideremos la proporcionalidad gráficamente. Si graficamos 𝐴 versus 𝐵, obtendremos una recta que pasa por el origen. Y, cuando hablamos de proporcionalidad, también debemos considerar la palabra «tasa». Una tasa sirve para comparar cantidades de diferente naturaleza que se hayan en proporción, por ejemplo, el precio de varios artículos y su cantidad. En una situación en la que pagamos 40 dólares por ocho libros, la tasa podría escribirse como 40 sobre ocho o cinco sobre uno, que es esencialmente cinco dólares por libro.

Y también debemos estar familiarizados con el término «tasa unitaria», que es una tasa con uno como denominador. Veamos algunos ejemplos de relaciones proporcionales y no proporcionales.

Un ascensor asciende o se mueve hacia arriba a 750 pies por minuto. ¿Es la altura a la cual el ascensor asciende proporcional al número de minutos que tarda en llegar allí?

Comencemos esta cuestión señalando que nos han dado una velocidad de 750 pies por minuto. Podríamos escribir esto como una fracción de 750 sobre uno. Echemos un vistazo a la altura a la que ascenderá el ascensor para algunos valores diferentes de la cantidad de minutos. En un minuto, sabemos que ascenderá 750 pies. En dos minutos, tendríamos dos lotes de 750 pies, es decir, 1500 pies. En tres minutos, tendríamos tres lotes de 750 pies, que son 2250 pies.

En esta cuestión, nos preguntan si la altura es proporcional al número de minutos, así que recordemos lo que significa ser proporcional. Podemos decir que dos cantidades 𝐴 y 𝐵 son proporcionales cuando, de una situación a otra, ambas cantidades se han multiplicado o dividido por el mismo número. En nuestra primera situación, tuvimos 750 sobre uno. Eso es 750 pies en un minuto. A los dos minutos, tuvimos la fracción 1500 sobre dos. Eso es 1500 pies en dos minutos. Y a los tres minutos, tuvimos 2250 pies en tres minutos.

Nos damos cuenta de que pasamos de nuestra primera a nuestra segunda fracción multiplicando el numerador y el denominador por dos. Podemos pasar de un minuto a tres minutos multiplicando por tres tanto el numerador como el denominador de nuestra primera fracción, 750 sobre uno, por tres. Por lo tanto, podemos decir que nuestras fracciones son iguales. Así que, debemos tener una relación proporcional. Y nuestra respuesta a la pregunta ¿es la altura proporcional al número de minutos? es sí.

Una pizzería vende pizzas medianas por siete dólares más un recargo de tres dólares por orden para entrega a domicilio. ¿Es el costo de una orden proporcional al número de pizzas encargadas?

En esta cuestión, vamos a ver diferentes situaciones para el costo de la pizza y sus recargos. Y vamos a verificar nuestra respuesta usando una gráfica. Empecemos por el costo de una orden de diferentes cantidades de pizza. Hasta ahora sabemos que el costo de una pizza mediana es de siete dólares y tenemos tres dólares adicionales por entrega a domicilio. Así que el costo total de nuestro encargo será 10 dólares. Para dos pizzas, tenemos dos por siete dólares. Y sumando el recargo de tres dólares obtenemos un total de 17 dólares. Para tres pizzas, tres por siete dólares, que es 21. Más el recargo por entrega a domicilio son 24 dólares en total.

En esta cuestión nos preguntan si el costo de la orden es proporcional al número de pizzas pedidas. Podemos recordar que, dos cantidades 𝐴 y 𝐵 son proporcionales si, de una situación a otra, ambas cantidades se han multiplicado por el mismo número. También podríamos expresar esto como 𝐴 sub uno sobre 𝐵 sub uno igual a 𝐴 sub dos sobre 𝐵 sub dos, donde 𝐴 sub uno y 𝐵 sub uno son las cantidades de 𝐴 y 𝐵 en una situación y 𝐴 sub dos y 𝐵 sub dos son las cantidades de 𝐴 y 𝐵 en la otra situación.

Tomando como referencia nuestra situación con una pizza, podemos decir que el costo por pizza es de 10 sobre uno, lo que equivale a 10 dólares por pizza. En nuestra segunda situación, el costo por pizza sería de 17 dólares sobre dos, que es de ocho dólares 50 por pizza. En nuestra tercera situación, tendríamos 24 dólares por el pedido dividido por tres pizzas, por lo que son ocho dólares por pizza. Para tener una relación proporcional, necesitamos verificar si nuestras fracciones 10 sobre uno, 17 sobre dos y 24 sobre tres son iguales. Y no, no son iguales. Por lo tanto, podemos decir que el costo del pedido y el número de pizzas no son cantidades proporcionales.

