Vídeo: Operaciones con números complejos expresados en forma trigonométrica o en forma polar

En este video, vamos a aprender cómo realizar cálculos con números complejos en la forma polar.

17:54

Transcripción del vídeo

Anteriormente, aprendimos sobre la forma polar de un número complejo. También se conoce como forma módulo-argumento y es esencialmente lo mismo que la forma trigonométrica. Hemos visto cómo identificar cuando el número complejo está escrito en esta forma y cómo pasarlo de esta forma a 𝑎 más 𝑏𝑖, conocida como la forma binómica de un número complejo. Pero no hemos visto por qué deberíamos escribir un número complejo en forma polar. ¿Qué la hace mejor que la forma binómica? La respuesta o parte de la respuesta es que la forma polar facilita la multiplicación.

Recapitulemos la forma trigonométrica de un número complejo. Esto es 𝑧 igual a 𝑟 por cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃, en donde 𝑟 debe ser mayor o igual que cero. Con 𝑧 escrito en esta forma, podemos simplemente leer el módulo y el argumento. Este módulo es el valor de 𝑟. Y este argumento es el valor de 𝜃. Esto explica por qué la forma polar también es conocida como forma módulo-argumento. Esto se entiende mejor usando una representación gráfica en el plano complejo. El módulo 𝑟 es la distancia al punto 𝑧 desde el origen cero. Y el argumento 𝜃 es la medida del ángulo que el vector de cero a 𝑧 hace con el semieje real positivo, y realizando la medida en sentido antihorario. A continuación, vamos a ver cómo la forma polar nos facilita la multiplicación. Así que vamos a necesitar dos números complejos.

Llamemos a este primero 𝑧 uno en lugar de solo 𝑧, con módulo 𝑟 uno y argumento 𝜃 uno, y al segundo número complejo, 𝑧 dos, cuyo módulo es 𝑟 dos y cuyo argumento es 𝜃 dos, haciéndolo 𝑟 dos por cos 𝜃 dos más 𝑖 sen 𝜃 dos en forma trigonométrica. Resulta que hay una expresión muy simple para el producto 𝑧 uno 𝑧 dos en forma. Esto es 𝑟 uno 𝑟 dos por cos 𝜃 uno más 𝜃 dos más 𝑖 sen 𝜃 uno más 𝜃 dos. Esto está en forma trigonométrica, con un módulo de 𝑟 uno por 𝑟 dos. Ese es el producto de los módulos de 𝑧 uno y 𝑧 dos. Y su argumento es 𝜃 uno más 𝜃 dos, que es la suma de los argumentos de 𝑧 uno y 𝑧 dos. Es decir que multiplicamos los módulos, pero sumamos los argumentos. Esto le da una interpretación geométrica al producto de números complejos en el plano complejo.

Podemos pensar en el efecto en 𝑧 uno al multiplicar por 𝑧 dos. Obtendremos los números complejos 𝑧 uno 𝑧 dos, cuyo módulo es 𝑟 dos veces tan grande como 𝑧 uno y cuyo argumento es 𝜃 dos más que 𝑧 uno. Por lo tanto, la multiplicación por 𝑧 dos transforma el plano complejo por una homotecia de razón 𝑟 dos, seguido de un giro de ángulo 𝜃 dos en sentido antihorario. Esto está fuera del alcance de este video. Pero es posible que quieras explorar por tu cuenta qué sucede cuando 𝑧 dos es un número real positivo o un número real negativo o 𝑖 o un número puro cualquiera.

Hemos hecho esta afirmación sobre la multiplicación de números complejos en forma trigonométrica. Y ahora debemos demostrarla. Hacemos esto usando las expresiones para 𝑧 uno y 𝑧 dos en la forma trigonométrica. Podemos ordenar los factores para que 𝑟 dos aparezca junto a 𝑟 uno. Y solo tenemos que preocuparnos por los términos entre paréntesis. Y esta es la multiplicación de dos números complejos en la forma binómica. Obtenemos cos 𝜃 uno cos 𝜃 dos más 𝑖 por cos 𝜃 uno sen 𝜃 dos, observa cómo reordenamos los factores para que 𝑖 quede al frente, más 𝑖 sen 𝜃 uno cos 𝜃 dos más 𝑖 al cuadrado sen 𝜃 uno sen 𝜃 dos. E 𝑖 al cuadrado es menos uno. Así que esto debe ser menos sen 𝜃 uno sen 𝜃 dos al final. Usando este hecho, podemos agrupar los términos reales e imaginarios.

