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Vídeo de la lección: Resolución de ecuaciones trigonométricas recíprocas Matemáticas • Décimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver ecuaciones trigonométricas con secantes, cosecantes y cotangentes en diferentes intervalos, en grados y radianes.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver ecuaciones trigonométricas con secantes, cosecantes y cotangentes en diferentes intervalos. Las ecuaciones trigonométricas recíprocas tienen varias aplicaciones en el mundo real en campos como la física, la ingeniería, la arquitectura, la robótica y la navegación. En física se pueden usar en el movimiento de proyectiles, para analizar corrientes y para hallar la trayectoria de un cuerpo sujeto a la fuerza de la gravedad de otro cuerpo.

Empecemos repasando las funciones trigonométricas cuyas funciones recíprocas vamos a explorar en este vídeo. Si nos fijamos en el triángulo rectángulo dibujamos, recordaremos que el seno del ángulo 𝜃 es igual al cateto opuesto partido por la hipotenusa. El coseno del ángulo 𝜃 es igual al cateto contiguo partido por la hipotenusa. Y la tangente del ángulo 𝜃 es igual al cateto opuesto partido por el cateto contiguo. Esto también nos lleva a la identidad trigonométrica tan 𝜃 igual a seno de 𝜃 partido por coseno de 𝜃. Observamos que estas razones están definidas para ángulos agudos entre cero y 90 grados.

Para definir estas funciones para todos los valores de 𝜃, tenemos que considerar la circunferencia unitaria, también llamada circunferencia goniométrica. Supongamos que un punto se mueve a lo largo de la circunferencia unitaria en el sentido de las agujas del reloj. En cualquier punto con coordenadas 𝑥, 𝑦 con ángulo 𝜃 en la circunferencia unitaria, sabemos que 𝑥 es igual a cos 𝜃 y que 𝑦 es igual a seno 𝜃. Sabemos que estas funciones trigonométricas son periódicas, de modo que el seno de 360 grados más 𝜃 es igual al seno de 𝜃. Asimismo, el coseno de 360 grados más 𝜃 es igual al coseno de 𝜃. La periodicidad de la función tangente nos dice que tangente de 180 grados más 𝜃 es igual a tangente de 𝜃.

También sabemos, por la simetría de las gráficas del seno y del coseno, que el seno de 180 grados menos 𝜃 es igual a seno de 𝜃 y que el coseno de 360 grados menos 𝜃 es igual al coseno de 𝜃. A veces conviene usar un diagrama de CAST, el cual muestra. Este diagrama de CAST (Cos, All (del inglés Todas), Sin, Tan) nos ayuda a recordar los signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante. En el primer cuadrante, todas las funciones son positivas. En el segundo cuadrante, la función seno es positiva, mientras que las funciones coseno y tangente son negativas. En el tercer cuadrante, solo la función tangente es positiva. Y, por último, en el cuarto cuadrante, la función coseno es positiva, mientras que las funciones seno y tangente son negativas.

Veamos ahora cómo se relacionan estas funciones con las funciones trigonométricas recíprocas. La cosecante del ángulo 𝜃 es igual a uno partido por el seno del ángulo 𝜃. Es el recíproco de la función seno. La secante del ángulo 𝜃 es igual a uno partido por el coseno del ángulo 𝜃. Y, por último, la cotangente del ángulo 𝜃 es igual a uno partido por la tangente del ángulo 𝜃. La definición de esta última función, junto con el hecho de que tan 𝜃 es igual a seno de 𝜃 partido por coseno de 𝜃, nos lleva a que cotangente de 𝜃 es igual a coseno de 𝜃 partido por seno de 𝜃. Ahora vamos a hacer uso de estas funciones recíprocas junto con nuestro diagrama de CAST para resolver ecuaciones trigonométricas en intervalos dados.

Halla el conjunto de valores que satisfacen la ecuación raíz cuadrada de tres cotangente de 𝜃 igual a uno, sabiendo que 𝜃 es mayor que cero y menor que 360 grados.

