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Vídeo de la lección: Derivar e integrar series de potencias Matemáticas • Educación superior

En este video, vamos a aprender cómo derivar e integrar series de potencias usando la derivación e integración término a término, y cómo utilizar los resultados para hallar una representación en serie de potencias de funciones.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo podemos hallar una serie de potencias derivando o integrando otra serie de potencias. También vamos a aprender cómo hallar una representación en serie de potencias de una función 𝑓 integrando una serie de potencias de su derivada. Vamos a ver además cómo podemos hallar el intervalo de convergencia de una serie de potencias usando cálculo.

Comenzamos recordando que una serie de potencias es una función 𝑓 de 𝑥 que está dada por la sumatoria de 𝐶𝑛 por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞. Y el dominio de esta función es el intervalo de convergencia de la serie. Sería muy conveniente poder derivar e integrar tales funciones. Y aunque no lo vamos a demostrar en este video, el siguiente teorema dice que podemos hacerlo simplemente derivando o integrando cada término individual en la serie. Tal como haríamos con un polinomio.

Este teorema dice que, si nuestra serie de potencias tiene un radio de convergencia 𝑅 mayor que cero. La función 𝑓 definida por 𝑓 de 𝑥 igual a 𝐶 cero más 𝐶 uno por 𝑥 menos 𝑎 más 𝐶 dos por 𝑥 menos 𝑎 al cuadrado, etcétera. Lo que, por supuesto, puede ser escrito como la sumatoria de 𝐶𝑛 por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞, es derivable y, por lo tanto, continua en el intervalo abierto de 𝑎 menos 𝑅 a 𝑎 más 𝑅.

Si realizamos esta derivación término a término obtenemos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a la sumatoria de 𝑛 por 𝐶𝑛 por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛 menos uno, para valores de 𝑛 entre uno e ∞. De manera similar, si integramos nuestra función con respecto a 𝑥, obtenemos que es igual a la sumatoria de 𝐶𝑛 por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛 más uno dividido por 𝑛 más uno para valores de 𝑛 entre cero e ∞ más, por supuesto, la constante de integración 𝐶. Denotamos esta constante con una 𝐶 mayúscula. Y debe quedar claro que está fuera de la sumatoria.

En cada una de estas ecuaciones, los radios de convergencia son ambos 𝑅. Cabe señalar que, si bien el radio de convergencia 𝑅 sigue siendo el mismo cuando una serie de potencias ha sido derivada o integrada, el intervalo de convergencia puede no serlo. En otras palabras, los extremos del intervalo pueden pasar de ser incluidos a no ser incluidos, o viceversa. En definitiva, podemos extender funciones a estas sumas infinitas la propiedad de que la derivada o integral de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas o integrales de esas. Y podemos escribir estas propiedades como se muestra, siempre que trabajemos con series de potencias. Veamos ahora un par de ejemplos en los que podremos aplicar estas propiedades.

Considera la serie 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 sobre uno menos 𝑥 al cuadrado, que es igual a la sumatoria de 𝑥 a la dos 𝑛 más uno para valores de 𝑛 desde cero hasta ∞. Deriva término a término el desarrollo en serie de 𝑓 para hallar el desarrollo en serie correspondiente a la derivada de 𝑓.

Empecemos usando la serie de potencias para escribir los primeros términos. El primer término es cuando 𝑛 es igual a cero. Es 𝑥 elevado a dos por cero más uno, que es uno. Hacemos ahora 𝑛 igual a uno. Y obtenemos dos por uno más uno, que es tres. Después, hacemos 𝑛 igual a dos. Hallamos que el exponente es igual a cinco. Y podemos continuar de esta manera. Hallamos que los primeros términos son 𝑥 elevado a uno más 𝑥 al cubo más 𝑥 a la quinta más 𝑥 a la séptima, etcétera.

Nos piden que derivemos el desarrollo de la serie de 𝑓 término a término. Y eso es lo que vamos a hacer. La derivada de 𝑥 con respecto a 𝑥 es uno. Y recordamos que, para cualquier potencia, derivamos multiplicando por el exponente y después reduciendo ese exponente en uno. Así que la derivada de 𝑥 al cubo es tres 𝑥 al cuadrado. La derivada de 𝑥 a la quinta es cinco 𝑥 a la cuarta. Derivamos 𝑥 a la séptima, y obtenemos siete 𝑥 a la sexta, y así sucesivamente.