Veamos cómo hacer una verificación usando una gráfica. Podemos graficar el número de pizzas frente al costo del encargo. Usando los valores que hemos calculado anteriormente, que el costo total de una pizza es 10 dólares, el de dos pizzas 17 dólares y el de tres pizzas 24 dólares, podemos graficar estos valores y dibujar una recta a través de ellos. Y obtenemos una recta que no pasa por el origen. Esto indica de nuevo una relación no proporcional.

De hecho, si observamos el punto en el que corta el eje de las 𝑦, vemos que estaría en la coordenada cero, tres, que representa la situación un tanto desafortunada de pedir cero pizzas y aún pagar tres dólares por la entrega. Si tuviésemos una gráfica de dos cantidades proporcionales, tendríamos la gráfica de una recta que pasa por el origen. Como no tenemos esto aquí, se confirma nuestra respuesta original de que el costo de un pedido y la cantidad de pizzas ordenadas no son cantidades proporcionales.

En el siguiente ejemplo, vamos a ver más de cerca la gráfica de una relación proporcional con la que entenderemos mejor los diferentes aspectos de la misma.

Ana trabaja como niñera. La relación proporcional entre la cantidad de horas que trabaja y la cantidad total de dinero que gana se muestra en la gráfica. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es cierta? Opción A) el punto 𝑄 muestra que Ana ganaría 60 dólares si trabajara cuatro horas. Opción B) la tasa unitaria de esta relación proporcional es de 15 dólares por hora. Opción C) cada punto de coordenadas 𝑥, 𝑦 en esta gráfica representa que Ana ganaría 𝑦 dólares si trabajara 𝑥 horas. Opción D) si Ana trabajara 10 horas, ganaría 150 dólares. Opción E) si Ana trabajara cuatro horas, ganaría 15 dólares.

Aquí tenemos la gráfica de una relación proporcional entre la cantidad de horas que trabaja Ana y la cantidad total de dinero que gana. Podemos confirmar que es una relación proporcional porque la gráfica es una línea recta que pasa por el origen. El punto cero, cero sería la situación en la que Ana trabaja cero horas y gana cero dólares. Echemos un vistazo a las afirmaciones y decidamos si son verdaderas o falsas.

Comencemos con A, el punto 𝑄 muestra que Ana ganaría 60 dólares si trabajara cuatro horas. Si miramos al cuatro en nuestro eje 𝑥, que indica las horas trabajadas, vemos que el punto 𝑄 tiene este número como coordenada 𝑥. Y, de hecho, la coordenada 𝑦 sería 60, lo que indica 60 dólares. En esta situación Ana trabajaría cuatro horas y ganaría 60 dólares. Este es el punto 𝑄 y, por lo tanto, la afirmación A es verdadera.

En la opción B, tenemos el término tasa unitaria. Podemos recordar que una tasa unitaria es una proporción con diferentes cantidades que tiene un denominador de uno. En nuestro caso, nuestra proporción son los dólares, o el dinero ganado, durante un determinado número de horas. Para hallar la tasa unitaria, necesitamos hallar los dólares ganados en una hora. Usando la gráfica para ayudarnos, si nos fijamos en una hora en el eje 𝑥, este será el punto uno, 15, que es equivalente a que Ana gane 15 dólares en una hora. Así que nuestra afirmación B es cierta. Ana gana 15 dólares por hora.

Continuamos con la C, cada punto de coordenadas 𝑥, 𝑦 en esta gráfica muestra que Ana ganaría 𝑦 dólares si trabajara 𝑥 horas. Veamos la coordenada cero, cero. Que representa que Ana trabaja cero horas y obtiene cero dólares. En el punto uno, 15, trabaja una hora y le pagan 15 dólares. De igual modo, la coordenada dos, 30 significa que trabaja dos horas y le pagan 30 dólares. Y la coordenada tres, 45 significa que Ana trabaja tres horas y le pagan 45 dólares. Es decir que cada par de coordenadas 𝑥, 𝑦 en la gráfica significa que ella trabaja 𝑥 horas y le pagan 𝑦 dólares, que es la afirmación C. Por lo tanto, también es cierta.

En D, si Ana trabajara 10 horas, ganaría 150 dólares. Veamos si podemos usar la gráfica. Si buscamos sobre nuestro eje 𝑥 el punto donde el número de horas es igual a 10, vemos que la recta no pasa por ese punto. Pero podemos usar otra información para calcular el valor. Y es que Ana gana 15 dólares por hora. Podemos hacer esto escribiendo la afirmación de que 15 sobre uno es igual a ¿qué? sobre 10.

