Vídeo: La forma exponencial de un número complejo

En este video, vamos a aprender cómo convertir un número complejo de la forma binómica a la forma exponencial (forma de Euler) y viceversa.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo expresar números complejos en la forma exponencial. Debemos saber cómo expresar un número complejo en la forma binomial y en la forma trigonométrica. Lo que vamos a ver es una extensión natural de esta lógica. Vamos a aprender lo que se entiende por forma exponencial y cómo multiplicar y dividir números en esta forma. También vamos a aprender cómo convertir entre números en forma binómica, trigonométrica y exponencial antes de descubrir cómo la forma exponencial puede ayudarnos a resolver ecuaciones que involucran números complejos.

La forma binómica, o binomial, de un número complejo es 𝑧 igual a 𝑎 más 𝑏𝑖. Siendo 𝑎 y 𝑏 números reales. Y decimos que 𝑎 es la parte real del número complejo, y que 𝑏 es la parte imaginaria. Sabemos que la forma trigonométrica de un número complejo es 𝑟 cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃. 𝑟 es el módulo y 𝜃 es el argumento, generalmente expresado en radianes. ¿Qué podemos decir de la forma exponencial de un número complejo?

Aquí, necesitamos la fórmula de Euler. La cual nos dice que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 es igual a cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃. Comparemos esto con la forma trigonométrica de un número complejo. Podemos ver que si multiplicamos por 𝑟, obtenemos 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃 igual a 𝑟 cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃. Así que, podemos escribir nuestro número complejo 𝑧 como 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃, en donde 𝑟 es el módulo y 𝜃 es el argumento, en radianes. Y podemos usar los mismos métodos para calcular el módulo y el argumento de un número complejo en la forma exponencial que usaríamos con un número complejo en la forma trigonométrica. Veamos un ejemplo.

Escribe el número 𝑧 igual a cinco raíz de dos sobre dos menos cinco raíz de seis sobre dos 𝑖 en forma exponencial.

Este número complejo está en la forma binómica. Tiene una parte real de cinco raíz de dos sobre dos y una parte imaginaria de menos cinco raíz de seis sobre dos. Recuerda que un número complejo en la forma exponencial es 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃, en donde 𝑟 es el módulo y 𝜃 es el argumento en radianes. El módulo es bastante sencillo de calcular. Para un número complejo de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, su módulo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de 𝑎 y 𝑏.

En este caso, esta es la raíz cuadrada de cinco raíz de dos sobre dos todo al cuadrado más menos cinco raíz de seis sobre dos todo al cuadrado. Cinco raíz de dos sobre dos todo al cuadrado es 25 sobre dos. Y menos cinco raíz de seis sobre dos todo al cuadrado es 75 sobre dos. La suma de 25 sobre dos y 75 sobre dos es 100 sobre dos, que es 50. Así que el módulo de 𝑧 es la raíz cuadrada de 50, que podemos simplificar a cinco raíz de dos. ¿Y qué sucede con el argumento?

Si ponemos este número complejo en el plano de Argand, está representado por el punto cuyas coordenadas cartesianas son cinco raíz de dos sobre dos y menos cinco raíz de seis sobre dos. Esto significa que se encuentra en el cuarto cuadrante. Podemos hallar el argumento de los números complejos que se encuentran en el primer cuadrante o en el cuarto usando la fórmula arctan de 𝑏 dividido por 𝑎, o sea, arctan de la parte imaginaria dividida por la parte real.

En este ejemplo, es arctan de menos cinco raíz de seis sobre dos dividido por cinco raíz de dos sobre dos que es menos 𝜋 partido por tres. Así que el argumento de nuestro número complejo es menos 𝜋 sobre tres. El módulo de 𝑧 vale 𝑏 cinco raíz de dos y su argumento vale menos 𝜋 sobre tres. En la forma exponencial, el número es cinco raíz de dos 𝑒 elevado a menos 𝜋 sobre tres 𝑖. Y en este punto, cabe recordar que el argumento es periódico con un periodo de dos 𝜋. Por tanto, podemos sumar o restar múltiplos de dos 𝜋 a nuestro argumento.

Si sumamos dos 𝜋 a menos 𝜋 partido por tres obtenemos cinco raíz de dos 𝑒 elevado a cinco 𝜋 sobre tres 𝑖.

Si bien el argumento del número complejo en esta segunda forma está fuera del rango del argumento principal, que ha de ser mayor que menos 𝜋 y menor o igual que 𝜋, no es inusual ver estos números escritos en cualquiera de estas formas. ¿Y qué hay sobre convertir un número de la forma exponencial a las otras formas?

