Vídeo: Asíntotas horizontales y asíntotas verticales de una función

En este video, vamos a aprender cómo hallar las asíntotas horizontales y las asíntotas verticales de una función.

15:03

Transcripción del vídeo

Asíntotas horizontales y asíntotas verticales de una función

En este video, vamos a aprender cómo hallar las asíntotas horizontales y las asíntotas verticales de una función. Y vamos a ver una variedad de ejemplos de cómo podemos hacer esto. Comencemos recordando la definición de asíntota.

Una asíntota es una recta a la que una curva se acerca arbitrariamente pero sin llegar a tocarla. Por ejemplo, si consideramos la gráfica de 𝑦 igual a uno sobre 𝑥. Vemos que tiene una asíntota horizontal en 𝑦 igual a cero y una asíntota vertical en 𝑥 igual a cero.

Veamos ahora una definición más rigurosa de una asíntota vertical. Podemos definir una asíntota vertical de la siguiente forma. Si, cuando 𝑥 tiende a una constante 𝑐, 𝑓 de 𝑥 tiende a más o menos ∞, entonces 𝑥 igual a 𝑐 es una asíntota vertical. Otra forma de pensar en una asíntota vertical es cualquier valor de entrada que no tiene un valor de salida definido.

Podemos definir una asíntota horizontal de la siguiente manera. Si, cuando 𝑥 tiende a más o menos infinito ∞, 𝑓 de 𝑥 tiende a una constante 𝑐, entonces 𝑦 igual a 𝑐 es una asíntota horizontal. Otra forma de pensar en una asíntota horizontal es cualquier valor de salida que no puede ser alcanzado con ningún valor de entrada en el dominio de la función.

Sin embargo, debemos ser cuidadosos al usar este razonamiento ya que no siempre ocurre exactamente así. A veces el valor de salida puede ser alcanzado usando un valor de entrada en el dominio de la función. Y aun así puede haber una asíntota en este punto. Cuando tratamos de hallar asíntotas horizontales, suele ser más fácil analizar lo que sucede cuando 𝑥 tiende a más o menos ∞.

Al definir y encontrar asíntotas verticales y horizontales, hablamos mucho de valores de entrada y de valores de salida. Y es que estas asíntotas están muy relacionadas con el dominio y el rango de las funciones. Si conocemos el dominio y el rango de una función a menudo es más fácil encontrar las asíntotas horizontales y las asíntotas verticales. Y de manera similar, si conocemos las asíntotas horizontales y las verticales, suele ser más fácil determinar el dominio y el rango de esa función. Sigamos adelante y veamos un ejemplo de cómo hallar las asíntotas verticales y las horizontales.

Determina las asíntotas verticales y las asíntotas horizontales de la función 𝑓 de 𝑥 igual a menos uno más tres sobre 𝑥 menos cuatro sobre 𝑥 al cuadrado.

Podemos comenzar hallando la asíntota vertical de esta función. Podemos hallar la asíntota vertical encontrando cualquier entrada que no tenga una salida definida. Cuando miramos nuestra función 𝑓 de 𝑥, vemos que tiene dos términos racionales. Y estos son tres sobre 𝑥 y menos cuatro sobre 𝑥 al cuadrado.

Un término racional no está definido cuando su denominador es cero. Así que, para tres sobre 𝑥, esto es cuando 𝑥 es igual a cero. Y para menos cuatro sobre 𝑥 al cuadrado, esto es cuando 𝑥 al cuadrado es igual a cero. Y cuando 𝑥 al cuadrado es igual a cero, esto por supuesto significa que 𝑥 también es igual a cero. Como estos dos términos aparecen en 𝑓 de 𝑥, cuando cualquiera de estos términos no está definido, 𝑓 de 𝑥 tampoco está definida.

Por lo tanto, podemos decir que cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑓 de 𝑥 no tiene un valor de salida definido. Y así, hemos encontrado la asíntota vertical de 𝑓 de 𝑥. Y es 𝑥 igual a cero. Para hallar las asíntotas horizontales, necesitamos encontrar aquellos valores que no están en el rango de la función. Y para hacer esto, podemos considerar lo que sucede cuando 𝑥 tiende a ∞.

Bueno, podemos analizar los términos con 𝑥 en 𝑓 de 𝑥. Tenemos tres sobre 𝑥 y menos cuatro sobre 𝑥 al cuadrado. A medida que 𝑥 tiende a ∞, tenemos que el denominador de ambos términos racionales se hará más y más grande. Y ambos términos racionales tenderán a cero. Sin embargo, ninguno de estos términos llegará a cero. Simplemente se acercarán arbitrariamente a cero.

