Vídeo: Funciones vectoriales

En este vídeo vamos a aprender cómo definir, calcular y dibujar la gráfica de una función vectorial.

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Transcripción del vídeo

Hasta el momento hemos operado con funciones reales. En este tipo de funciones, el recorrido es un subconjunto de los números reales. Hemos trabajado con funciones polinómicas, exponenciales y trigonométricas de este tipo. En este vídeo, nuestra intención es hallar valores y dibujar la gráfica de funciones vectoriales, es decir, funciones cuyo recorrido es un vector o un conjunto de vectores, y cuyo dominio es un subconjunto de los números reales. Y debes saber que estas funciones son sumamente importantes, pues sirven para representar magnitudes como la velocidad, la aceleración y la fuerza.

Las funciones que nos interesan mayormente son las funciones vectoriales 𝑟 cuyos valores son vectores tridimensionales como 𝑟 de 𝑡 igual a 𝑓 de 𝑡, 𝑔 de 𝑡, ℎ de 𝑡 o 𝑓 de 𝑡 𝑖 más 𝑔 de 𝑡 𝑗 más ℎ de 𝑡 𝑘. Empleamos la letra 𝑡 para simbolizar la variable independiente, que normalmente se usa para representar el tiempo. La mayoría de las veces vamos a ser capaces de calcular estas funciones como hemos ido haciendo hasta ahora, de la forma habitual.

Veamos cómo sería esto.

Dada la función 𝑟 de 𝑡 igual a dos cosecante de dos 𝑡 𝑖 más tres tangente de 𝑡 𝑗, calcula 𝑟 de 𝜋 sobre cuatro.

Aquí, 𝑟 es una función vectorial. Es una función cuyo recorrido es un conjunto de vectores. Y podemos calcular 𝑟 de 𝜋 sobre cuatro sustituyendo 𝑡 igual a 𝜋 sobre cuatro en cada función componente. Para la componente horizontal, la componente de 𝑖, obtenemos dos cosecante de dos por 𝜋 sobre cuatro. Obviamente sabemos que cosecante 𝑥 es igual a uno sobre seno 𝑥, y que dos por 𝜋 sobre cuatro es igual a 𝜋 sobre dos. Así que esto se convierte en dos partido por seno de 𝜋 sobre dos. Y como seno de 𝜋 sobre dos es simplemente uno, obtenemos dos dividido por uno, que es dos. Repetimos este procedimiento para la componente vertical de 𝑗. Eso es tres tangente de 𝜋 sobre cuatro. Y tangente de 𝜋 sobre cuatro es uno. Así que eso es tres por uno, que es tres. Eso significa que 𝑟 de 𝜋 sobre cuatro es dos 𝑖 más tres 𝑗. En un determinado contexto, esto nos da la posición de un punto en el plano en 𝑡 igual a 𝜋 sobre cuatro.

Otra técnica que debemos dominar es ser capaces de identificar el dominio de una función vectorial. Veamos cómo sería esto.

Halla el dominio de la función vectorial 𝑟 de 𝑡 igual a dos 𝑡 al cuadrado por 𝑖 más raíz de 𝑡 menos uno por 𝑗 más cinco sobre dos 𝑡 más cuatro por 𝑘.

Queremos hallar el dominio de nuestra función vectorial. Ahora bien, cada función componente de nuestra función vectorial tendrá su propio dominio, esto es, el conjunto de valores que puede tomar. El dominio de nuestra función vectorial 𝑟 será la intersección de estos tres dominios. Así que lo que debemos hacer es comenzar identificando el dominio de cada función componente. Comencemos hallando el dominio de la componente horizontal, dos 𝑡 al cuadrado.

Esta es una función polinómica. Como ya sabes, el dominio de una función polinómica es el conjunto de todos los números reales. Así que el dominio de esta función componente es el conjunto de los números reales. ¿Y qué hay del dominio de nuestra componente 𝑗, el dominio de la raíz cuadrada de 𝑡 menos uno? Lo que nos interesan son los valores en los que puede calcularse la raíz cuadrada de 𝑡 menos uno. Y sabemos que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Esto quiere decir que necesitamos que la expresión que está dentro de la raíz cuadrada 𝑡 menos uno sea igual a cero o mayor que cero. Despejamos 𝑡 sumando uno a ambos lados y obtenemos que 𝑡 debe ser mayor o igual que uno. Y ya hemos hallado el dominio de esta función componente.

