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Vídeo de la lección: Ecuaciones de rectas verticales y horizontales Matemáticas

En este vídeo vamos a aprender cómo escribir la ecuación de una recta vertical y de una recta horizontal.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo escribir la ecuación de una recta vertical y de una recta horizontal. Como ya sabrás, una recta horizontal va de lado a lado; piensa, por ejemplo, en el horizonte, mientras que una recta vertical va hacia arriba y hacia abajo. Dibujemos una recta horizontal y vertical sencilla y busquemos regularidades.

Aquí hay una recta horizontal sencilla. Vamos a comenzar identificando las coordenadas de algunos puntos en esta recta. Veamos este punto, por ejemplo. Su coordenada 𝑥 es tres y su coordenada 𝑦 es dos. Así que su par de coordenadas es tres, dos. ¿Y este punto de aquí? Esta vez, las coordenadas de este punto son cinco, dos. ¿Y este otro punto de aquí? Las coordenadas de este punto son menos tres, dos. Tenemos un par de coordenada aquí que es cero, dos y un par de coordenadas aquí que es menos uno, dos. ¿Qué observas sobre cada una de estas coordenadas?

Todos los puntos tienen la misma coordenada 𝑦 igual a dos. Esto significa que podemos escribir la ecuación de esta recta como 𝑦 igual a dos. En general, ocurre que una recta horizontal que corta el eje de las 𝑦 en un valor 𝑎 tiene una ecuación de la forma 𝑦 igual a 𝑎.

¿Qué pasa con las rectas verticales? Identifiquemos algunos puntos en una recta vertical. Este punto tiene coordenadas menos tres, cuatro. Este punto tiene coordenadas menos tres, dos. La recta también pasa por un punto con coordenadas menos tres, menos dos y por un punto con coordenadas menos tres, cero. Entonces, ¿qué vemos esta vez?

Bueno, esta vez, la coordenada 𝑥 no cambia. Siempre es igual a menos tres. Y, por lo tanto, podemos decir que la ecuación de esta recta vertical es 𝑥 igual a menos tres. Podemos generalizar y decir que la ecuación de una recta vertical que corta el eje de las 𝑥 en el punto 𝑏 es de la forma 𝑥 igual a 𝑏.

Pero ¡ojo!, porque un error muy común aquí es pensar que, como la recta es paralela al eje de las 𝑦, la ecuación debe ser de la forma 𝑦 igual a menos tres. Un truco para acordarnos de que esa no es la forma correcta de la ecuación es fijarnos en el eje que la recta corta. Esta recta corta el eje 𝑥 en menos tres. Así que su ecuación es 𝑥 igual a menos tres.

Veamos un ejemplo de esto.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta paralela al eje 𝑥? ¿Es (A) menos 𝑥 menos cinco 𝑦 igual a tres, (B) menos dos 𝑥 menos 𝑦 igual a cero, (C) menos nueve 𝑦 menos siete igual a cero, o (D) ocho 𝑥 más tres 𝑦 igual a menos nueve?

Una recta paralela al eje de las 𝑥 es una recta horizontal. Podría ser esta recta, por ejemplo. Y sabemos que la ecuación de una recta horizontal que corta el eje 𝑦 en un punto 𝑎 es de la forma 𝑦 igual a 𝑎. Así que vamos a reorganizar cada una de nuestras ecuaciones para despejar 𝑦. Nuestro objetivo aquí es hallar una ecuación de la forma 𝑦 igual a una constante.

Comencemos con la ecuación menos 𝑥 menos cinco 𝑦 igual a tres. Primero vamos a sumar 𝑥 en ambos lados. Al hacerlo, obtenemos que menos cinco 𝑦 es igual a tres más 𝑥. Seguidamente dividimos por menos cinco. Y al hacerlo, obtenemos la ecuación 𝑦 igual a tres más 𝑥 partido por menos cinco o menos tres menos 𝑥 partido por cinco.