Cuando miramos 𝑓 de 𝑥 y tenemos que los dos términos racionales se aproximan a cero, podemos ver que 𝑓 de 𝑥 tenderá a menos uno. Y podemos decir que 𝑓 de 𝑥 se acercará arbitrariamente a menos uno sin llegar a menos uno. Consecuentemente, tendremos una asíntota horizontal en 𝑦 igual a menos uno.

Así que hemos hallado las asíntotas verticales y horizontales de nuestra función 𝑓 de 𝑥. Son las rectas 𝑥 igual a cero y 𝑦 igual a menos uno. Y esta es la solución a la pregunta. No obstante, esta pregunta es un buen ejemplo de por qué debemos tener cuidado al usar este razonamiento para obtener asíntotas horizontales. Ya que a veces el valor puede estar en el rango de la función. Y, sin embargo, todavía puede haber una asíntota horizontal en este punto.

Podemos ver esto igualando 𝑓 de 𝑥 a menos uno. Tenemos menos uno igual a menos uno más tres sobre 𝑥 menos cuatro sobre 𝑥 al cuadrado. Podemos sumar uno a ambos lados de la ecuación para obtener cero igual a tres sobre 𝑥 menos cuatro sobre 𝑥 al cuadrado.

Nuestro siguiente paso será sumar cuatro sobre 𝑥 al cuadrado a ambos lados. Después multiplicamos ambos lados de la ecuación por 𝑥 al cuadrado. Luego dividimos ambos lados de la ecuación por tres para obtener 𝑥 igual a cuatro tercios. Esto nos dice que cuando 𝑥 es igual a cuatro tercios, 𝑓 de 𝑥 es igual a menos uno. Por tanto, menos uno está en el rango de 𝑓 de 𝑥.

Pero, aun así, hay una asíntota en 𝑦 igual a menos uno. Podemos ver por qué se da este caso dibujando la gráfica de 𝑓 de 𝑥. Usando una calculadora gráfica o algún software de gráficos, podemos visualizar cómo se vería la gráfica de 𝑓 de 𝑥. Podemos ver las asíntotas en 𝑥 igual a cero y 𝑦 igual a menos uno. Y vemos que la gráfica de 𝑓 de 𝑥 corta la asíntota en el punto con 𝑦 igual a menos uno y con 𝑥 igual a cuatro sobre tres. Vemos que, de todas formas, 𝑓 de 𝑥 muestra un comportamiento asintótico con respecto a la recta 𝑦 igual a menos uno.

Si miramos a la derecha de 𝑥 igual a cuatro sobre tres, 𝑓 de 𝑥 se está acercando más y más a 𝑦 igual a menos uno sin tocar la recta. Y es por eso que debemos tener cuidado al usar este razonamiento al encontrar asíntotas horizontales. En el siguiente ejemplo, vamos a ver cómo podemos hallar las asíntotas de una hipérbola. Una hipérbola es un tipo de función racional con dos asíntotas.

¿Cuáles son las asíntotas de la hipérbola 𝑦 igual a ocho sobre cuatro 𝑥 menos tres más cinco sobre tres?

Podemos comenzar hallando la asíntota vertical de esta hipérbola. Utilizaremos el hecho de que una asíntota vertical se halla en un valor de entrada que no tiene un valor de salida definido. Si nos fijamos en la ecuación de nuestra hipérbola, vemos que tenemos un término racional, que es ocho sobre cuatro 𝑥 menos tres.

Y sabemos que un término racional no está definido donde el denominador es cero. Es decir, cuando cuatro 𝑥 menos tres es igual a cero. Podemos reorganizar esto para encontrar 𝑥. Obtenemos que 𝑥 es igual a tres sobre cuatro. Tenemos que cuando 𝑥 es igual a tres sobre cuatro, este término racional de ocho sobre cuatro 𝑥 menos tres no está definido.

Por lo tanto, cuando ingresamos 𝑥 igual a tres sobre cuatro en la ecuación para nuestra hipérbola, tendremos un valor de salida que no está definido. Así que nuestra hipérbola tendrá una asíntota vertical en 𝑥 igual a tres sobre cuatro.

Pasemos ahora a la asíntota horizontal. Las asíntotas horizontales son valores que no están en el rango de la función. Para obtener estos valores, podemos considerar lo que sucede cuando 𝑥 tiende a más o menos ∞.