Y, para la parte principal de la prueba, reconocemos las partes real e imaginaria de las identidades trigonométricas de suma de ángulos. La parte real es exactamente cos 𝜃 uno más 𝜃 dos. Y la parte imaginaria después de intercambiar los términos es simplemente sen de 𝜃 uno más 𝜃 dos. Y esto es lo que teníamos que demostrar. Estas identidades trigonométricas parecen salir de la nada para darnos una respuesta inesperadamente agradable. Obtenemos 𝑧 uno por 𝑧 dos en forma trigonométrica. Y podemos leer el módulo y el argumento. El módulo es 𝑟 uno por 𝑟 dos. Y el argumento es 𝜃 uno más 𝜃 dos.

Si volvemos a nuestra afirmación, podemos ver que 𝑟 uno era solo el módulo de 𝑧 uno y 𝑟 dos el módulo de 𝑧 dos. Así que el módulo de 𝑧 uno por 𝑧 dos es el módulo de 𝑧 uno por el módulo de 𝑧 dos. El módulo del producto es el producto de los módulos. Y de igual modo, 𝜃 uno era el argumento de 𝑧 uno y 𝜃 dos de 𝑧 dos. Por tanto, el argumento de 𝑧 uno por 𝑧 dos es el argumento de 𝑧 uno más el argumento de 𝑧 dos. Y saber el módulo y el argumento de este producto nos permite escribirlo en la forma polar. Así que, estos dos hechos son equivalentes a la afirmación que acabamos de demostrar. Y una vez que hemos demostrado nuestra afirmación, es hora de aplicarla.

Sabiendo que 𝑧 uno es igual a dos por cos 𝜋 por seis más 𝑖 sen 𝜋 por seis y 𝑧 dos es igual a uno sobre raíz de tres por cos 𝜋 por tres más 𝑖 sen 𝜋 por tres, halla 𝑧 uno por 𝑧 dos.

Si 𝑧 uno es igual a 𝑟 uno por cos 𝜃 uno más 𝑖 sen 𝜃 uno y 𝑧 dos es igual a 𝑟 dos por cos 𝜃 dos más 𝑖 sen 𝜃 dos, entonces 𝑧 uno por 𝑧 dos es 𝑟 uno por 𝑟 dos por cos 𝜃 uno más 𝜃 dos más 𝑖 sen 𝜃 uno más 𝜃 dos. Comparando lo que tenemos con nuestra fórmula, vemos que 𝑟 uno es dos. Y 𝑟 dos es uno sobre raíz de tres. Y el módulo de nuestro producto, 𝑟 uno por 𝑟 dos, es por tanto dos por uno sobre raíz de tres. ¿Qué hay del argumento? Bien, podemos ver que 𝜃 uno es 𝜋 partido por seis. Y 𝜃 dos es 𝜋 partido por tres. Nuestro argumento es su suma, 𝜋 sobre seis más 𝜋 sobre tres. Y solo nos queda simplificar. Dos por uno sobre raíz de tres es dos sobre raíz de tres. Y podemos racionalizar el denominador si queremos multiplicando tanto el numerador como el denominador por la raíz de tres, para obtener dos raíz de tres sobre tres. ¿Qué hay del argumento? Podemos escribir 𝜋 sobre tres como dos 𝜋 sobre seis. Y, por consiguiente, el argumento es tres 𝜋 sobre seis o 𝜋 partido por dos.

Al realizar la sustitución, vemos que el producto que hemos obtenido es dos raíz de tres sobre tres por cos 𝜋 sobre dos más 𝑖 sen 𝜋 sobre dos. Dejaremos nuestra respuesta en forma trigonométrica a pesar de que conocemos los valores de cos 𝜋 partido por dos y de sen 𝜋 partido por dos. Y con suerte, después de completar este ejemplo, estarás de acuerdo en que multiplicar dos números en forma polar es muy fácil. Solo necesitamos multiplicar sus módulos y sumar sus argumentos. Lo que es menos trabajo que multiplicar dos números en forma binómica.

Veamos otro ejemplo.

Si 𝑧 uno es igual a siete por cos 𝜃 uno más 𝑖 sen 𝜃 uno, 𝑧 dos es igual a 16 por cos 𝜃 dos más 𝑖 sen 𝜃 dos, y 𝜃 uno más 𝜃 dos es igual a 𝜋, ¿qué es 𝑧 uno por 𝑧 dos?

