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Pendiente de una recta que pasa por dos puntos
La fórmula general de una recta es 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐, donde 𝑚 es la pendiente de la recta, que también se conoce como gradiente. Para calcular el gradiente o la pendiente de una recta, tenemos una fórmula.
De manera informal podemos definir el gradiente o la pendiente de una recta como el cambio en 𝑦 entre los dos puntos dividido por el cambio en 𝑥, y otra manera de definirla es como el cambio vertical partido por el cambio horizontal, así que el cambio vertical va en el numerador y el cambio horizontal en el denominador, exactamente lo mismo que decir cambio en 𝑦 sobre cambio en 𝑥. Solo tenemos que tener cuidado con los valores negativos cuando usamos algo así. Y bien, la fórmula exacta es 𝑦 dos menos 𝑦 uno, todo partido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno, que, la verdad, parece más complicado de lo que es. En esta fórmula, 𝑥 dos y 𝑦 dos son las coordenadas del segundo punto, y 𝑦 uno y 𝑥 uno son las coordenadas del primer punto. Así que vamos a usar esta fórmula para calcular la pendiente de una recta de la que conocemos dos puntos.
Calcula la pendiente de la recta que pasa por tres seis y cinco ocho. Primero hemos de acordarnos de la fórmula que dice que el cambio en 𝑦, 𝑦 dos menos 𝑦 uno, se divide por el cambio en 𝑥, que es 𝑥 dos menos 𝑥 uno. Así que vamos a considerar cada par de coordenadas, tenemos el primer par de coordenadas; 𝑥 uno es tres y 𝑦 uno es seis.
Y en nuestro segundo par de coordenadas, 𝑥 dos es cinco y 𝑦 dos es ocho. Sustituimos, y lo primero es 𝑦 dos, que vale ocho. Entonces, en el numerador, tendremos ocho menos lo que es 𝑦 uno, que es seis, todo dividido por 𝑥 dos, que es cinco, menos lo que vale 𝑥 uno, y eso es tres.
Así que, en el numerador, tenemos ocho menos seis, lo que nos da dos, y luego lo dividimos por cinco menos tres, que también es dos. Dos entre dos es uno.
No obstante, si no recordamos esta fórmula, podemos pensar en el cambio en 𝑦 sobre el cambio en 𝑥, así que tenemos que hallar el cambio en las coordenadas 𝑦. Para pasar de seis a ocho, tenemos que sumar dos, así que obtenemos que dos es el numerador y luego el cambio en 𝑥 para pasar de tres a cinco. De nuevo sumamos dos, así que obtenemos que dos es el denominador, y luego tenemos uno.
Ahora bien, si elegimos usar este método, el cambio en 𝑦 sobre el cambio en 𝑥, tenemos que tener cuidado de asegurarnos de pasar de un par de coordenadas al otro par de coordenadas. No podemos ir, por ejemplo, de seis a ocho, y luego de cinco a tres. Tenemos que asegurarnos de pasar de un conjunto completo al otro conjunto completo. Hay ventajas al usar la fórmula de 𝑦 dos menos 𝑦 uno, todo partido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno, ya que nos ayuda a recordar otra fórmula que aprenderemos más adelante.
Halla la pendiente de la recta que pasa por seis, menos tres y por dos, menos dos. Así que vamos a hacer exactamente lo mismo que hicimos la última vez. Como vemos, 𝑥 uno y 𝑦 uno son seis y menos tres, respectivamente, y 𝑥 dos y 𝑦 dos son dos y menos dos, respectivamente.
Lo cierto es que no importa qué conjunto de coordenadas decidimos que es el primero y qué conjunto decidimos que es el segundo, siempre y cuando nos aseguremos de que tratamos a 𝑥 uno 𝑦 uno, y a 𝑦 dos 𝑦 dos como pares. Veamos pues la fórmula.
La pendiente es 𝑦 dos menos 𝑦 uno, todo partido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno, donde 𝑦 dos es igual a menos dos, y estamos restando menos tres a eso. Y eso es todo dividido por 𝑥 dos, que es dos, menos 𝑥 uno, que es seis, así que dos menos seis.
Luego, en el numerador, tenemos menos dos menos menos tres, que es lo mismo que decir menos dos más tres. Menos dos más tres es uno, y eso está dividido por dos menos seis, que es menos cuatro.
Como sabes, no escribimos las fracciones así, sino que ponemos el signo menos delante. Y tenemos que la pendiente de la recta entre estos dos puntos es menos uno partido por cuatro o un cuarto.
E insistimos, si solo quisiéramos usar el cambio en 𝑦 y el cambio en 𝑥, si nos fijamos en las 𝑦, para pasar de menos tres a menos dos, sumamos uno, y para pasar de seis a dos restamos cuatro, así que obtenemos lo mismo que uno partido por menos cuatro, pero no escribimos eso; sacamos el signo menos delante, lo que nos da menos un cuarto.
Así que eso es lo que hemos hecho: hemos calculado la pendiente de una recta entre dos puntos usando la fórmula, o sea, el cambio en 𝑦 dividido por el cambio en 𝑥.