Escribimos esto porque sabemos que si las cantidades 𝐴 y 𝐵 están en proporción, entonces 𝐴 sub uno sobre 𝐵 sub uno es igual a 𝐴 sub dos sobre 𝐵 sub dos, donde 𝐴 sub uno y 𝐵 sub uno son las cantidades de 𝐴 y 𝐵 en una situación y 𝐴 sub dos y 𝐵 sub dos son las cantidades de 𝐴 y 𝐵 en una situación diferente. Volviendo a nuestro cálculo, si tomamos el denominador en nuestra fracción 15 sobre uno y lo multiplicamos por 10, esto nos daría 10. Así que, también tenemos que multiplicar nuestro numerador por 10, lo que da 150 sobre 10. En 10 horas, Ana ganaría 150 dólares. Por lo tanto, nuestra afirmación D es verdadera.

En nuestra última afirmación, E, si Ana trabaja cuatro horas, gana 15 dólares. Si ubicamos las cuatro horas en nuestro eje 𝑥, identificamos que esto sería en el punto cuatro, 60 en la recta. Esto significa que, trabajando cuatro horas, Ana gana 60 dólares. También podríamos considerar que si Ana ha ganado 15 dólares, habrá hecho una hora de trabajo. Utilizando cualquiera de estos enfoques, podemos decir que esta afirmación de que, si Ana trabaja cuatro horas, gana 15 dólares, definitivamente no es cierta. Por consiguiente, la opción E es la afirmación que no es cierta.

En la siguiente pregunta, vamos a investigar la proporción o no proporción en una figura geométrica y su área.

¿La longitud de un lado de la figura dada es proporcional a su área?

Comencemos observando la figura en esta cuestión. Podemos ver que hay cuatro ángulos rectos y dos lados marcados con la misma longitud. Por tanto, se trata de un cuadrado. Nos preguntan si la longitud de un lado es proporcional al área. Recordemos cómo calcular el área de un cuadrado. El área de un cuadrado es igual a la longitud del lado por la longitud del lado, o la longitud del lado al cuadrado. Es decir, el área de nuestro cuadrado es 𝑆 al cuadrado.

Recordemos lo que significa proporcional. Si tenemos dos cantidades 𝐴 y 𝐵 que son proporcionales, eso significa que, de una situación a otra, ambas cantidades se han multiplicado por el mismo número. Sabemos que, en una situación, el área de nuestro cuadrado es igual a 𝑆 al cuadrado. Imaginemos otra situación en la que doblamos la longitud de nuestros lados. En este caso, el área de nuestro segundo cuadrado, o el cuadrado dos, sería igual a dos 𝑆 veces dos 𝑆, que es cuatro 𝑆 al cuadrado. Notamos que el área de nuestro primer cuadrado, que llamaremos cuadrado uno, era igual a 𝑆 al cuadrado. El área del cuadrado dos es igual a cuatro veces el área del cuadrado uno.

Imaginemos otra situación en la que multiplicamos la longitud de nuestro cuadrado por tres. Entonces, en este caso, el área del cuadrado tres sería igual a tres 𝑆 por tres 𝑆, que es nueve 𝑆 al cuadrado. Y dado que nuestro primer cuadrado era igual a 𝑆 al cuadrado, el área del cuadrado tres es igual a nueve por el área del cuadrado uno. Si expresamos estos valores como fracciones de la longitud sobre el área, en la primera situación tenemos la longitud 𝑆 sobre 𝑆 al cuadrado. Después duplicamos las longitudes, por lo que la fracción será dos 𝑆 sobre el área de cuatro 𝑆 al cuadrado. Y en nuestra situación final, tenemos tres 𝑆 para la longitud dividido por el área de nueve 𝑆 al cuadrado.

Estas dos cantidades serían proporcionales si pudiéramos decir que se multiplican por el mismo número. Sin embargo, al pasar de la primera fracción a la segunda fracción el numerador se multiplicó por dos y el denominador se multiplicó por cuatro. También podemos ver que, desde la primera fracción hasta la tercera fracción, multiplicamos el numerador por tres y el denominador por nueve, lo que significa que no se han multiplicado por el mismo número. Como resultado, la respuesta a la pregunta ¿es la longitud de un lado de esta figura proporcional a su área? es no.

Para resumir los puntos más importantes de este video, diremos que las cantidades 𝐴 y 𝐵 son proporcionales cuando, de una situación a otra, son multiplicadas o divididas por el mismo número. La gráfica de una relación proporcional es una recta que pasa por el origen. Y finalmente, las relaciones no proporcionales no tienen cantidades que son multiplicadas por el mismo número. Si cantidades no proporcionales tienen una relación lineal cuya gráfica es una recta, entonces estas rectas no pasan por el origen.

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