Necesitamos encontrar una manera de escribir esto como una sumatoria. Repasemos lo que hemos hecho. Hemos multiplicado por el exponente cada vez. Y ese exponente se generó usando la expresión dos 𝑛 más uno. Luego redujimos cada exponente en uno, y sabemos que el exponente original era dos 𝑛 más uno. De modo que nuestro nuevo exponente es dos 𝑛 más uno menos uno. Los límites de nuestra sumatoria siguen siendo los mismos. Son desde 𝑛 igual a cero hasta ∞. Y dos 𝑛 más uno menos uno es simplemente dos 𝑛. Y así, al derivar término a término, obtenemos el desarrollo en serie de potencias correspondiente a la derivada de 𝑓. Es la sumatoria de dos 𝑛 más uno por 𝑥 elevado a dos 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞.

A continuación, vamos a ver un ejemplo en el que tendremos que integrar.

Para la función dada 𝑓 de 𝑥 igual al logaritmo neperiano de uno más dos 𝑥, halla una representación en serie de potencias para 𝑓 integrando la serie de potencias para 𝑓 prima.

No tenemos un buen desarrollo en serie de potencias para la función 𝑓 de 𝑥 igual al logaritmo neperiano de uno más dos 𝑥. Pero notamos que la derivada de 𝑓, 𝑓 prima de 𝑥, es dos sobre uno más dos 𝑥. Así que vamos a comenzar con una ecuación que hemos visto antes. Uno sobre uno menos 𝑥 es igual a uno más 𝑥 más 𝑥 al cuadrado más 𝑥 al cubo, etcétera. Que podemos escribir como la sumatoria de 𝑥 a la 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞.

Escribamos nuestra derivada como dos por uno sobre uno más dos 𝑥. Y usemos la igualdad mencionada anteriormente, reemplazando 𝑥 con menos dos 𝑥. Y esto es porque lo queremos en la forma uno menos algo. Y uno menos menos dos 𝑥 nos da uno más dos 𝑥, que es lo que buscamos. Por lo tanto, podemos usar esta ecuación para escribir uno sobre uno más dos 𝑥 como uno más menos dos 𝑥 más menos dos 𝑥 al cuadrado más menos dos 𝑥 al cubo, etcétera. Y esto se puede escribir como la sumatoria de menos dos 𝑥 a la 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞.

𝑓 prima de 𝑥 es dos por uno sobre uno más dos 𝑥. Es decir, es dos por la sumatoria de menos dos 𝑥 a la 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero y ∞. Dos es independiente de 𝑛. Por lo tanto, lo podemos meter dentro de la suma. Y reescribimos menos dos 𝑥 como dos por menos uno por 𝑥.

Luego desarrollamos este exponente en cada término. Y vemos que tenemos la sumatoria de dos por dos a la 𝑛 multiplicada por menos uno a la 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛. Dos por dos a la 𝑛 se puede escribir como dos a la 𝑛 más uno. Así que hemos obtenido nuestra expresión para 𝑓 prima de 𝑥.

Queremos encontrar una representación en serie de potencias para 𝑓. Recordamos que podemos lograr esto integrando nuestra expresión para 𝑓 prima de 𝑥. Y podemos hacerlo integrando cada término individual en la serie. Esto es a lo que llamamos integración término a término. Aquí esa es la integral de la sumatoria de dos a la 𝑛 más uno por menos uno a la 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛 entre 𝑛 igual a cero e ∞ con respecto a 𝑥.

Y, como estamos tratando con una serie de potencias, podemos escribir esto como la sumatoria de las integrales. Pero ¿cómo vamos a integrar dos a la 𝑛 más uno por menos uno a la 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛? Pues, no importa el valor de 𝑛, dos a la 𝑛 más uno multiplicado por menos uno a la 𝑛 es una constante. Esto significa que podemos sacarlo fuera de la integral y enfocarnos en integrar 𝑥 a la 𝑛.

Cuando integramos 𝑥 a la 𝑛, sabemos que 𝑛 es un entero positivo. Así que simplemente agregamos uno al exponente y luego dividimos por ese nuevo número. Tenemos 𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno. Y tenemos, por supuesto, esta constante de integración 𝐶, que está fuera de la sumatoria. ¿Cómo hallamos el valor de esa constante de integración 𝐶?

