Lesson Video: Definición de la derivada

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Definición de la derivada

En este vídeo vamos a aprender a calcular la derivada de una función usando la definición formal como un límite de la derivada. Vamos a analizar la definición de la derivada con gran detalle y luego vamos a estudiar algunos ejemplos. Vamos a comenzar analizando la definición de la derivada en un punto determinado.

Sabemos que la derivada de una función 𝑓 de 𝑥 nos da la tasa de variación de esa función en un punto determinado. Digamos que ese punto es 𝑥 cero. Y este podría ser cualquier punto. Y sabemos que la tasa de variación de la función en este punto es igual a la pendiente de la función en este punto. Por lo tanto, podemos hallar un valor aproximado de la derivada aproximando la tangente a la curva en este punto y luego calculando la pendiente de esta tangente. Vamos a considerar ahora la gráfica de una función 𝑓 de 𝑥 distinta.

Si tratamos de hallar la derivada de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 cero, entonces podremos estimarla aproximando una tangente en 𝑥 cero. Una forma de trazar una tangente aproximada es elegir otro valor de 𝑥 que esté cerca de 𝑥 cero, digamos 𝑥 cero más ℎ donde ℎ es una constante. Luego, podemos dibujar la tangente aproximada como la recta que pasa por 𝑥 cero, 𝑓 de 𝑥 cero y 𝑥 cero más ℎ, 𝑓 de 𝑥 cero más ℎ. Así es como quedaría nuestra tangente aproximada. Sin embargo, esta no es una aproximación muy buena.

Una forma de mejorar nuestra aproximación para la tangente en este punto es disminuir el valor de ℎ. Digamos que hemos disminuido ℎ de modo que 𝑥 cero más ℎ se encuentra en este punto en el eje de las 𝑥, entonces, el punto 𝑥 cero más ℎ, 𝑓 de 𝑥 cero más ℎ, se habría movido aquí. Entonces, nuestra nueva aproximación para la tangente pasará por este punto y por el punto 𝑥 cero, 𝑓 de 𝑥 cero. Así, se parecerá un poco a esto, que es una mejor aproximación para la tangente de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 cero.

Podríamos seguir mejorando la aproximación si disminuimos el valor de ℎ de nuevo de modo que 𝑥 cero más ℎ se encuentre en este punto en el eje de las 𝑥. Por lo tanto, el punto 𝑥 cero más ℎ, 𝑓 de 𝑥 cero más ℎ cambiaría de nuevo de posición. Y podríamos luego trazar una nueva aproximación para la tangente en 𝑥 cero, que podemos ver está aún más cerca de la tangente real en 𝑥 cero. Ahora bien, lo que nos está diciendo este método para calcular el valor aproximado de la tangente en 𝑥 cero es que, cuanto más pequeño sea el valor de ℎ, más cerca estará nuestra tangente aproximada a la tangente real en 𝑥 cero.

Por lo tanto, podemos decir que el límite, cuando ℎ tiende a cero, de nuestra tangente aproximada es equivalente a la tangente real de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 igual a 𝑥 cero. Ahora, si recordamos lo que una derivada es, sabremos que es el valor de la pendiente de la función en ese punto concreto. Puesto que la pendiente de la tangente en cualquier punto de nuestra curva representa la pendiente de la función en ese punto, podemos usar la pendiente de nuestras tangentes aproximadas para ayudarnos a definir la derivada.

Recordemos cuáles eran los puntos que estábamos utilizando para aproximar nuestras tangentes. Hemos usado 𝑥 cero, 𝑓 de 𝑥 cero y 𝑥 cero más ℎ, 𝑓 de 𝑥 cero más ℎ. Sabemos que la pendiente de cualquier línea recta es el cambio en 𝑦 partido por el cambio en 𝑥. Por lo tanto, la pendiente de cualquiera de nuestras tangentes puede estar dada por 𝑓 de 𝑥 cero más ℎ menos 𝑓 de 𝑥 cero sobre 𝑥 cero más ℎ menos 𝑥 cero. En el denominador tenemos 𝑥 cero más ℎ menos 𝑥 cero. De este modo, los dos 𝑥 ceros se cancelan, y nos quedamos con que la pendiente de nuestra tangente es igual a 𝑓 de 𝑥 cero más ℎ menos 𝑓 de 𝑥 cero, todo sobre ℎ.