Bueno, sabemos que el módulo de 𝑧 uno por 𝑧 dos es el módulo de 𝑧 uno, que es siete, multiplicado por el módulo de 𝑧 dos. Que es 16. Y siete por 16 es 112. Y también sabemos que el argumento de 𝑧 uno por 𝑧 dos es el argumento de 𝑧 uno más el argumento de 𝑧 dos. El argumento de 𝑧 uno es 𝜃 uno. Y el argumento de 𝑧 dos es 𝜃 dos. Y esto se convierte en 𝜃 uno más 𝜃 dos, lo que se nos dice en la pregunta que es 𝜋. Ya sabemos el módulo y el argumento de este producto. Es fácil escribirlo en forma trigonométrica. Si el módulo de 𝑧 es 𝑟 y el argumento de 𝑧 es 𝜃, podemos escribir 𝑧 en forma polar como 𝑟 por cos 𝜃 más 𝑖 sen 𝜃. En nuestro caso, 𝑟 es 112. Y 𝜃 es 𝜋. Reemplazando, hallamos que 𝑧 uno por 𝑧 dos es 112 por cos 𝜋 más 𝑖 sen 𝜋. Esta es nuestra respuesta en forma polar.

Y también podemos escribir esta respuesta como menos 112. Esto también es aceptable. Y podríamos haber hallado este valor ya sea usando el hecho de que cos 𝜋 es menos uno y sen 𝜋 es cero o usando el hecho de que si un número complejo tiene un argumento de 𝜋, es un número real negativo. Y, por supuesto, el único número real negativo con módulo 112 es menos 112.

Hemos visto que usar la forma polar o la forma trigonométrica de un número complejo hace que la multiplicación sea muy fácil. Y lo mismo es cierto para la división. Si 𝑧 uno es igual a 𝑟 uno por cos 𝜃 uno más 𝑖 sen 𝜃 uno y 𝑧 dos es igual a 𝑟 dos por cos 𝜃 dos más 𝑖 sen 𝜃 dos, entonces, 𝑧 uno sobre 𝑧 dos, el cociente de 𝑧 uno y 𝑧 dos, es 𝑟 uno sobre 𝑟 dos por cos 𝜃 uno menos 𝜃 dos más 𝑖 sen 𝜃 uno menos 𝜃 dos. O, expresado de otra forma, el módulo de un cociente de números complejos es el cociente de sus módulos. Y el argumento de un cociente de números complejos es la diferencia de sus argumentos. Y es esta afirmación equivalente la que vamos a demostrar.

Para demostrarla, necesitamos usar nuestros conocimientos sobre el módulo y el argumento del producto de números complejos. Dados dos números complejos, 𝑤 uno y 𝑤 dos, sabemos que el módulo de su producto es el producto de sus módulos. Y el argumento de su producto es la suma de sus argumentos. Esto ya lo hemos demostrado. La idea clave de nuestra prueba va a ser igualar 𝑤 uno a 𝑧 uno sobre 𝑧 dos y hacer 𝑤 dos igual a 𝑧 dos. Haciendo esta sustitución, hallamos que el módulo de 𝑧 uno sobre 𝑧 dos por 𝑧 dos es el módulo de 𝑧 uno sobre 𝑧 dos por el módulo de 𝑧 dos. Y en el lado izquierdo, las 𝑧 dos se cancelan. Así que obtenemos solo el módulo de 𝑧 uno en el lado izquierdo. Y, podemos reordenar esto para despejar el despejar el módulo de 𝑧 uno sobre 𝑧 dos. Y al hacer esto encontramos que es el módulo de 𝑧 uno sobre el módulo de 𝑧 dos, como es requerido.

Nos queda hacer lo mismo con el argumento. Reemplazando 𝑧 uno sobre 𝑧 dos por 𝑤 uno y 𝑧 dos por 𝑤 dos, hallamos que el argumento de 𝑧 uno sobre 𝑧 dos por 𝑧 dos es el argumento de 𝑧 uno sobre 𝑧 dos más el argumento de 𝑧 dos. Y una vez más, las 𝑧 dos en el lado izquierdo se cancelan. Así que solo obtenemos el argumento de 𝑧 uno en el lado izquierdo. Reordenando, hallamos que el argumento de 𝑧 uno sobre 𝑧 dos es el argumento de 𝑧 uno menos el argumento de 𝑧 dos como queríamos demostrar. Hemos podido demostrar esta afirmación equivalente, respecto al módulo y el argumento del cociente. Y con nuestro módulo y argumento, podemos escribir la forma trigonométrica del cociente 𝑧 uno sobre 𝑧 dos. Esto también se puede demostrar de forma parecida a como hicimos con el producto, escribiendo el cociente de los dos números complejos en forma trigonométrica. Esto no es complicado, pero implica mucha manipulación algebraica. De todos modos, habiendo visto cómo dividir números complejos en forma polar, apliquémoslo a algunos problemas.