Esta ecuación claramente no es de la forma 𝑦 igual a una constante. Así que descartamos la ecuación (A). Y está claro además que, si reorganizamos la ecuación (B) y la ecuación (D), obtenemos en ambas que 𝑦 también es una función de 𝑥. Son ecuaciones de rectas oblicuas. Así que descartamos también (B) y (D). De esta forma nos queda solo la opción (C). Vamos a comprobarla.

Primero sumamos siete en ambos miembros de la ecuación. Y obtenemos que menos nueve 𝑦 es igual a siete. Luego, dividimos por menos nueve para obtener 𝑦 igual a menos siete novenos. Así que la ecuación es de la forma 𝑦 igual a una constante. Y, por lo tanto, la ecuación correcta es la (C). Es menos nueve 𝑦 menos siete igual a cero.

Y, por supuesto, la gráfica de la ecuación 𝑦 igual a menos siete novenos corta el eje de las 𝑦 en menos siete novenos. Su coordenada 𝑦 siempre es menos siete novenos.

Vamos a resolver ahora una cuestión en la que se nos pide hallar la ecuación de una recta paralela al eje de las 𝑦.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta paralela al eje 𝑦? ¿Es (A) cinco 𝑥 menos nueve igual a cero, (B) menos tres 𝑥 más nueve 𝑦 igual a cero, (C) nueve 𝑥 más 𝑦 igual a menos cuatro, o (D) siete 𝑥 más seis 𝑦 igual a cuatro?

Una recta paralela al eje de las 𝑦 es una recta vertical. O sea, es una recta como esta. Y sabemos que la ecuación de una recta vertical que corta el eje 𝑥 en un valor 𝑎 es de la forma 𝑥 igual a 𝑎, donde 𝑎 es una constante. Así que vamos a considerar una por una las ecuaciones que se nos han dado y vamos a despejar 𝑥.

Consideremos la ecuación (A). Para despejar 𝑥 vamos a efectuar una serie de operaciones. Lo primero que vamos a hacer es eliminar el menos nueve. Así que sumamos nueve en ambos lados. De esta forma, nuestra ecuación se convierte en cinco 𝑥 igual a nueve. Seguidamente dividimos entre cinco, y obtenemos que 𝑥 es igual a nueve quintos. Y hemos obtenido, de hecho, una ecuación de la forma 𝑥 igual a un valor constante. Así que la ecuación A representa una recta paralela al eje de las 𝑦.

Consideremos las ecuaciones (B), (C) y (D). Cada una de esas ecuaciones contiene una 𝑥 y una 𝑦. Así que, si las reorganizamos para despejar la 𝑥, obtenemos que 𝑥 es una función de 𝑦. Esto nos dice que las ecuaciones (B), (C) y (D) representan rectas oblicuas, no verticales. Por lo tanto, la respuesta correcta es la (A).

Determina la ecuación de la recta que es paralela al eje de las 𝑥 y pasa por el punto menos un medio, cuatro.

Una recta paralela al eje 𝑥 es como esta. Es una recta horizontal. Y sabemos que la ecuación de una recta horizontal que corta el eje de las 𝑦 en un punto 𝑎 es de la forma 𝑦 igual a 𝑎. Por lo tanto, una forma de calcular 𝑎 es hallar el punto de intersección de la recta con el eje de las 𝑦.

De otro modo, sabemos que, como es una recta horizontal, todas sus coordenadas 𝑦 serán las mismas. Vemos que, cuando 𝑥 es igual a menos un medio, 𝑦 es igual a cuatro. Y, por lo tanto, todas las coordenadas 𝑦 en esta recta deben ser iguales a cuatro. Esto significa que la recta corta el eje de las 𝑦 en cuatro. Y, por lo tanto, su ecuación es 𝑦 igual a cuatro.

En nuestro siguiente ejemplo vamos a aprender cómo escribir la ecuación de una recta vertical en una forma alternativa, conociendo uno de sus puntos.

Determina la ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto menos cinco, menos cinco y es paralela al eje de las 𝑦.

