Vídeo: Ecuaciones diferenciales de variables separables

En este vídeo vamos a aprender cómo identificar y resolver ecuaciones diferenciales de variables separables.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a definir lo que es una ecuación diferencial de variables separables, y vamos a aprender cómo podemos reescribirla como una igualdad entre dos integrales que habrán de ser calculadas después. Para que puedas sacar máximo provecho de este vídeo, es importante que sepas cómo calcular la integral de una amplia variedad de funciones, como las funciones polinómicas, trigonométricas y exponenciales.

Una ecuación de variables separables es una ecuación diferencial de primer orden en la que la expresión para d𝑦 sobre d𝑥 puede expresarse como una función de 𝑥 por una función de 𝑦. Esto es, la derivada d𝑦 sobre d𝑥 puede escribirse en la forma 𝑔 de 𝑥 por 𝑓 de 𝑦. El adjetivo «separable» viene del hecho de que las variables pueden separarse, poniendo todo aquello con 𝑥 en el lado derecho, digamos, y todo aquello con 𝑦 en el lado izquierdo. Alternativamente, y si 𝑓 de 𝑦 no es igual a cero, podemos escribir nuestra ecuación como d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑔 de 𝑥 sobre ℎ de 𝑦, donde ℎ de 𝑦 es uno sobre 𝑓 de 𝑦. s

Para resolver esta ecuación, la escribimos en forma diferencial como ℎ de 𝑦 d𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥 d𝑥. Y hemos conseguido lo que prometimos: que todo aquello con 𝑦 esté en un lado de la ecuación y que todo aquello con 𝑥 esté en el otro lado. Seguidamente podemos integrar ambos lados de la ecuación. Fíjate en que d𝑦 sobre d𝑥 no es una fracción. Pero podemos tratarla como tal cuando estamos resolviendo ecuaciones diferenciales en variables separables. Lo que acabamos de hacer aquí es hallar 𝑦 como una función de 𝑥 en forma implícita Y, en muchos casos, seremos capaces de hallar 𝑦 en términos de 𝑥. Veamos un ejemplo sobre esto.

Resuelve la ecuación diferencial d𝑦 sobre d𝑥 más 𝑦 igual a uno.

Acabamos de decir que una ecuación de variables separables es una ecuación diferencial de primer orden en la que la expresión para d𝑦 sobre d𝑥 puede factorizarse como una función de 𝑥 por una función de 𝑦. Es decir, puede escribirse en la forma 𝑔 de 𝑥 por 𝑓 de 𝑦. Dicho esto, vamos a reorganizar la ecuación d𝑦 sobre d𝑥 más 𝑦 igual a uno para que esté expresada en esta forma. Para hacerlo, restamos 𝑦 a ambos lados de la ecuación. Y obtenemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a uno menos 𝑦. Aunque puede que a primera vista no lo parezca, hemos conseguido lo que nos proponíamos. Nuestra función de 𝑦 es uno menos 𝑦, y nuestra función de 𝑥 es uno.

Para resolver esta ecuación vamos a reescribirla haciendo uso de diferenciales. Ojo, recuerda que d𝑦 sobre d𝑥 no es una fracción. Pero podemos tratarla como tal para resolver esta ecuación. Comenzamos dividiendo ambos lados de la ecuación por uno menos 𝑦. Y vemos que esto equivale a decir que uno sobre uno menos 𝑦 d𝑦 es igual a uno d𝑥. Muy bien, ya estamos listos para integrar ambos lados de la ecuación. Pero, ¿cómo integramos uno sobre uno menos 𝑦 con respecto a 𝑦? Pues, simplemente, haciendo uso del resultado general de la integral de uno sobre 𝑥 con respecto a 𝑥. Es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más una constante de integración 𝑐.

Lo que vamos a hacer es realizar un cambio de variable en nuestra integral. Hacemos 𝑢 igual a uno menos 𝑦, de modo que d𝑢 sobre d𝑦 es igual a menos uno. También podemos escribir esto como menos d𝑢 igual a d𝑦. Y ahora reemplazamos d𝑦 por menos d𝑢 y uno menos 𝑦 por 𝑢. Ahora tenemos que integrar menos uno sobre 𝑢 con respecto a 𝑢. Eso es menos el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑢 más la constante de integración 𝑐. Reemplazamos 𝑢 por uno menos 𝑦, y hallamos que la integral de uno sobre uno menos 𝑦 es menos el logaritmo neperiano del valor absoluto de uno menos 𝑦 más una constante de integración que vamos a denominar 𝑎.