Bien, la conversión entre la forma binómica y la forma trigonométrica es bastante sencilla, pues se pueden usar los mismos valores del módulo y del argumento. Para convertir de la forma exponencial a la binomial, primero tenemos que convertir a la forma trigonométrica y después a la forma binomial. Ya que 𝑟𝑒 a la 𝑖𝜃 es lo mismo que 𝑟 cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃, podemos desarrollar estos paréntesis y comparar directamente con la forma binómica de un número complejo. La parte real será 𝑟 cos 𝜃 y la imaginaria 𝑖 sen 𝜃.

Ahora que tenemos una definición de la forma exponencial de un número complejo, podemos usar esto para desarrollar algunas reglas para multiplicar y dividir estos números. Supongamos que tenemos dos números complejos 𝑟 uno 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 uno y 𝑟 dos 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 dos. Su producto es 𝑟 uno 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 uno multiplicado por 𝑟 dos 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 dos. Y, después, recordamos las propiedades de los módulos y argumentos de un número complejo.

El módulo del producto de dos números complejos es igual al producto de sus módulos y el argumento de su producto es igual a la suma de sus argumentos respectivos. Así que podemos decir que el producto de 𝑧 uno y 𝑧 dos es 𝑟 uno 𝑟 dos 𝑒 a la 𝑖 𝜃 uno más 𝜃 dos. Básicamente, multiplicamos sus módulos y sumamos sus argumentos. De forma similar, para dividir dos números complejos, obtenemos 𝑟 uno dividido por 𝑟 dos multiplicado por 𝑒 a la 𝑖 𝜃 uno menos 𝜃 dos. Esta vez, dividimos sus módulos y restamos sus argumentos.

Aunque parece que simplemente podríamos haber aplicado las reglas para los exponentes enteros para obtener estos resultados, debemos ser un poco cuidadosos y no suponer que esas reglas funcionan para todos los números complejos. Esto no siempre es cierto. Por lo tanto, es preferible pensar en el producto y el cociente de números complejos en términos de sus módulos y argumentos. Veamos cómo aplicar estos procesos a la multiplicación y división de números complejos en forma exponencial.

Sabiendo que 𝑧 uno es igual a cinco 𝑒 elevado a menos 𝜋 partido por dos 𝑖 y 𝑧 dos es igual a seis 𝑒 ​​elevado a 𝜋 partido por tres 𝑖, expresa 𝑧 uno 𝑧 dos en la forma 𝑎 más 𝑏𝑖.

Aquí nos han dado dos números complejos en la forma exponencial y nos están pidiendo que hallemos el producto en forma binomial. Es muy sencillo multiplicar números complejos cuando están en la forma exponencial. Así que vamos a hacer un poco de esto antes de convertir el producto a la forma binómica. Para multiplicar los números complejos en la forma exponencial, multiplicamos sus módulos y sumamos sus argumentos.

El módulo de nuestro primer número complejo es cinco y su argumento es menos 𝜋 partido por dos. El módulo de nuestro segundo número complejo es seis y su argumento es 𝜋 partido por tres. Esto significa que el módulo del producto de estos dos números complejos es cinco por seis, que es 30. Y el argumento de 𝑧 uno 𝑧 dos es menos 𝜋 partido por dos más 𝜋 partido por tres.

Podemos sumar estas dos fracciones hallando un denominador común. Es seis. Y obtenemos menos tres 𝜋 partido por seis más dos 𝜋 partido por seis que es menos 𝜋 partido por seis. Y por lo tanto, vemos que 𝑧 uno 𝑧 dos es 30𝑒 elevado a menos 𝜋 partido por seis 𝑖. Y eso es en la forma exponencial. ¿Pero cómo convertimos esto a la forma binomial? La forma más fácil es representarlo primero en la forma trigonométrica. Es 30 cos de menos 𝜋 partido por seis más 𝑖 sen de menos 𝜋 partido por seis. Vamos a desarrollar estos paréntesis.

Y vemos que esto es equivalente a 30 cos de menos 𝜋 partido por seis más 30 sen de menos 𝜋 partido por seis 𝑖. Estos son valores bien conocidos. El coseno de menos 𝜋 partido por seis es raíz de tres sobre dos y el seno de menos 𝜋 partido por seis es menos un medio. Y podemos ver que 𝑧 uno 𝑧 dos, el producto de estos dos números complejos, se simplifica a 15 raíz de tres menos 15𝑖. Esto está ahora en la forma binómica, como se nos pedía. Si lo comparamos con la forma general en nuestra pregunta, vemos que 𝑎 es 15 raíz de tres y 𝑏 es menos 15.