Sabiendo que 𝑧 uno es igual a 20 por cos 𝜋 sobre dos más 𝑖 sen 𝜋 sobre dos y 𝑧 dos es igual a cuatro por cos 𝜋 sobre seis más 𝑖 sen 𝜋 sobre seis, halla 𝑧 uno sobre 𝑧 dos en la forma trigonométrica.

Bien, sabemos que sobre el módulo de un cociente de números complejos es el cociente de los módulos. Y sabemos los módulos. Son 20 y cuatro. Así que el módulo de nuestro cociente es 20 dividido por cuatro, que es cinco. Y podemos usar el hecho de que el argumento de un cociente es la diferencia de los argumentos, los cuales en nuestro caso son 𝜋 sobre dos y 𝜋 sobre seis. Y podemos escribir 𝜋 sobre dos con denominador seis. Es tres 𝜋 partido por seis. Así que la diferencia es dos 𝜋 partido por seis, que es 𝜋 partido por tres. Este es el argumento de nuestro cociente. Ahora que tenemos el módulo y el argumento, podemos escribir nuestro cociente en forma polar. 𝑧 uno sobre 𝑧 dos es cinco por cos 𝜋 sobre tres más 𝑖 sen 𝜋 sobre tres. ¿No es esto mucho más fácil que dividir números complejos en forma binómica, en donde hay que multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado complejo del denominador? Creo que sí.

Sabiendo que 𝑧 es igual a cos siete 𝜋 sobre seis más 𝑖 sen siete 𝜋 sobre seis, halla uno sobre 𝑧.

Podríamos hacer esto en la manera en la que dividimos un número complejo en la forma binómica, usando el complejo conjugado de este número para hacer un denominador real. Ahora bien, 𝑧 también está en la forma trigonométrica. Su módulo, que vale uno, no está explícitamente escrito. Pero podemos escribirlo. Y vemos que el argumento es siete 𝜋 partido por seis. Si escribimos uno en la forma polar, tendremos un cociente de dos números complejos en forma polar, el cual sabemos cómo evaluar. El módulo de uno es uno. Y el argumento de uno y de hecho de cualquier número real positivo, es cero. Así que uno en forma polar es uno por cos cero más 𝑖 sen cero.

Se nos pide hallar el recíproco de 𝑧. Pues eso es uno sobre 𝑧. Y hemos escrito tanto uno como 𝑧 en forma trigonométrica. El módulo de su cociente es uno dividido por uno, que es uno. Y su argumento es la diferencia de los argumentos. Eso es cero menos siete 𝜋 sobre seis, que es menos siete 𝜋 sobre seis. No necesitamos escribir el módulo de uno explícitamente. Así que podemos escribir que uno sobre 𝑧 es cos de menos siete 𝜋 sobre seis más 𝑖 sen de menos siete 𝜋 sobre seis. Esta es nuestra respuesta final.

Hemos visto que usar la forma polar de los números complejos hace la multiplicación y la división más fáciles. No requieren mucho trabajo. Sin embargo, no hemos visto cómo sumar o restar números complejos en la forma polar. Esto se debe a que la suma y resta de los números complejos en forma polar es en general mucho más complicada que la de los números complejos en forma binómica. Para sumar dos números complejos en la forma binómica, solo necesitamos sumar las partes real e imaginaria, y de igual manera con la resta. No puede ser más fácil.

Si tenemos que sumar o restar números complejos en la forma trigonométrica, generalmente lo mejor es convertirlos a la forma binómica, antes de sumar o restar y después convertirlos nuevamente a la forma trigonométrica si es necesario. Antes de terminar el video, vamos a ver otra operación que es también muy fácil en la forma polar. Esta es la potenciación, que es hallar potencias de números complejos. Esto es un adelanto de un tema que trataremos con más profundidad más adelante.

Considera el número complejo 𝑧 igual a uno más 𝑖 raíz de tres.