Vamos a combinar la pendiente de la tangente con el hecho de que, cuando 𝑥 cero se acerca a cero, el valor aproximado de esa tangente también se acerca a la tangente real en 𝑥 cero para definir la derivada. Y, por lo tanto, llegamos a la definición de derivada. Decimos que la derivada de una función 𝑓 de 𝑥 en un punto 𝑥 cero se define como el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 cero más ℎ menos 𝑓 de 𝑥 cero, todo sobre ℎ, si el límite existe.

Si definimos 𝑥 uno como 𝑥 cero más ℎ, entonces tendremos que ℎ es igual a 𝑥 uno menos 𝑥 cero. Y cuando ℎ tiende a cero, 𝑥 uno menos 𝑥 cero tiende a cero, lo que significa que 𝑥 uno tiende a 𝑥 cero. Por lo tanto, podemos reescribir este límite en términos de 𝑥 uno y 𝑥 cero en vez de 𝑥 cero y ℎ. Esta definición equivalente es el límite cuando 𝑥 uno tiende a 𝑥 cero de 𝑓 de 𝑥 uno menos 𝑓 de 𝑥 cero sobre 𝑥 uno menos 𝑥 cero. Esto solo vale si el límite existe.

Tenemos varias formas de denotar una derivada. La primera es usando notación prima. Que se escribe 𝑓 prima de 𝑥. Y quiere decir que es la derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥. Otra forma de denotar una derivada es usando la notación de Leibniz. Esta nos dice que, si escribimos 𝑓 de 𝑥 como 𝑦, entonces la derivada es d𝑦 entre d𝑥, que también significa la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥. Ambas definiciones y notaciones te serán útiles a la hora de estudiar cálculo. Y, por lo tanto, es importante que te sientas cómodo usando ambas definiciones y notaciones. Vamos a ver ahora algunos ejemplos de cómo podemos usar la definición para hallar derivadas.

Halla la derivada de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado en el punto 𝑥 igual a dos usando los principios básicos.

A lo que se refiere el problema cuando nos dice que utilicemos los principios básicos es a la definición de la derivada. Esta definición nos dice que la derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥 en 𝑥 cero es igual al límite cuando 𝑥 uno tiende a 𝑥 cero de 𝑓 de 𝑥 uno menos 𝑓 de 𝑥 cero sobre 𝑥 uno menos 𝑥 cero. En el enunciado podemos ver que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado. Y se nos ha pedido que hallemos la derivada en el punto 𝑥 igual a dos. Por lo tanto, 𝑥 cero es igual a dos.

Teniendo en cuenta esto podemos decir que 𝑓 prima de dos es igual al límite cuando 𝑥 uno tiende a dos de 𝑥 uno al cuadrado menos dos al cuadrado sobre 𝑥 uno menos dos. Podemos reescribir dos al cuadrado como cuatro. Ahora vemos que en el numerador de nuestra fracción tenemos 𝑥 uno al cuadrado menos cuatro, que es la diferencia de dos cuadrados. Y, por lo tanto, podemos factorizarlo como 𝑥 uno menos dos por 𝑥 uno más dos.

Podemos ver que tenemos un factor de 𝑥 uno menos dos en el numerador y en el denominador. Y, puesto que 𝑥 uno menos dos no es igual a cero, podemos cancelar estos de aquí. Por lo tanto, obtenemos que 𝑓 prima de dos es igual al límite cuando 𝑥 uno tiende a dos de 𝑥 uno más dos. Usando sustitución directa obtenemos que esto es igual a dos más dos. Así, llegamos a nuestra respuesta, que dice que la derivada de 𝑥 al cuadrado en el punto 𝑥 igual a dos es cuatro.

Ahora, si nos acordamos del principio del vídeo, cuando estábamos definiendo la derivada, utilizamos las pendientes de las tangentes aproximadas para acercarnos más y más a la derivada de la función. En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo podemos usar la definición de la derivada para calcular de forma exacta la pendiente de la tangente a la gráfica de una función en un punto determinado.