Volvamos a 𝑓 de 𝑥. Nos dicen que es igual al logaritmo neperiano de uno más dos 𝑥. Y sabemos que, si igualamos 𝑥 a cero, obtenemos un valor bastante bueno para 𝑓 de cero. Es el logaritmo neperiano de uno más dos por cero, que es logaritmo neperiano de uno, que por supuesto es cero. Al reemplazar 𝑓 de 𝑥 con cero y 𝑥 con cero, hallamos que cero es igual a la sumatoria de dos a la 𝑛 más uno multiplicado por menos uno a la 𝑛 más cero a la 𝑛 más uno sobre cero más uno más 𝐶.

Cero a la 𝑛 más uno sobre cero más uno es siempre cero. Y tenemos una sumatoria de ceros, que es cero. Y hallamos que la constante de integración vale cero. Así que, integrando la serie de potencias para 𝑓 prima, hemos hallado una representación de serie de potencias para 𝑓. Es la sumatoria de dos a la 𝑛 más uno por menos uno a la 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno.

Veamos otro ejemplo.

Considera la serie 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre uno más 𝑥, que es igual a la sumatoria de menos uno a la 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛, para valores de 𝑛 entre cero e ∞. Deriva término a término este desarrollo en serie de potencias de 𝑓 para hallar la serie de potencias correspondiente a la derivada de 𝑓. Luego usa el resultado de la primera parte para evaluar la sumatoria de menos uno a la 𝑛 más uno por 𝑛 más uno sobre tres a la 𝑛, para valores de 𝑛 entre cero e ∞.

Nos han dado el desarrollo en serie de potencias de 𝑓. Escribamos los primeros términos. El primer término es cuando 𝑛 es igual a cero. Es menos uno elevado a cero por 𝑥 elevado a cero, que es igual a uno. El segundo término es cuando 𝑛 es igual a uno. Por lo tanto, es menos uno elevado a uno por 𝑥 elevado a uno, que es menos 𝑥. Después sumamos menos uno al cuadrado por 𝑥 al cuadrado, que es 𝑥 al cuadrado. Continuamos de esta manera. Y vemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a uno menos 𝑥 más 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 al cubo más 𝑥 a la cuarta menos 𝑥 a la quinta, etcétera.

La cuestión nos dice que derivemos el desarrollo de la serie dada de 𝑓 que nos dará 𝑓 prima. Y, por supuesto, podemos hacer esto término a término. La derivada de uno es cero, y la derivada de menos 𝑥 es menos uno. La derivada de 𝑥 al cuadrado es dos 𝑥. Y nuestro siguiente término es menos tres 𝑥 al cuadrado.

Continuamos de esta manera, multiplicando cada término por su exponente y luego reduciendo ese exponente en uno. Ignorando el cero, vemos que podemos escribir 𝑓 prima de 𝑥 como menos 𝑥 elevado a cero —recuerda, eso es simplemente menos uno— más dos 𝑥 elevado a uno menos tres 𝑥 al cuadrado más cuatro 𝑥 al cubo, etcétera.

Pensemos cómo podemos escribir esto como una sumatoria. Sabemos que comenzamos con un término negativo, y después el signo se alterna. Para lograr esto, necesitamos menos uno a la 𝑛 más uno. Esto funcionará para valores de 𝑛 entre cero e ∞. Luego multiplicamos cada término por 𝑛 más uno. El primer término es cuando 𝑛 es igual a cero. Y lo multiplicamos por uno. El segundo término es cuando 𝑛 es igual a uno. Y lo multiplicamos por dos, y así sucesivamente. Y esto es todo por 𝑥 a la 𝑛.

Y así hemos hallado el desarrollo en serie de la derivada de 𝑓. Es la sumatoria de menos uno a la 𝑛 más uno por 𝑛 más uno por 𝑥 a la 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞.

La segunda parte dice que usemos el resultado de la primera parte para evaluar la sumatoria de menos uno a la 𝑛 más uno por 𝑛 más uno sobre tres a la 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞. Comparemos esta sumatoria con la que obtuvimos en la primera parte de esta cuestión. Si reescribimos esto como la sumatoria de menos uno a la 𝑛 más uno por 𝑛 más uno por un tercio a la 𝑛, vemos que tienen la misma forma. Simplemente hay que hacer 𝑥 igual a un tercio.