Nuestra primera tarea es hallar el módulo de 𝑧. Eso es sencillo. Sabemos que el módulo de 𝑎 más 𝑏𝑖 es la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. Reemplazando uno por 𝑎 y raíz de tres por 𝑏, hallamos la raíz cuadrada de uno más tres, que es la raíz cuadrada de cuatro, es decir dos. Para el argumento de 𝑧, vemos que 𝑧 está en el primer cuadrante. Así que su argumento 𝜃 puede ser hallado usando arctan. Reemplazamos nuevamente, hallamos que el argumento es arctan raíz de tres sobre uno, que según la calculadora es 𝜋 sobre tres. Por lo tanto, esto significa que podemos usar los resultados anteriores, usar las propiedades de la multiplicación de números complejos en forma polar para hallar el módulo y el argumento de 𝑧 al cubo.

Pero no vayamos directamente a 𝑧 al cubo sino que calculemos 𝑧 al cuadrado. 𝑧 al cuadrado es 𝑧 por 𝑧. Y sabemos que el módulo del producto de números complejos es el producto de sus módulos. Hallamos que el módulo del cuadrado de 𝑧 es el cuadrado del módulo de 𝑧. ¿Qué hay del argumento de 𝑧 por 𝑧? Este es el argumento de 𝑧 más el argumento de 𝑧 o dos veces el argumento de 𝑧. Y ahora estamos listos para calcular 𝑧 al cubo. Usamos el hecho de que 𝑧 al cubo es 𝑧 por 𝑧 al cuadrado. Así que el módulo de 𝑧 al cubo es el módulo de 𝑧 por el módulo del cuadrado de 𝑧, que sabemos que es el módulo de 𝑧 al cuadrado. Vemos que el módulo del cubo de un número complejo es el cubo del módulo del número. Para hallar el argumento de 𝑧 al cubo, usamos el mismo truco, escribir 𝑧 al cubo como 𝑧 por 𝑧 al cuadrado, y, usando nuestro conocimiento sobre el argumento de un producto y el argumento de 𝑧 al cuadrado, hallamos que el argumento del cubo de un número complejo es tres por el argumento de ese número complejo.

Y ahora solo tenemos que reemplazar los valores conocidos del módulo de 𝑧 y del argumento de 𝑧. El módulo de 𝑧 es dos. El módulo de 𝑧 al cubo es ocho. Y el argumento de 𝑧 es 𝜋 sobre tres. Así que el argumento de 𝑧 al cubo es 𝜋. Finalmente, hallamos el valor de 𝑧 al cubo. Sabemos el argumento y el módulo de 𝑧 al cubo. Por lo tanto, podemos escribir 𝑧 al cubo en forma trigonométrica. Es ocho por 𝜋 más 𝑖 sen 𝜋. Y, usando el hecho de que cos 𝜋 es menos uno y sen 𝜋 es cero, podemos escribirlo como menos ocho.

Más interesante que la respuesta final es lo que encontramos en el camino, o sea, las expresiones para el módulo y argumento de 𝑧 al cubo. Esto nos lleva a una expresión muy compacta para el cubo del número complejo en forma trigonométrica. Este es un caso especial de la fórmula de De Moivre, que exploraremos con más detalle en otro momento.

Los puntos clave que hemos cubierto en este video son los siguientes. La multiplicación y la división de números complejos son más fáciles cuando se realizan en la forma trigonométrica. Sin embargo, esto no es cierto para la suma y la resta. Para números complejos 𝑧 uno igual a 𝑟 uno por cos 𝜃 uno más 𝑖 sen 𝜃 uno y 𝑧 dos igual a igual a 𝑟 dos por cos 𝜃 dos más 𝑖 sen 𝜃 dos, se cumplen las siguientes reglas. Su producto, 𝑧 uno 𝑧 dos, es 𝑟 uno por 𝑟 dos por cos 𝜃 uno más 𝜃 dos más 𝑖 sen 𝜃 uno más 𝜃 dos. Y su cociente, 𝑧 uno sobre 𝑧 dos, es 𝑟 uno sobre 𝑟 dos por cos 𝜃 uno menos 𝜃 dos más 𝑖 sen 𝜃 uno menos 𝜃 dos. Haciendo uso de estas fórmulas, podemos leer el módulo y el argumento de un producto o de un cociente de números complejos. El módulo del producto de números complejos es el producto de sus módulos. Y el argumento del producto de números complejos es la suma de sus argumentos. El módulo de un cociente de números complejos es el cociente de sus módulos. Y el argumento del cociente es la diferencia de los argumentos.

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