Sabiendo que 𝑧 es igual a 𝑖 raíz de dos sobre uno menos 𝑖, escribe 𝑧 en la forma exponencial.

Para contestar esta cuestión, tenemos dos opciones. Podemos dividir estos dos números complejos en la forma algebraica. Y para hacer esto, necesitaríamos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador y después desarrollar y simplificar tanto como nos sea posible. Seguro que estás de acuerdo en que este es un proceso bastante largo. En vez de eso, vamos a escribir estos números complejos en la forma exponencial. Así que vamos a necesitar calcular sus módulos y sus argumentos.

𝑖 raíz de dos es un número imaginario puro. En el plano complejo, está representado por el punto cuyas coordenadas cartesianas son cero, raíz de dos. Su módulo es la longitud del segmento de recta que une este punto al origen. Así que es raíz de dos. Y como el argumento es medido en sentido antihorario desde el eje real positivo, podemos ver que el argumento de este número complejo es equivalente a 90 grados. O sea, 𝜋 partido por dos radianes. Así que, en la forma exponencial, podemos decir que es lo mismo que raíz de dos 𝑒 elevado a 𝜋 partido por dos 𝑖.

El número complejo uno menos 𝑖 requiere más trabajo. Su parte real es positiva y su parte imaginaria es negativa. Así que se encuentra en el cuarto cuadrante. Pero su módulo es independiente de este hecho. Simplemente usamos la fórmula de la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de las partes real e imaginaria. Y esto es raíz cuadrada de más uno al cuadrado más menos uno al cuadrado lo cual es, una vez más, la raíz cuadrada de dos.

Necesitamos ser un poco más cuidadosos con el argumento. Como está en el cuatro cuadrante, podemos usar la fórmula que es exclusiva para números complejos que están en el primer cuadrante o en el cuarto. Es arctan de 𝑏 sobre 𝑎, o sea, arctan de la parte imaginaria dividida por la parte real. En este caso, es el arctan de menos uno sobre uno que es menos 𝜋 partido por cuatro. Esperábamos un valor negativo para el argumento porque esta vez estamos midiendo en sentido horario. Así que podemos reescribir nuestra fracción como raíz de dos 𝑒 elevado a 𝜋 partido por dos 𝑖 sobre raíz de dos 𝑒 elevado a menos 𝜋 partido por cuatro 𝑖. Y ahora podemos dividir fácilmente.

Para dividir números complejos en la forma exponencial, dividimos sus módulos y restamos sus argumentos. Raíz de dos dividido por raíz de dos es uno y 𝜋 partido por dos menos menos 𝜋 partido por cuatro es tres 𝜋 partido por cuatro. En la forma exponencial, 𝑧 es igual a 𝑒 elevado a tres 𝜋 partido por cuatro 𝑖.

Hemos visto cómo multiplicar y dividir números complejos en la forma exponencial. Veamos ahora cómo usar las propiedades de los números complejos en la forma exponencial para resolver ecuaciones.

Sabiendo que 𝑎𝑒 elevado a dos 𝑖𝜃 más 𝑏𝑒 elevado a menos dos 𝑖𝜃 es igual a coseno de dos 𝜃 menos cinco 𝑖 seno de dos 𝜃, en donde 𝑎 es un número real y 𝑏 es un número real, halla 𝑎 y 𝑏.

Aquí tenemos una ecuación con números complejos y algunas incógnitas. Para poder hallar 𝑎 y 𝑏, tenemos que asegurarnos de que todos los números complejos tengan la misma forma. Convirtamos el lado izquierdo a la forma trigonométrica. Se compone de dos números complejos. Sus módulos son 𝑎 y 𝑏, respectivamente. Y sus argumentos son dos 𝜃 y menos dos 𝜃. Y podemos decir que su suma es igual a 𝑎 cos de dos 𝜃 más 𝑖 sen de dos 𝜃 más 𝑏 cos de menos dos 𝜃 más 𝑖 sen de menos dos 𝜃.