El único término dependiente de 𝑥 en nuestra ecuación es ocho sobre cuatro 𝑥 menos tres. Cuando 𝑥 tiende a más o menos ∞, este término racional tiende a cero. Y de hecho se ubica arbitrariamente cerca de cero. Si echamos otro vistazo a la ecuación de la hipérbola, podemos ver que 𝑦 tiende a cinco sobre tres cuando 𝑥 tiende a más o menos ∞. Y esto porque el término racional en la ecuación tenderá a cero. Nuestra hipérbola tiene una asíntota horizontal en 𝑦 igual a cinco tercios. Y así hemos encontrado las asíntotas de nuestra hipérbola, lo que completa la solución a esta pregunta.

Antes de continuar con nuestro siguiente ejemplo, debemos notar que es posible que una función tenga más de una asíntota horizontal o vertical. Por ejemplo, considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥 al cuadrado menos cuatro. Podemos factorizar el denominador de esta función para obtener uno sobre 𝑥 menos dos multiplicado por 𝑥 más dos.

Y hemos identificado las asíntotas verticales como cualquier valor de entrada sin valor de salida definido. Como 𝑓 de 𝑥 es una función racional, esto ocurrirá cuando el denominador es igual a cero. O sea, cuando 𝑥 menos dos multiplicado por 𝑥 más dos es igual a cero. Esto nos da dos soluciones y, por lo tanto, dos asíntotas verticales. Y estas son 𝑥 igual a dos y 𝑥 igual a menos dos.

Usando estas asíntotas, podríamos intentar dibujar la gráfica de 𝑓 de 𝑥. Pero, primero debemos considerar lo que sucede con 𝑓 de 𝑥 alrededor de los valores de 𝑥 igual a dos y 𝑥 igual a menos dos. Cuando 𝑥 es menor que menos dos, cuando 𝑥 está entre dos y menos dos, y cuando 𝑥 es mayor que dos.

Cuando 𝑥 es menor que menos dos o es mayor que dos, 𝑥 al cuadrado menos cuatro es mayor que cero. Por lo tanto, 𝑓 de 𝑥 debe ser positivo. Y cuando 𝑥 está entre menos dos y dos, 𝑥 al cuadrado menos cuatro es menor que cero. Por lo tanto, 𝑓 de 𝑥 es negativo. Con esta información, podemos dibujar la gráfica de 𝑓 de 𝑥, algo así. Y como podemos ver, tiene dos asíntotas verticales. Hallar estas asíntotas verdaderamente nos ayudó a dibujar esta gráfica. Y podemos ver lo útiles que pueden ser las asíntotas para dibujar gráficas.

Existen ciertos casos en los que debemos tener mucho cuidado al tratar de encontrar asíntotas. Y estos son los casos en los que nuestra función tiene factores que pueden cancelarse. Consideremos el siguiente ejemplo.

Encuentra las asíntotas de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 más dos sobre 𝑥 al cuadrado menos cuatro.

Normalmente comenzaríamos buscando las asíntotas verticales de esta función. Si observamos con cuidado nuestra función, notamos que el denominador puede ser factorizado. Por tanto, podemos escribir 𝑓 de 𝑥 como 𝑥 más dos sobre 𝑥 más dos multiplicado por 𝑥 menos dos. Y vemos que podemos cancelar un factor de 𝑥 más dos.

Sin embargo, debemos tener cuidado ya que, al hacer esto, estamos modificando ligeramente la función. Después de cancelar el factor, podemos llamar a la nueva función 𝑔 de 𝑥. Tenemos que 𝑔 de 𝑥 es igual a uno sobre 𝑥 menos dos. Podemos ver cómo estas dos funciones difieren ligeramente al considerar los dominios de cada una de ellas.

Podemos ver que si ingresamos 𝑥 igual a menos dos en 𝑓 de 𝑥, tendremos una salida no definida. Ya que esto le daría a 𝑓 un denominador de cero. Sin embargo, podemos ingresar 𝑥 igual a menos dos en 𝑔 de 𝑥.

Ahora es importante darse cuenta de que, aunque estas dos funciones difieren ligeramente, tienen las mismas asíntotas. Por lo tanto, podemos hallar las asíntotas de 𝑓 encontrando las asíntotas de 𝑔. Busquemos, pues, estas asíntotas. Podemos identificar una asíntota vertical como cualquier valor de entrada sin valor de salida definido.

Como 𝑔 de 𝑥 es una función racional, esto sucede cuando el denominador es igual a cero, es decir, cuando 𝑥 menos dos es igual a cero. Al reorganizar esto, obtenemos 𝑥 igual a dos. Por lo tanto, 𝑔 de 𝑥 tiene una asíntota vertical en 𝑥 igual a dos. Podemos identificar una asíntota horizontal como cualquier valor que no está en el rango de la función. Podemos encontrar dichos valores estudiando lo que sucede cuando 𝑥 tiende a más o menos ∞.