Lo que vamos a hacer es derivar nuestra función original de uno sobre uno más 𝑥 y evaluar eso en 𝑥 igual a un tercio. Escribimos 𝑓 de 𝑥 como uno más 𝑥 elevado a menos uno. Y después usamos la regla de la cadena. Cuando lo hacemos, hallamos que su derivada es igual a menos uno sobre uno más 𝑥 al cuadrado. La suma de nuestra serie será el valor de la derivada en 𝑥 igual a un tercio. Eso es menos uno sobre uno más un tercio al cuadrado. Eso es menos uno sobre 16 sobre nueve, que es simplemente menos nueve dieciseisavos.

En nuestro último ejemplo, vamos a ver cómo hallar el intervalo de convergencia de la derivada de una serie de potencias.

Considera la serie 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre uno menos 𝑥 al cuadrado, que es igual a la sumatoria de 𝑥 elevado a dos 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞. Halla el intervalo de convergencia para la derivada de la serie dada.

Nos han dado un desarrollo en serie de potencias de nuestra función. Y queremos encontrar el intervalo de convergencia de su derivada. Así que, comenzamos recordando que la derivada de la sumatoria de 𝑥 elevado a dos 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞ es igual a la sumatoria de la derivada de 𝑥 elevado a dos 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞.

Para derivar una potencia, multiplicamos todo el término por su exponente y luego lo reducimos en uno. En este caso, la derivada 𝑓 prima de 𝑥 es la sumatoria de dos 𝑛 por 𝑥 elevado a dos 𝑛 menos uno para valores de 𝑛 entre cero e ∞. Pero ¿cómo demostramos la convergencia?

Pues bien, recordemos el criterio de d'Alembert. Estamos buscando específicamente la convergencia. Podemos usar la primera parte de este criterio. Que dice que si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛 es menor que uno, la serie sumatoria de 𝑎 𝑛 converge. En nuestro caso, 𝑎 𝑛 es dos 𝑛 por 𝑥 elevado a dos 𝑛 menos uno. 𝑎 𝑛 más uno es dos por 𝑛 más uno por 𝑥 elevado a dos 𝑛 más uno menos uno. Dividimos por dos y desarrollamos nuestros paréntesis. Y vemos que estamos buscando el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑛 más uno por 𝑥 elevado a dos 𝑛 más uno sobre 𝑛 por 𝑥 elevado a dos 𝑛 menos uno.

Después recordamos que cuando dividimos 𝑥 elevado a dos 𝑛 más uno por 𝑥 elevado a dos 𝑛 menos uno, restamos sus exponentes. Y esto se simplifica a 𝑥 al cuadrado. 𝑥 es independiente de 𝑛. Así que podemos reescribir esto como el valor absoluto de 𝑥 al cuadrado por el límite cuando que 𝑛 tiende a ∞ de 𝑛 más uno todo sobre 𝑛. Podemos dividir cada parte de 𝑛 más uno por 𝑛. Y sabemos que, cuando 𝑛 tiende a ∞, uno sobre 𝑛 tiende a cero. Esto significa que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno más uno sobre 𝑛 es simplemente uno. Y nos queda simplemente el valor absoluto de 𝑥 al cuadrado.

Estamos interesados en saber dónde converge esto. Por lo tanto, necesitamos saber dónde es esto menos que uno. Recordamos que, para que el valor absoluto de 𝑥 al cuadrado sea menor que uno, el valor absoluto de 𝑥 debe ser menor que uno. Lo que significa que 𝑥 debe ser mayor que menos uno o menor que uno. Y así hemos encontrado el intervalo de convergencia para la derivada de nuestra serie. Es el intervalo abierto de menos uno a uno.

En este video, hemos visto que podemos derivar o integrar series de potencias derivando o integrando individualmente cada término, tal como lo haríamos con un polinomio. A esto lo llamamos derivación e integración término a término. Y esto lo podemos escribir como la derivada de la sumatoria de 𝐶𝑛 por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞. Es igual a la sumatoria de la derivada de 𝐶𝑛 por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛 entre esos mismos valores. Y tenemos una fórmula similar para la integración.

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