Sea 𝑓 de 𝑥 igual a ocho 𝑥 al cuadrado menos seis 𝑥 más nueve. Usa la definición de la derivada para determinar 𝑓 prima de 𝑥. ¿Cuál es la pendiente de la tangente a su gráfica en el punto uno, dos?

Lo primero que tenemos que hacer es usar la definición de la derivada para determinar 𝑓 prima de 𝑥. Recordemos que la definición de la derivada nos dice que 𝑓 prima de 𝑥 es igual al límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 más ℎ menos 𝑓 de 𝑥, todo sobre ℎ. Ahora, en nuestro caso, 𝑓 de 𝑥 es igual a ocho 𝑥 al cuadrado menos seis 𝑥 más nueve, así que podemos sustituir esto en nuestro límite. Hallamos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual al límite cuando ℎ tiende a cero de ocho por 𝑥 más ℎ al cuadrado menos seis por 𝑥 más ℎ más nueve menos ocho 𝑥 al cuadrado menos seis 𝑥 más nueve, todo sobre ℎ.

Nuestro siguiente paso es desarrollar los paréntesis. Obtenemos este límite aquí. Vemos que hay varios términos que podemos cancelar en el numerador de nuestra fracción. Tenemos ocho 𝑥 al cuadrado y menos ocho 𝑥 al cuadrado. Tenemos menos seis 𝑥 y seis 𝑥. Y también tenemos nueve y menos nueve. Si eliminamos esos seis términos, nos quedamos con que el límite cuando ℎ tiende a cero es 16ℎ𝑥 más ocho ℎ al cuadrado menos seis ℎ todo sobre ℎ.

Y vemos que tenemos un factor ℎ en el numerador y en el denominador. Como ℎ no es igual a cero, podemos cancelarlo. De este modo, obtenemos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual al límite cuando ℎ tiende a cero de 16𝑥 más ocho ℎ menos seis. Aplicando sustitución directa a este límite, llegamos a la solución de la primera parte del problema, que es que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a 16𝑥 menos seis. Ahora podemos pasar a la segunda parte del problema, en la que se nos pide que calculemos la pendiente de la tangente a su gráfica en el punto uno, dos.

Ahora sabemos que la derivada de 𝑓 nos dará la pendiente en cualquier punto de 𝑓. Por lo tanto, la pendiente en uno, dos, será el valor de 𝑓 prima de 𝑥 cuando 𝑥 es igual a uno. De este modo hallamos 𝑓 prima de uno. Esto nos da 16 por uno menos seis, que, simplificado, nos da una pendiente de 10.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo podemos usar la definición de una derivada para hallar la derivada de una función racional.

Usando la definición de la derivada, calcula d entre d𝑥 de uno partido por uno más 𝑥.

Escribamos de nuevo la definición de la derivada. Y esta nos dice que, si hacemos 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, entonces d𝑦 entre d𝑥 es igual al límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 más ℎ menos 𝑓 de 𝑥 todo sobre ℎ. En nuestro caso, 𝑦 es igual a uno sobre uno más 𝑥. Por lo tanto, podemos decir que d𝑦 entre d𝑥 es igual al límite cuando ℎ tiende a cero de uno sobre uno más 𝑥 más ℎ menos uno sobre uno más 𝑥 todo sobre ℎ.

Tenemos que expresar nuestra fracción como una única fracción con un mismo denominador. Y podemos hacerlo hallando un denominador común para las dos fracciones en el numerador. Ese denominador común es uno más 𝑥 por uno más 𝑥 más ℎ, lo que nos deja con este límite. Y podemos simplificar las dos fracciones en el numerador, y obtenemos que el límite cuando ℎ tiende a cero es menos ℎ sobre ℎ por uno más 𝑥 por uno más 𝑥 más ℎ. Como ℎ no es igual a cero, podemos cancelar la ℎ en el numerador y en el denominador.

A continuación, aplicamos las reglas del límite. Tenemos que el límite de un cociente es igual al cociente del límite. Como menos uno es una constante, nos quedamos con esto. Y podemos simplemente aplicar la sustitución directa, obteniendo así que d𝑦 entre d𝑥 es igual a menos uno sobre uno más 𝑥 por uno más 𝑥. De este modo llegamos a la solución, que es que d entre d𝑥 de uno sobre uno más 𝑥 es igual a menos uno sobre uno más 𝑥 al cuadrado.