Podemos resolver este problema usando lo que sabemos sobre las funciones trigonométricas recíprocas. Recordemos que la cotangente del ángulo 𝜃 es igual a uno partido por la tangente de 𝜃. Reorganizamos la ecuación que se nos ha dado dividiendo primero ambos lados por la raíz cuadrada de tres. La cotangente de 𝜃 es, por lo tanto, igual a uno partido por raíz de tres. Como tan 𝜃 es la recíproca de esto, la tangente de 𝜃 es igual a raíz de tres. Para hallar el ángulo de referencia vamos a usar lo que sabemos sobre los ángulos notables. Sabemos que la tangente de 60 grados es igual a la raíz cuadrada de tres. Esto significa que una solución de la ecuación tan 𝜃 igual a raíz de tres es 𝜃 igual a 60 grados. Se nos pide que hallemos todas las soluciones entre cero y 360 grados. Para hacerlo vamos a dibujar un diagrama CAST.

Como la tangente del ángulo 𝜃 es positiva, habrá soluciones en el primer y tercer cuadrante. Ya hemos hallado que la solución en el primer cuadrante es igual a 60 grados. Usando la periodicidad de la función tangente, sabemos que la tangente de 180 grados más 𝜃 es igual a la tangente del ángulo 𝜃. Por lo tanto, nuestra segunda solución puede calcularse sumando 60 grados a 180 grados. Esto equivale a 240 grados. Cualquier otra solución que hallemos sumando o restando múltiplos de 180 grados estará fuera del intervalo requerido. Por lo tanto, el conjunto de soluciones es 60 grados y 240 grados.

En la siguiente cuestión nos dan el intervalo en radianes.

Halla el valor de 𝜃 que satisface la ecuación cosecante de 𝜃 menos raíz de dos igual a cero, donde 𝜃 se encuentra en el intervalo abierto de cero a 𝜋 medios.

Recordemos que la cosecante del ángulo 𝜃 es la función recíproca de seno de 𝜃. Para resolver la ecuación que se nos ha dado, sumamos la raíz cuadrada de dos en ambos lados. Y obtenemos que la cosecante de 𝜃 es igual a la raíz cuadrada de dos. El seno del ángulo 𝜃 es, por lo tanto, igual a uno partido por raíz de dos. Usando lo que sabemos sobre los ángulos notables, debemos ser capaces de hallar inmediatamente que el seno de 45 grados es igual a uno partido por raíz de dos o raíz de dos partido por dos.

¡Ojo!: aquí hay que tener en cuenta que el intervalo se nos dio en radianes. Sabemos que 𝜋 radianes es igual a 180 grados. Esto significa que solo nos interesan las soluciones entre cero y 90 grados. Por lo tanto, el valor de 𝜃 que satisface la ecuación cosecante de 𝜃 menos raíz de dos igual a cero entre cero y 90 grados es 45 grados.

En la siguiente cuestión vamos a resolver una ecuación trigonométrica cambiando el intervalo en el que existen soluciones.

Halla el conjunto de los valores de 𝜃 que satisfacen la ecuación raíz cuadrada de tres multiplicado por la cosecante de 90 grados menos 𝜃 menos dos igual a cero, donde 𝜃 se encuentra en el intervalo cerrado de cero grados a 180 grados.

Vamos a considerar las funciones trigonométricas recíprocas. Sabemos que la cosecante de un ángulo 𝛼 es igual a uno partido por el seno del ángulo 𝛼. Antes de usar esta identidad, definamos 𝛼 como igual a 90 grados menos 𝜃. De esta forma podemos resolver la ecuación más sencilla raíz de tres cosecante de 𝛼 menos dos igual a cero. Sumamos dos a ambos lados, seguidamente dividimos por raíz de tres, y obtenemos que la cosecante de 𝛼 es igual a dos partido por raíz de tres. Usando la definición de cosecante, obtenemos que seno 𝛼 es igual a uno partido por dos entre raíz de tres, que es igual a raíz de tres partido por dos.

Usando lo que sabemos sobre los ángulos notables, hallamos que el seno de 60 grados es igual a la raíz cuadrada de tres partido por dos. Por lo tanto, una solución de la ecuación seno 𝛼 igual a raíz de tres partido por dos es 𝛼 igual a 60 grados. Buscamos soluciones de 𝜃 entre cero y 180 grados inclusive. Para escribir este intervalo en términos de 𝛼, restamos 90 grados a la inecuación para 𝛼 mayor o igual que menos 90 grados y menor o igual que 90 grados. Usando un diagrama CAST, vemos que solo buscamos soluciones en el primer o cuarto cuadrante. Como el seno del ángulo 𝛼 es positivo, solo habrá solución en el primer cuadrante. Esta es la solución que ya hemos hallado: 𝛼 igual a 60 grados.