Nuestra última función componente es cinco sobre dos 𝑡 más cuatro. Recordamos que el dominio del cociente de dos funciones es igual a la intersección del dominio de cada una, pero de manera que el denominador no sea igual a cero. El numerador y el denominador son polinomios. Así que el dominio es todos los números reales. Pero hemos de asegurarnos de que dos 𝑡 más cuatro sea distinto de cero. Restamos cuatro a ambos lados y vemos que dos 𝑡 no puede ser igual a menos cuatro. Dividimos por dos y hallamos que 𝑡 no puede ser igual a menos dos.

Muy bien, ya tenemos el dominio de cada una de nuestras funciones componentes. Recordemos que el dominio de nuestra función vectorial es la intersección de estos. Así que son números reales mayores o iguales que uno, excepto el menos dos. Obviamente, menos dos es menor que uno. Así que nuestro dominio es el conjunto de los números reales mayores o iguales que uno. Y podemos expresar esto usando notación de intervalo como se muestra aquí.

En el próximo ejemplo vamos a aprender cómo dibujar la gráfica de una función vectorial.

Dibuja la gráfica de la función vectorial 𝑟 de 𝑡 igual a cinco coseno de 𝑡 𝑖 más cinco seno de 𝑡 𝑗.

En primer lugar, conviene que observemos esta función vectorial con detenimiento para saber lo que nos está diciendo. Toma un número real 𝑡 y el valor de salida es un vector posición. La componente horizontal es cinco coseno de 𝑡 y la componente vertical es cinco seno de 𝑡. Podemos decir que, en el plano 𝑥𝑦, el valor de la abscisa 𝑥 en el gráfico está dado por cinco coseno de 𝑡, y que el valor de la ordenada 𝑦 está dado por cinco seno de 𝑡. Muy bien, una vez tenemos esta información, podemos hacer una de dos cosas. Por un lado, podemos elaborar una tabla e introducir valores de 𝑡 y trazar las coordenadas de 𝑥 y de 𝑦. O podemos manipular nuestras ecuaciones para eliminar 𝑡 y ver si obtenemos un tipo de ecuación con el que estemos más familiarizados.

Probemos con este último método. En primer lugar nos damos cuenta de que tenemos una función en coseno de 𝑡 y otra en seno de 𝑡. Y sabemos que coseno al cuadrado de 𝑡 más seno al cuadrado de 𝑡 es igual a uno. Así que vamos a elevar al cuadrado cada expresión para 𝑥 y 𝑦, y vamos a hallar su suma. De esta forma obtenemos que 𝑥 al cuadrado es igual a cinco al cuadrado por coseno al cuadrado de 𝑡 o 25 por coseno al cuadrado de 𝑡. Análogamente, 𝑦 al cuadrado es 25 seno al cuadrado de 𝑡. Y vemos que 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado es 25 coseno al cuadrado de 𝑡 más 25 seno al cuadrado 𝑡. Sacamos el factor común de 25. Y en el lado derecho, nuestra expresión se convierte en 25 por coseno al cuadrado 𝑡 más seno al cuadrado 𝑡. Como sabemos, coseno al cuadrado 𝑡 más seno al cuadrado 𝑡 es igual a uno. Así que hemos hallado que 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado es igual a 25.

Lo más seguro es que ya sepas qué representa esta ecuación. Es la ecuación de una circunferencia cuyo centro se encuentra en el origen y cuyo radio es la raíz cuadrada de 25, o sea, cinco unidades. Ahora ya tenemos la información necesaria para poder dibujar la gráfica. Tendrá más o menos esta pinta. Ojo, que aún no hemos terminado. Fíjate en cómo hemos planteado una ecuación en 𝑥 y en 𝑦. Estas son ecuaciones paramétricas. Y cuando trazamos la gráfica de una ecuación paramétrica, debemos tener en cuenta la orientación en la que está trazada la curva. Así que vamos a tomar un par de valores de 𝑡. Consideremos 𝑡 igual a cero y 𝑡 igual a uno.