Integrar uno con respecto a 𝑥 resulta más sencillo. Obtenemos 𝑥 más una segunda constante de integración. Llamémosla 𝑏. Restamos 𝑎 a ambos lados de la ecuación y multiplicamos por menos uno. De esta forma obtenemos que el logaritmo neperiano del valor absoluto de uno menos 𝑦 es igual a menos 𝑥 más 𝑐 uno. 𝑐 uno es una nueva constante, y se obtiene restando 𝑎 a 𝑏 y multiplicando por menos uno. Seguidamente, nos damos cuenta de que podemos elevar ambos lados de la ecuación a una potencia con base 𝑒. Y obtenemos que el valor absoluto de uno menos 𝑦 es igual a 𝑒 elevado a menos 𝑥 más 𝑐 uno.

Si aplicamos las propiedades de las potencias vemos que podemos reescribir 𝑒 elevado a menos 𝑥 más 𝑐 uno como 𝑒 elevado a menos 𝑥 por 𝑒 elevado a 𝑐 uno. Como ves, 𝑒 elevado a 𝑐 uno es una constante. Llamémosla 𝑐 dos. Así que reescribimos el lado derecho como 𝑐 dos por 𝑒 elevado a menos 𝑥. Estamos operando con el valor absoluto de uno menos 𝑦. Así que esto quiere decir que uno menos 𝑦 puede ser igual a más 𝑐 dos por 𝑒 elevado a menos 𝑥 o menos 𝑐 dos por 𝑒 elevado a menos 𝑥. Pero como 𝑐 dos es una constante, no tenemos que preocuparnos por esto.

En el último paso vamos a sumar 𝑦 a ambos lados de la ecuación y luego restar 𝑐 dos 𝑒 elevado a menos 𝑥. De esta forma obtenemos 𝑦 igual a uno menos 𝑐 dos por 𝑒 elevado a menos 𝑥. Y, de nuevo, como 𝑐 dos es una constante, podemos cambiar esto a más 𝑐. Y obtenemos que 𝑦 igual a uno más 𝑐 por 𝑒 elevado a menos 𝑥 es la solución general de nuestra ecuación diferencial de variables separables.

En el siguiente ejemplo vamos a hacer uso de otros métodos de integración.

Halla una relación entre 𝑦 y 𝑥 sabiendo que 𝑥𝑦 por 𝑦 prima es igual a 𝑥 al cuadrado menos cinco.

Este primer paso no es del todo necesario. Pero puede facilitarnos un poco los pasos siguientes. Escribimos 𝑦 prima usando notación de Leibniz. Y vemos que 𝑥𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado menos cinco. Ahora recordamos que una ecuación diferencial de variables separables es aquella en la que la expresión para d𝑦 sobre d𝑥 puede escribirse como una función de 𝑥 por una función de 𝑦. Si dividimos ambos lados de la ecuación por 𝑥𝑦, podemos hacerlo. Obtenemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado menos cinco sobre 𝑥𝑦 o 𝑥 al cuadrado menos cinco sobre 𝑥 por uno sobre 𝑦. Esto nos viene de perlas, pues 𝑔 de 𝑥 es, por lo tanto, 𝑥 al cuadrado menos cinco sobre 𝑥. Y nuestra función de 𝑦 es uno sobre 𝑦.

Lo que acabamos de hacer demuestra que, efectivamente, lo que teníamos es una ecuación diferencial de variables separables. Podríamos haber mantenido 𝑦 en el lado izquierdo como aparece aquí. Seguidamente, realizamos este paso. d𝑦 sobre d𝑥 no es una fracción, pero la tratamos como tal. Y decimos que 𝑦 d𝑦 es igual a 𝑥 al cuadrado menos cinco sobre 𝑥 por d𝑥. El siguiente paso consiste en integrar ambos lados de la ecuación. Como ya has estudiado, para integrar un término polinómico cuyo exponente no es igual a menos uno, sumamos uno al exponente y lo dividimos por el nuevo valor. Así que la integral de 𝑦 es 𝑦 al cuadrado sobre dos más una constante de integración 𝑎.

