Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo usar la fórmula de Lagrange del resto de Taylor para hallar el máximo error cometido al aproximar una función mediante un polinomio de Taylor. No solo vamos a aprender cómo usar la fórmula para hallar estas cotas de error, sino también cómo hallar el menor grado de un polinomio que nos asegura un determinado nivel de precisión.
De lo que se trata con las series de Taylor es de reemplazar funciones más complicadas con expresiones de tipo polinomial. Y las propiedades de las series de Taylor las hacen especialmente adecuadas para llevar a cabo este tipo de aproximación. Recordemos que una serie de Taylor para una función 𝑓 en un entorno de 𝑎 está dada por el sumatorio desde 𝑛 igual a cero a ∞ de la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en 𝑎 sobre 𝑛 factorial multiplicado por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛-ésima potencia. Los primeros términos son 𝑓 de 𝑎 más 𝑓 prima de 𝑎 sobre uno factorial por 𝑥 menos 𝑎 más 𝑓 doble prima de 𝑎 sobre dos factorial por 𝑥 menos 𝑎 al cuadrado etcétera.
El mayor problema que tenemos con estas series es que constan de infinitos términos. Pero, en la práctica, generalmente solo usamos unos pocos de los primeros términos. Y esto significa que perdemos algo de precisión. Podemos obtener muy buenas estimaciones de una función, pero no podemos obtener los valores exactos. Tratemos de visualizar esto. Aquí tenemos la gráfica de una función en la variable 𝑥, 𝑓 de 𝑥. Podemos agregar la gráfica de su aproximación de Taylor 𝑡 sub 𝑛 de 𝑥 en un entorno de 𝑎. Podemos también aproximar el valor de 𝑓 de 𝑏 usando el valor de 𝑇 𝑛 de 𝑏. Pero, vemos que hay un error en esto. Llamamos a este error 𝑅 𝑛 de 𝑥. Es el resto (o residuo); es la diferencia entre nuestra estimación y el valor real de la función en ese punto.
Y existe una fórmula que da una cota para este error. Esta fórmula se llama forma de Lagrange del resto de Taylor. Y nos permite determinar exactamente qué tan precisa es nuestra estimación. Comenzamos definiendo 𝑡 sub 𝑛 de 𝑥 como el polinomio de 𝑛-ésimo grado de Taylor para nuestra función 𝑓 en un entorno de 𝑎, de modo que 𝑓 de 𝑥 es igual al polinomio de 𝑛-ésimo orden de Taylor más 𝑅 𝑛 de 𝑥. Ese es nuestro resto. La diferencia entre 𝑓 de 𝑥 y 𝑇 sub 𝑛 de 𝑥 es entonces 𝑅 sub 𝑛 de 𝑥, llamado resto (o residuo) de Taylor.
𝑅 sub 𝑛 de 𝑥 satisface la siguiente desigualdad. Si el valor absoluto de la derivada de orden 𝑛 más uno de la función en [𝑥] es menor o igual que determinado valor 𝑚, entonces el valor absoluto de 𝑅 sub 𝑛 de 𝑥 es menor o igual que el valor absoluto de 𝑚 sobre 𝑛 más uno factorial por 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛 más uno. Y aquí es importante insistir en que podemos elegir cualquier valor de 𝑚 siempre que sea mayor o igual que el máximo del valor absoluto de la derivada de orden 𝑛 más uno de 𝑓 de 𝑥, estando 𝑥 en el intervalo de 𝑎 a 𝑏.
En la práctica, a menudo elegimos 𝑚 como el máximo del valor absoluto de la derivada de orden 𝑛 más uno de la función en este intervalo porque esto hace que nuestra cota de error sea lo más pequeña posible. Sin embargo, podemos optar por utilizar un valor 𝑚 más grande nos viene bien. Y aunque esto signifique que nuestra cota de error sea mayor de lo absolutamente necesario, a menudo tiene sentido hacerlo. Si bien esto puede sonar complicado, en la práctica generalmente hay maneras claras de decidir qué debe ser 𝑚. Así que, en este momento, probablemente lo mejor sea ver cómo funciona todo esto.
Halla la cota de error de Lagrange al usar el polinomio de Taylor de segundo grado de la función 𝑓 de 𝑥 igual a la raíz cuadrada de 𝑥 en 𝑥 igual a cuatro para aproximar el valor de la raíz cuadrada de cinco. Redondea la respuesta a cinco decimales.
Comenzamos recordando que el error de Lagrange satisface el criterio de que si el valor absoluto de la derivada de orden 𝑛 más uno de 𝑓 de 𝑥 es menor o igual que determinado valor 𝑚, entonces el valor absoluto del resto 𝑅 sub 𝑛 de 𝑥 es menor o igual que el valor absoluto de 𝑚 sobre 𝑛 más uno factorial por 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛 más uno. Vamos a comenzar determinando cada parte de nuestra pregunta. Vamos a usar el polinomio de Taylor de segundo grado; es decir 𝑇 sub dos de 𝑥. Y eso significa que el resto en que estamos interesados es 𝑅 sub dos de 𝑥. Se nos dice que estamos utilizando el polinomio para 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 igual a cuatro. Por tanto, vamos a hacer 𝑎 igual a cuatro. Y estamos utilizando esto para estimar el valor de la raíz cuadrada de cinco.