Podemos ver que a medida que 𝑥 crece en la dirección positiva o negativa, el denominador de 𝑔 de 𝑥 incrementa en sentido positivo o negativo, respectivamente. Por lo tanto, 𝑔 de 𝑥 se acercará más y más a cero. Y hemos hallado que 𝑔 de 𝑥 tiene una asíntota horizontal en 𝑦 igual a cero.

Como 𝑔 de 𝑥 y 𝑓 de 𝑥 comparten las mismas asíntotas, al encontrar las asíntotas verticales y horizontales de 𝑔, hemos encontrado las asíntotas verticales y horizontales de 𝑓. Y esto completa nuestra solución a esta cuestión.

Pero antes de continuar, consideremos rápidamente cómo 𝑔 y 𝑓 difieren con un bosquejo rápido. Aquí tenemos dibujos de 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥. Podemos ver las asíntotas en 𝑦 igual a cero y 𝑥 igual a dos. La única diferencia entre estas dos gráficas es que 𝑓 de 𝑥 no está definida en 𝑥 igual a menos dos. Y 𝑔 de 𝑥 está definida en 𝑥 igual a menos dos. Y a pesar de esto, podemos ver que ambas gráficas tienen las mismas asíntotas. En nuestro ejemplo final, vamos a ver cómo podemos usar las asíntotas para identificar la gráfica de una función.

¿Cuál de los siguientes gráficos representa 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥 más uno?

Comencemos por hallar las asíntotas verticales de 𝑓 de 𝑥. Podemos encontrar asíntotas verticales identificando valores de entrada sin valor de salida definido. Como 𝑓 de 𝑥 es una función racional, esto ocurre cuando su denominador es cero, cuando 𝑥 más uno es igual a cero. Reorganizando, vemos que esto es cuando 𝑥 es igual a menos uno.

Aquí podemos deducir que 𝑓 de 𝑥 tiene una asíntota vertical en 𝑥 igual a menos uno. c) y d) son las únicas gráficas con asíntotas verticales en 𝑥 igual a menos uno. Por lo tanto, podemos eliminar las opciones a) y b). Cuando miramos las gráficas en c) y d), vemos que ambas tienen una asíntota horizontal en 𝑦 igual a cero. Por consiguiente, nuestra función 𝑓 de 𝑥 ha de tener una asíntota horizontal en 𝑦 igual a cero.

Veamos cómo difieren las gráficas c) y d). Para la gráfica c), vemos que cuando 𝑥 es menor que menos uno, 𝑓 de 𝑥 es negativo. Y cuando 𝑥 es mayor que menos uno, 𝑓 de 𝑥 es positivo. Sin embargo, para la gráfica d), cuando 𝑥 es menor que menos uno, 𝑓 de 𝑥 es positivo. Y cuando 𝑥 es mayor que menos uno, 𝑓 de 𝑥 es negativo.

Veamos qué sucede con la función 𝑓 de 𝑥 que nos dan cuando 𝑥 es menor que menos uno y cuando 𝑥 es mayor que menos uno. Hallamos que cuando 𝑥 es menor que menos uno, 𝑥 más uno es negativo. Por lo tanto, 𝑓 de 𝑥 también debe ser negativo. Y cuando 𝑥 es mayor que menos uno, 𝑥 más uno es positivo. Así que, 𝑓 de 𝑥 también es positivo. Y esta información sobre 𝑓 coincide con lo mostrado en el gráfico c). Por tanto, nuestra solución es que el gráfico c) representa nuestra función 𝑓 de 𝑥.

Hemos analizado una variedad de ejemplos de cómo podemos encontrar asíntotas y lo útiles que pueden ser, especialmente para identificar o dibujar gráficas. Revisemos algunos puntos clave del video.

Puntos clave. Para hallar las asíntotas verticales de una función, necesitamos identificar aquellos puntos que dan lugar a un valor cero de un denominador. Pero debemos tener cuidado por si la función pudiera ser simplificada. Para hallar las asíntotas horizontales de una función racional, necesitamos identificar aquellos valores que la función no puede tomar. Sin embargo, debemos tener cuidado aquí también ya que la función puede tomar el valor en la asíntota como vimos en el primer ejemplo. Podemos usar las asíntotas para ayudarnos a identificar el dominio y el rango de una función. Y finalmente, podemos usar las asíntotas para ayudarnos a dibujar o identificar la gráfica de una función.

Nagwa usa cookies para asegurarse de que disfrutes de la mejor experiencia en nuestro sitio web. Descubrir más acerca de nuestra Política de privacidad.