Como 𝛼 es igual a 90 grados menos 𝜃, entonces 𝜃 debe ser igual a 90 grados menos 𝛼. Sustituimos nuestro valor de 𝛼, y obtenemos que 𝜃 es igual a 90 grados menos 60 grados, lo que nos da una respuesta de 30 grados. El conjunto de valores que satisface la ecuación raíz de tres por la cosecante de 90 grados menos 𝜃 menos dos igual a cero es 30 grados.

En el último ejemplo vamos a ver una ecuación trigonométrica un poco más complicada.

Halla el conjunto de valores que satisfacen dos seno de 𝜃 cosecante de 𝜃 más secante de 𝜃 cotangente de 𝜃 igual a cero, sabiendo que 𝜃 es mayor o igual a cero grados y menor o igual que 360 grados.

Para resolver esta cuestión vamos a comenzar recordando la definición de las funciones cosecante, secante y cotangente. La cosecante del ángulo 𝜃 es igual a uno partido por seno de 𝜃. La secante del ángulo 𝜃 es igual a uno partido por cos 𝜃. Y la cotangente de 𝜃 es igual a uno partido por tangente de 𝜃. Recordemos, además, que, puesto que tangente de 𝜃 es igual a seno de 𝜃 partido por coseno de 𝜃, la cotangente de 𝜃 es igual a coseno de 𝜃 partido por seno de 𝜃. Sustituimos estas identidades en nuestra ecuación, y obtenemos dos seno de 𝜃 multiplicado por uno partido por seno de 𝜃 más uno partido por coseno de 𝜃 multiplicado por coseno de 𝜃 partido por seno de 𝜃 igual a cero. El primer término en el lado izquierdo se simplifica a dos, y el segundo término se simplifica a uno partido por seno de 𝜃.

Restamos dos de ambos lados, y obtenemos que uno partido por seno de 𝜃 es igual a menos dos. Esto significa que la cosecante de 𝜃 es igual a menos dos, lo que a su vez nos dice que el seno del ángulo 𝜃 es igual a menos un medio. Vamos a ayudarnos a resolver esta ecuación dibujando un diagrama CAST. Como el seno del ángulo 𝜃 es negativo, habrá soluciones en el tercer y cuarto cuadrante.

Por lo que sabemos de los ángulos notables, debemos hallar inmediatamente que el seno de 30 grados es igual a un medio. A continuación, usamos lo que sabemos sobre la simetría de la función seno para calcular las soluciones en el tercer y cuarto cuadrante. En el tercer cuadrante, hallamos que 𝜃 es igual a 180 grados más 30 grados. Esto equivale a 210 grados. En el cuarto cuadrante, hallamos que 𝜃 es igual a 360 grados menos 30 grados. Esto equivale a 330 grados. El conjunto de valores que satisfacen dos sen 𝜃 cosecante de 𝜃 más secante de 𝜃 cotangente de 𝜃 igual a cero, donde 𝜃 se encuentra entre cero y 360 grados inclusive, es 210 y 330 grados.

Resumamos los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Para resolver ecuaciones trigonométricas recíprocas, hemos usado la definición de las funciones cosecante, secante y cotangente. La cosecante del ángulo 𝜃 es igual a uno partido por seno 𝜃. La secante del ángulo 𝜃 es igual a uno partido por el coseno del ángulo 𝜃. Y la cotangente del ángulo 𝜃 es igual a uno partido por la tangente del ángulo 𝜃. La cotangente también es igual al coseno del ángulo 𝜃 partido por el seno del ángulo 𝜃.

Después de hallar la solución de referencia de la ecuación, hemo usado lo que sabemos sobre ángulos notables y las funciones trigonométricas inversas, para hallar todas las soluciones en un intervalo dado usando el diagrama CAST y la periodicidad de las funciones trigonométricas. Usando el hecho de que las funciones trigonométricas son periódicas, podríamos haber desarrollado esto un poco más y haber hallado la solución general de las ecuaciones trigonométricas. Pero esto es algo que está más allá de los objetivos de este vídeo.

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