En nuestro último ejemplo vamos a ver un uso distinto para la definición de la derivada.

Calcula el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de ℎ más cuatro menos 𝑓 de ℎ menos dos más 𝑓 de menos dos menos 𝑓 de cuatro todo sobre ℎ.

Aquí podemos ver que el límite que tenemos que calcular es muy similar a la definición de la derivada. La definición de la derivada nos dice que 𝑓 prima de 𝑥 es igual al límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 más ℎ menos 𝑓 de 𝑥 todo sobre ℎ. Vamos a tratar de reorganizar la expresión en nuestro límite para ver si podemos aislar la definición de la derivada de 𝑓 en algún punto.

Lo primero que vemos es que, en el numerador, tenemos una 𝑓 de ℎ más cuatro y una 𝑓 de cuatro. Por lo tanto, podemos agrupar estos dos términos. También tenemos una 𝑓 de ℎ menos dos y una 𝑓 de menos dos. Del mismo modo también podemos agrupar estos dos términos. Ahora que ya hemos simplificado el numerador, podemos partir nuestra fracción en dos, y obtenemos que el límite cuando ℎ tiende a cero es 𝑓 de ℎ más cuatro menos 𝑓 de cuatro todo sobre ℎ más el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de menos dos menos 𝑓 de ℎ menos dos todo sobre ℎ.

Nos damos cuenta de que este primer límite está muy cerca de la definición de 𝑓 prima de cuatro. Si escribimos 𝑓 prima de cuatro, vemos que es igual al límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de cuatro más ℎ menos 𝑓 de cuatro todo sobre ℎ. La única diferencia entre este límite y el límite que hemos hallado en el problema es que ℎ más cuatro y cuatro más ℎ están al revés. Sin embargo, puesto que el orden de la suma no importa, estos dos elementos son iguales. Y, por lo tanto, el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de ℎ más cuatro menos 𝑓 de cuatro sobre ℎ es, de hecho, 𝑓 prima de cuatro.

Ahora vamos a fijarnos en el segundo límite. Vemos en la definición de la derivada que restamos 𝑓 de 𝑥 a 𝑓 de 𝑥 más ℎ. Sin embargo, en nuestro límite estamos restando 𝑓 de ℎ menos dos a 𝑓 de menos dos. Para escribir esto en el orden correcto, tenemos que multiplicar nuestra fracción por menos uno. Vamos a hacer esto escribiendo un signo menos delante de nuestro límite. Obtenemos, pues, menos el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de ℎ menos dos menos 𝑓 de menos dos sobre ℎ.

Ahora, esto está muy cerca de la definición de la derivada de 𝑓 en 𝑥 igual a menos dos, pues 𝑓 prima de menos dos es igual al límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de menos dos más ℎ menos 𝑓 de menos dos todo sobre ℎ. Y, de nuevo, vemos que esto es idéntico a nuestro límite salvo por el hecho de que ℎ y menos dos están al revés. Pero sabemos que estos dos elementos son equivalentes.

Y, por lo tanto, podemos decir que el segundo límite es igual a 𝑓 prima de menos dos. Así, hemos llegado a nuestra solución. Y esta es que el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de ℎ más cuatro menos 𝑓 de ℎ menos dos más 𝑓 de menos dos menos 𝑓 de cuatro todo sobre ℎ es igual a 𝑓 prima de cuatro menos 𝑓 prima de menos dos.

Ya hemos analizado la definición de una derivada y la hemos ilustrado usando varios ejemplos. Vamos a resumir los puntos claves del vídeo.

Puntos clave

La derivada de una función se define como el límite cuando ℎ tiende a cero de 𝑓 de 𝑥 más ℎ menos 𝑓 de 𝑥 todo sobre ℎ. Una definición alternativa pero equivalente de la derivada es como el límite cuando 𝑥 uno tiende a 𝑥 cero de 𝑓 de 𝑥 uno menos 𝑓 de 𝑥 cero partido por 𝑥 uno menos 𝑥 cero. Hay dos maneras de denotar derivadas, la notación prima, que es 𝑓 prima de 𝑥, y la notación de Leibniz, que es d𝑦 entre d𝑥. La derivada define una función que es igual a la pendiente de la tangente en cada punto de la curva.