Una recta paralela al eje de las 𝑦 es una recta vertical como esta. Y sabemos que la ecuación de una recta vertical que corta el eje de las 𝑥 en un punto 𝑎 es de la forma 𝑥 igual a 𝑎. Eso sí, hay que andarse con ojo porque un error común aquí es pensar que, como esta recta es paralela al eje de las 𝑦, su ecuación es de la forma 𝑦 igual a un valor. Eso no es cierto. Corta el eje de las 𝑥 en 𝑎. Así que su ecuación es 𝑥 igual a 𝑎.

Una forma de calcular 𝑎 es hallar el punto de intersección de la recta con el eje de las 𝑥. Y, además, sabemos que, como es vertical, todas sus coordenadas 𝑥 serán las mismas. Sabemos que cuando 𝑥 es menos cinco, 𝑦 es menos cinco. Así que todas las coordenadas 𝑥 de esta recta son menos cinco. Eso significa que la recta también corta el eje de las 𝑥 en el punto menos cinco.

Por lo tanto, podemos decir que la ecuación de la recta es 𝑥 igual a menos cinco, aunque podemos sumar cinco en ambos lados y escribir esto como 𝑥 más cinco igual a cero. La ecuación de la recta que pasa por el punto menos cinco, menos cinco, y es paralela al eje de las 𝑦, es 𝑥 más cinco igual a cero.

En el último ejemplo vamos a aprender cómo escribir las ecuaciones de un par de rectas horizontales y verticales conociendo su punto de intersección.

Halla las ecuaciones de las rectas paralelas a los dos ejes que pasan por menos dos, menos 10.

Vamos a dibujar esto. Aquí está el punto menos dos, menos 10. Se nos dice que hay un par de rectas que pasan por este punto y que son paralelas a los dos ejes. Así que tenemos una recta horizontal y una recta vertical. Recuerda que la ecuación de una recta horizontal que interseca el eje de las 𝑦 en un valor 𝑎 es de la forma 𝑦 igual a 𝑎. Mientras que una recta vertical que interseca el eje de las 𝑥 en un punto 𝑏 tiene la ecuación 𝑥 igual a 𝑏.

Para resolver esta cuestión tenemos que calcular 𝑎 y 𝑏. Comencemos con la recta horizontal. Sabemos que, en la recta horizontal, todas las coordenadas 𝑦 se mantienen iguales. Según nuestro punto, cuando 𝑥 es menos dos, 𝑦 es menos 10. Por lo tanto, la coordenada 𝑦 siempre será menos 10 en esta recta horizontal. Por lo tanto, debe intersecar el eje de las 𝑦 en menos 10. Así que su ecuación ha de ser 𝑦 igual a menos 10.

Del mismo modo, sabemos que, para las rectas verticales, sus coordenadas 𝑥 permanecen iguales. Y, según nuestro punto, cuando 𝑥 es menos dos, 𝑦 es menos 10. Así que las coordenadas 𝑥 de nuestra recta vertical siempre serán menos dos. Por lo tanto, la ecuación de la recta vertical es 𝑥 igual a menos dos. Las ecuaciones de las rectas paralelas a los dos ejes que pasan por menos dos, menos 10 son 𝑥 igual a menos dos y 𝑦 igual a menos 10.

En esta lección hemos aprendido que las coordenadas 𝑦 de todos los puntos que se encuentran en la misma recta horizontal deben ser las mismas. También hemos visto que, si esta recta horizontal interseca el eje de las 𝑦 en un punto 𝑎, entonces su ecuación es de la forma 𝑦 igual a 𝑎. Del mismo modo, hemos aprendido que las coordenadas 𝑥 de todos los puntos que se encuentran en la misma recta vertical son las mismas. Y que, para estas rectas verticales, si su coordenada 𝑥 es 𝑏, es decir, si intersecan el eje de las 𝑥 en 𝑏, su ecuación es de la forma 𝑥 igual a 𝑏.

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