Ahora podríamos pensar en realizar alguna sustitución para calcular esta otra integral. Pero si te fijas, si separamos nuestra fracción en 𝑥 al cuadrado sobre 𝑥 menos cinco sobre 𝑥, vemos que solamente tenemos que integrar 𝑥 menos cinco sobre 𝑥 con respecto a 𝑥. Y podemos hacer uso del resultado general de la integral de uno sobre 𝑥. Es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más 𝑐. Por lo tanto, cuando integramos el lado derecho de nuestra ecuación, obtenemos 𝑥 al cuadrado sobre dos menos cinco por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más una segunda constante de integración que hemos llamado 𝑏.

Nuestro último paso es restar 𝑎 a 𝑏 y multiplicar toda la ecuación por dos. Al hacerlo, obtenemos que 𝑦 al cuadrado es igual a 𝑥 al cuadrado menos 10 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥, más 𝑐. Esta 𝑐 es una constante distinta obtenida al restar 𝑎 a 𝑏 y al multiplicar por dos. De esta forma, partiendo de nuestra ecuación diferencial, hemos hallado una relación entre 𝑦 y 𝑥. 𝑦 al cuadrado es igual a 𝑥 al cuadrado menos 10 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más 𝑐.

En el siguiente ejemplo vamos a aprender cómo sacar factor común puede ayudarnos a hallar una expresión mucho más sencilla de separar.

Halla una relación entre 𝑢 y 𝑡 sabiendo que d𝑢 sobre d𝑡 es igual a uno más 𝑡 a la cuarta sobre 𝑢𝑡 al cuadrado más 𝑢 a la cuarta por 𝑡 al cuadrado.

Así, a primera vista, esta ecuación diferencial parece muy complicada. Pero vamos a ver que, de hecho, se trata de una ecuación diferencial de variables separables. En este caso es una ecuación en la que una expresión para d𝑢 sobre d𝑡 puede escribirse como una función de 𝑢 por una función de 𝑡. Bien, pero, ¿cómo podemos conseguir eso? En primer lugar, comenzamos sacando en el denominador el factor común 𝑡 al cuadrado. Y hallamos que d𝑢 sobre d𝑡 es igual a uno más 𝑡 a la cuarta sobre 𝑡 al cuadrado por 𝑢 más 𝑢 a la cuarta. Y podemos escribir esto como una función de 𝑡 por una función de 𝑢. Es uno más 𝑡 a la cuarta sobre 𝑡 al cuadrado por uno sobre 𝑢 más 𝑢 a la cuarta.

Y ahora multiplicamos ambos lados de la ecuación por 𝑢 más 𝑢 a la cuarta. A continuación recordamos que, aunque d𝑢 sobre d𝑡 no es una fracción, podemos tratarla como tal. Y obtenemos que 𝑢 más 𝑢 a la cuarta por d𝑢 es igual a uno más 𝑡 a la cuarta sobre 𝑡 al cuadrado d𝑡. Esto nos viene de perlas, pues ya estamos listos para integrar ambos lados de la ecuación. El lado izquierdo es bastante sencillo de integrar. La integral de 𝑢 es 𝑢 al cuadrado sobre dos. Y la integral de 𝑢 a la cuarta es 𝑢 a la quinta sobre cinco. Ojo, no debemos olvidarnos de añadir esta constante de integración 𝑎, pues esta es una integral indefinida.

En el lado derecho, vamos a reescribir nuestro integrando como uno sobre 𝑡 al cuadrado más 𝑡 a la cuarta sobre 𝑡 al cuadrado. Y eso se simplifica a uno sobre 𝑡 al cuadrado más 𝑡 al cuadrado. Uno sobre 𝑡 al cuadrado es lo mismo que 𝑡 elevado a menos dos. Ahora ya podemos integrar de forma normal. Cuando integramos 𝑡 elevado a menos dos, sumamos uno al exponente para obtener menos uno y luego lo dividimos por ese número. 𝑡 al cuadrado se convierte en 𝑡 al cubo partido por tres. Y tenemos una segunda constante de integración, 𝑏. Ahora reescribimos 𝑡 elevado a menos uno sobre menos uno como menos uno sobre 𝑡.