Como 𝑓 de 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de 𝑥, debemos hacer 𝑥 igual a cinco. Volvamos a lo que sabemos del resto de Taylor. Sabemos que, para hallar 𝑚, necesitamos obtener la derivada de orden 𝑚 más uno de 𝑓. Vamos a escribir 𝑓 de 𝑥 como 𝑥 elevado a un medio. Y después, vamos a derivar nuestra función dos veces más una, o sea, tres veces. Recordemos que para derivar un término de esta forma, multiplicamos todo el término por el exponente y luego reducimos el exponente en uno. Así que la primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es igual a un medio por 𝑥 elevado a menos un medio. Luego, la segunda derivada es menos un medio por un medio de 𝑥 elevado a menos tres medios, que es menos un cuarto de 𝑥 elevado a menos tres medios.
Luego, la tercera derivada —recuerda, esta es la que estamos tratando de encontrar— es menos tres medios por menos un cuarto 𝑥 elevado a menos cinco medios. Simplificamos a tres octavos por 𝑥 elevado a menos cinco medios. Vamos a simplificar esto un poco escribiéndolo como tres sobre ocho por 𝑥 elevado a cinco medios. Y obtenemos, pues, que buscamos maximizar el valor absoluto de tres sobre ocho 𝑥 elevado a cinco medios en el intervalo entre 𝑎 y 𝑥. Eso es entre cuatro y cinco. Nos debemos dar cuenta fácilmente de que podemos maximizar el valor absoluto de tres sobre ocho 𝑥 elevado a cinco medios haciendo que nuestro denominador sea lo más pequeño posible.
Igualamos 𝑥 a cuatro para lograr esto. Y vemos que necesitamos encontrar el valor absoluto de tres sobre ocho por cuatro elevado a cinco medios. Esto es positivo, así que no debemos preocuparnos por el signo de valor absoluto. Y obtenemos tres sobre 256. Así que ya tenemos 𝑚. Vamos a sustituirlo en nuestra fórmula de la cota de error, con el valor de 𝑛 igual a dos. Es el valor absoluto de tres sobre 256 sobre dos más uno factorial por 𝑥 menos 𝑎, que es cinco menos cuatro elevado a dos más uno. Esto es igual a uno sobre 512, que es aproximadamente igual a 0.00195. Y así, el error de Lagrange cuando se usa el polinomio de Taylor de segundo grado de la función 𝑓 de 𝑥 igual a raíz cuadrada de 𝑥 en 𝑥 igual a cuatro para hallar el valor aproximado de la raíz cuadrada de cinco es 0.00195 con cinco cifras decimales.
Como la cota de error que hemos calculado es tan pequeña, podemos estar razonablemente seguros de que el polinomio de Taylor de segundo grado de nuestra función proporciona una aproximación bastante buena al valor de la raíz cuadrada para valores de entrada en el intervalo cerrado de cuatro a cinco. Ahora vamos a demostrar cómo podemos usar la fórmula de Lagrange de la cota de error para garantizar un determinado nivel de precisión en una serie Maclaurin.
Determina el grado mínimo del polinomio de Maclaurin 𝑛 necesario para aproximar el valor de sen de 0.3 con un error menor que 0.001 usando la serie de Maclaurin de 𝑓 de 𝑥 igual a sen de 𝑥.
Comenzamos recordando que la fórmula de Lagrange del resto de Taylor nos dice que, si el valor absoluto de la derivada de orden 𝑛 más uno de 𝑓 es menor o igual que 𝑚, entonces el valor absoluto del resto 𝑅 sub 𝑛 de 𝑥 es menor o igual que el valor absoluto de 𝑚 sobre 𝑛 más uno factorial por 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛 más uno. Para responder a esta cuestión, vamos a comenzar determinando cada parte. No se nos ha dado el grado de nuestro polinomio de Maclaurin. Por lo tanto, ¿vamos a igualar 𝑛 a 𝑛? El valor de esta incógnita es lo que estamos tratando de hallar. No obstante, sabemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a sen de 𝑥. Y estamos desarrollando la serie de Maclaurin para 𝑓 de 𝑥. Esta es la serie de Taylor para el caso particular en que 𝑎 es igual a cero.
Queremos usar esto para estimar el valor de sen de 0.3. Y dado que nuestra función 𝑓 de 𝑥 es igual a sen de 𝑥, podemos igualar 𝑥 a 0.3. Queremos asegurarnos de que nuestro error sea menor que 0.001. Por eso comenzaremos con esta fórmula. Vamos a reemplazar 𝑥 con 0.3 y 𝑎 con cero. Y así obtenemos el valor absoluto de 𝑚 sobre 𝑛 más uno factorial multiplicado por 0.3 menos cero elevado a 𝑛 más uno. Y, por supuesto, queremos que este error sea inferior a 0.001. Reemplacemos 0.3 menos cero con 0.3. Sabemos que 𝑚 se obtiene maximizando el valor absoluto de la derivada de orden 𝑛 más uno en el intervalo entre 𝑎 y 𝑥.