Ahora vamos a usar el hecho de que cos 𝜃 es una función par y sen 𝜃 es una función impar. Y esto significa que cos de menos dos 𝜃 es lo mismo que cos de dos 𝜃. Pero sen de menos dos 𝜃 es lo mismo que menos sen de dos 𝜃. Y podemos reescribir nuestra ecuación como se muestra. Necesitamos multiplicar 𝑎 y 𝑏 por sus respectivos paréntesis. Y después, agrupamos términos semejantes. Y vemos que obtenemos cos de dos 𝜃 por 𝑎 más 𝑏 más 𝑖 sen dos 𝜃 por 𝑎 menos 𝑏. Y, por supuesto, al comparar esto con la ecuación original, vemos que ha de ser igual a cos de dos 𝜃 menos cinco 𝑖 sen dos 𝜃. Y ahora, podemos igualar coeficientes.

Igualando coeficientes para cos de dos 𝜃, obtenemos uno igual a 𝑎 más 𝑏. Y para sen de dos 𝜃, obtenemos menos cinco igual a 𝑎 menos 𝑏. Tenemos un par de ecuaciones simultáneas en 𝑎 y 𝑏. Las sumamos para eliminar 𝑏. Y al hacerlo, obtenemos menos cuatro igual a dos 𝑎. Por tanto, 𝑎 debe ser igual a menos dos. Y después, sustituimos esto en la primera ecuación. Y obtenemos uno igual a menos dos más 𝑏. De modo que 𝑏 debe ser igual a tres. Por consiguiente, 𝑎 es igual a menos dos y 𝑏 es igual a tres.

Por supuesto, podemos verificar esto haciendo 𝑎 igual a menos dos y 𝑏 igual a tres en la otra ecuación. Al hacer esto, vemos que menos dos menos tres es igual a menos cinco, tal y como se pedía.

En nuestro ejemplo final, vamos a repasar las propiedades del complejo conjugado y ver cómo reconocer el complejo conjugado de números en forma exponencial puede ahorrarnos algo de tiempo.

Halla el valor numérico de 𝑒 elevado a 11𝜋 sobre seis 𝑖 más 𝑒 elevado a menos 11𝜋 sobre seis 𝑖.

Para calcular la suma de estos dos números complejos, podríamos convertirlos en forma binómica y luego sumar simplemente agrupando términos semejantes. Sin embargo, es útil poder detectar el complejo conjugado de un número escrito en forma exponencial y veremos por qué en un momento. Para un número complejo 𝑧 igual a 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃, su conjugado, denotado por 𝑧 asterisco, es 𝑟𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. Observa cómo el módulo del conjugado es el mismo que el módulo del número complejo original y que su argumento es el opuesto del argumento del número complejo original.

Los dos números complejos que tenemos, 𝑒 elevado a 11𝜋 sobre seis 𝑖 y 𝑒 elevado a menos 11𝜋 sobre seis 𝑖, ambos tienen un módulo de uno. Pero el argumento del segundo número complejo es el opuesto del argumento del primero y viceversa. Esto significa que 𝑒 elevado a menos 11𝜋 partido por seis 𝑖 es el conjugado complejo de 𝑒 elevado a 11𝜋 partido por seis 𝑖 y viceversa. ¿Pero cómo nos ayuda esto? Pues bien, nos permite usar la regla para la suma de un número complejo y su conjugado. La suma de un número complejo y su conjugado es igual a dos veces la parte real de ese número complejo.

La parte real de un número complejo escrito en forma exponencial o trigonométrica es simplemente 𝑟 cos 𝜃. Para nuestro número complejo, la parte real es uno por cos 11𝜋 sobre seis. Y esto significa que la suma de 𝑒 elevado a 11𝜋 sobre seis 𝑖 y su conjugado 𝑒 elevado a menos 11𝜋 sobre seis 𝑖 es dos por esto. Cos de 11𝜋 sobre seis es raíz de tres sobre dos. Por lo tanto, dos por la parte real de nuestro número complejo es dos por raíz de tres sobre dos, que es simplemente raíz de tres. Y hemos obtenido, pues, que el valor numérico de 𝑒 elevado a 11𝜋 sobre seis 𝑖 más 𝑒 elevado a menos 11𝜋 sobre seis 𝑖 es simplemente raíz de tres.

En este video, hemos aprendido que podemos expresar un número complejo en forma exponencial como 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃, en donde 𝑟 es el módulo y 𝜃 es el argumento expresado en radianes. Y hemos visto que trabajar con números de esta forma puede ayudarnos a simplificar los cálculos que contienen multiplicaciones o divisiones. Para multiplicar dos números complejos, multiplicamos sus módulos y agregamos sus argumentos. Y para dividir dos números complejos escritos en forma exponencial, dividimos sus módulos y restamos sus argumentos.

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