Ahora nos basta con restar la constante 𝑎 de ambos lados de la ecuación. Y obtenemos una nueva constante 𝑐. Esa es la diferencia entre 𝑏 y 𝑎. Así que hemos hallado una relación entre 𝑢 y 𝑡. Es 𝑢 a la quinta sobre cinco más 𝑢 al cuadrado sobre dos igual a menos uno sobre 𝑡 más té al cubo sobre tres más 𝑐.

En el último ejemplo vamos a ver cómo funciona este procedimiento con funciones exponenciales.

Resuelve la ecuación diferencial d𝑧 sobre d𝑡 más 𝑒 elevado a dos 𝑡 más dos 𝑧 igual a cero.

Como sabes, una ecuación diferencial de variables separables es aquella en la que la expresión para d𝑧 sobre d𝑡 puede expresarse como una función de 𝑧 por una función de 𝑡. Pero, ¿cómo vamos a conseguir esto para nuestra ecuación? Bueno, en primer lugar comenzamos restando 𝑒 elevado a dos 𝑡 más dos 𝑧 en ambos lados de la ecuación. Las propiedades de las potencias dicen que 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏 puede escribirse como 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑏. Así que escribimos menos 𝑒 elevado a dos 𝑡 más dos 𝑧 como menos 𝑒 elevado a dos 𝑡 por 𝑒 elevado a dos 𝑧.

Como sabes, d𝑧 sobre d𝑡 no es una fracción, pero podemos tratarla como tal. Y podemos escribir, pues, uno sobre 𝑒 elevado a dos 𝑧 d𝑧 igual a menos 𝑒 elevado a dos 𝑡 d𝑡. Estupendo, ya estamos listos para integrar ambos lados. Es conveniente expresar uno sobre 𝑒 elevado a dos 𝑧 como 𝑒 elevado a menos dos 𝑧. Seguidamente hacemos uso del resultado general para la integral de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 para una constante 𝑘. Es 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 partido por 𝑘, más 𝑐. Así que esto significa que la integral de 𝑒 elevado a menos dos 𝑧 es menos 𝑒 elevado a menos dos 𝑧 sobre dos. Y la integral de menos 𝑒 elevado a dos 𝑡 es menos 𝑒 elevado a dos 𝑡 sobre dos.

El siguiente paso es restar 𝑐 uno de ambos lados de la ecuación y multiplicar por menos dos. Recuerda que, cuando resolvemos nuestra ecuación diferencial, lo que nos interesa es obtener una ecuación para 𝑧 en términos de 𝑡. Así que hallamos que 𝑒 elevado a menos dos 𝑧 es igual a 𝑒 elevado a dos 𝑡 más 𝑐 tres. 𝑐 tres es una nueva constante que se obtiene restando 𝑐 uno de 𝑐 dos y luego multiplicando por menos dos. Para hallar 𝑧 tenemos que hallar el logaritmo neperiano de ambos lados de la ecuación. Pero el logaritmo neperiano de 𝑒 elevado a menos dos 𝑧 es tan solo menos dos 𝑧. Así que ahora solo nos queda dividir por menos dos. Y ya hemos resuelto nuestra ecuación diferencial. 𝑧 es igual a menos un medio por el logaritmo neperiano de 𝑒 elevado a dos 𝑡 más una constante de integración; llamémosla 𝑐.

En este vídeo hemos aprendido que una ecuación de variables separables es una ecuación diferencial de primer orden de la forma d𝑦 sobre d𝑥 igual a una función de 𝑥 por una función de 𝑦. Hemos visto que, para resolver este tipo de ecuaciones, tenemos que conseguir que todas las 𝑥 estén en un lado de la ecuación y que todas las 𝑦 estén en el otro lado, y seguidamente integrar. Por último, conviene insistir en el hecho de que, aunque en estos casos tratamos a d𝑦 sobre d𝑥 como si fuera una fracción, d𝑦 sobre d𝑥 no es una fracción.

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