Hallemos una expresión para 𝑚 obteniendo la derivada de orden 𝑛 más uno de nuestra función. Sabemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a sen de 𝑥. Y cuando derivamos sen de 𝑥, obtenemos cos de 𝑥. Por consiguiente, la primera derivada, 𝑓 prima de 𝑥, es cos de 𝑥. Al derivar una vez más, obtenemos menos sen de 𝑥. Y la tercera derivada, 𝑓 triple prima de 𝑥, es menos cos de 𝑥. Derivamos una vez más. Y hallamos que la cuarta derivada es sen de 𝑥. Y así vemos que tenemos un ciclo. Queremos generalizarlo. Vamos a utilizar que, de hecho, cos de 𝑥 es igual a sen de 𝑥 más 𝜋 sobre dos. Y eso es así porque los gráficos de sen y cos son, de hecho, traslaciones horizontales el uno del otro.
Ocurre que menos sen 𝑥 es igual a sen de 𝑥 más 𝜋, menos cos 𝑥 es sen de 𝑥 más tres 𝜋 sobre dos, y sen de 𝑥 es igual a sen de 𝑥 más dos 𝜋. Así que, si escribimos 𝜋 como dos 𝜋 sobre dos y dos 𝜋 como cuatro 𝜋 sobre dos, obtenemos que la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 es sen de 𝑥 más 𝑛𝜋 sobre dos. Y así, la derivada de orden 𝑛 más uno, que es lo que estamos buscando, es sen de 𝑥 más 𝑛 más uno por 𝜋 sobre dos. Queremos maximizar el valor absoluto de sen de 𝑥 más 𝑛 más uno por 𝜋 sobre dos en el intervalo cerrado de cero a 0.3. El mayor valor de sen de 𝑥 más 𝑛 más uno por 𝜋 sobre dos es uno. Así que vamos a escoger un valor de 𝑚 igual a uno.
Vale la pena subrayar que el valor máximo de la función seno en el intervalo entre cero y 0.3 puede que no sea de hecho uno. Pero sí sabemos que debe ser menor o igual que uno. Haciendo 𝑚 igual a uno nuestra cota de error puede tal vez ser mayor de lo que debería ser, pero esto está permitido. Nuestra desigualdad anterior se convierte en el valor absoluto de uno sobre 𝑛 más uno factorial multiplicado por 0.3 elevado a 𝑛 más uno. Y esto debe ser menor o igual que 0.001. De hecho, esto siempre es positivo. Por tanto, ya no necesitamos los signos de valor absoluto. Y, desafortunadamente, en esta etapa, no hay una manera sencilla de resolver esta desigualdad. En vez de eso, vamos a probar algunos valores de 𝑛 sabiendo, por supuesto, que solo puede tomar valores enteros.
Comenzaremos igualando 𝑛 a uno. Y obtenemos uno sobre uno más uno factorial multiplicado por 0.3 elevado a uno más uno. Eso nos da 0.045. Y, por supuesto, eso no es menor que 0.001, pero estamos cerca. Intentémoslo ahora con 𝑛 igual a dos. Obtenemos uno sobre dos más uno factorial multiplicado por 0.3 elevado a dos más uno. Eso es 0.0045, que, una vez más, no es menor que 0.001, pero estamos cada vez más cerca. Probemos con 𝑛 es igual a tres. Obtenemos uno sobre tres más uno factorial multiplicado por 0.3 elevado a tres más uno. Eso nos da 0.0003375, que es, de hecho, menor que 0.001. Y, por lo tanto, podemos afirmar que el valor de 𝑛 que asegura que la serie Maclaurin aproxima sen de 0.3 con un error menor que 0.001 es 𝑛 igual a tres.
En este video, hemos aprendido que la fórmula de Lagrange del resto de Taylor nos dice que si el valor absoluto de la derivada de orden 𝑛 más uno de la función 𝑓 es menor o igual que 𝑚, entonces el valor absoluto de 𝑅 sub 𝑛 de 𝑥 —esto es el resto (o residuo)— es menor o igual que el valor absoluto de 𝑚 sobre 𝑛 más uno factorial por 𝑥 menos 𝑎 elevado a 𝑛 más uno. Hemos visto que generalmente elegimos 𝑚 como el máximo del valor absoluto de la derivada de orden 𝑛 más uno en nuestro intervalo, pero que, si nos conviene, podemos elegir un valor de 𝑚 que pudiera ser más grande. Y esto solo significa que nuestra cota de error es mayor de lo necesario, pero hemos visto que esto es algo que, a menudo, es conveniente hacer.