En 𝑡 igual a cero, 𝑥 es igual a cinco coseno de cero, que es cinco. Análogamente, 𝑦 es igual a cinco seno de cero, que es cero. Así que ya podemos trazar las coordenadas cinco, cero. Cuando 𝑡 es igual a uno, 𝑥 es igual a cinco por coseno de uno, que es cero, y 𝑦 es igual a cinco seno de uno, que es cinco. Así que nos movemos de cinco, cero a cero, cinco. Esto nos dice que nos estamos moviendo a lo largo de la circunferencia en sentido contrario a las agujas del reloj. Así que añadimos estas flechas, así.

Veamos otro ejemplo en el que el planteamiento de un par de ecuaciones paramétricas y la eliminación del parámetro puede ayudarnos a dibujar la gráfica de una función.

Dibuja la gráfica de la función vectorial 𝑟 de 𝑡 igual a 𝑡 al cubo 𝑖 más 𝑡 por 𝑗.

Veamos primero lo que hace esta función vectorial. Sabemos que toma un número real 𝑡 y que produce un vector posición. Su componente horizontal es 𝑡 al cubo y su componente vertical es 𝑡. Así que podemos decir que en el plano 𝑥𝑦, el valor de la abscisa 𝑥 en el gráfico estará dado por 𝑡 al cubo y el valor de la ordenada 𝑦 estará dado por 𝑡. Hay dos cosas que podemos hacer ahora. Por un lado, podemos elaborar una tabla, introducir valores de 𝑡 y trazar las coordenadas de 𝑥 y de 𝑦. Por otro lado, podemos manipular nuestras ecuaciones para 𝑥 y para 𝑦 para ver si podemos eliminar nuestro parámetro y obtener un tipo de ecuaciones con las que estemos más acostumbrados a trabajar. Apliquemos esta última técnica.

Sabemos que 𝑦 es igual a 𝑡. Así que podemos sustituir 𝑡 por 𝑦 en nuestra ecuación para 𝑥. Y hallamos que 𝑥 es igual a 𝑦 al cubo. O, lo que es lo mismo, podemos decir que 𝑦 es igual a la raíz cúbica de 𝑥. Vale, pero ahora, ¿cómo dibujamos esta gráfica? Bueno, sabemos cómo dibujar la gráfica de 𝑦 igual a 𝑥 al cubo. Y también sabemos que 𝑦 igual a la raíz cúbica de 𝑥 es la función inversa de 𝑦 igual a 𝑥 al cubo. Recordemos, por lo tanto, que para obtener la gráfica de la función inversa, basta con reflejar la gráfica de la función original en la recta 𝑦 igual a 𝑥. Y obtenemos la gráfica de 𝑦 igual a la raíz cúbica de 𝑥, que es lo mismo que 𝑥 igual a 𝑦 al cubo, como se muestra.

Pero aún no hemos acabado. Recuerda que hemos formado un par de ecuaciones paramétricas. Y sabemos que cuando trazamos la gráfica de una paramétrica, debemos tener en cuenta la orientación en la que está trazada la curva. Así que tomemos un par de valores. Consideremos 𝑡 igual a cero y 𝑡 igual a uno. En 𝑡 igual a cero, 𝑥 es igual a cero al cubo, o sea, cero, y 𝑦 es igual a cero. Análogamente, cuando 𝑡 es igual a uno, 𝑥 es igual a uno al cubo, que es uno y 𝑦 también es igual a uno. Así que empezamos en el punto cero, cero y nos movemos hasta el punto uno, uno. Esto significa que nos estamos moviendo en la curva de izquierda a derecha. Muy bien, ya hemos terminado. Hemos dibujado la gráfica de la función vectorial 𝑟 de 𝑡 igual a 𝑡 al cubo 𝑖 más 𝑡 por 𝑗.

En el último ejemplo vamos a ver cómo dibujar una curva definida por una función vectorial tridimensional.

Dibuja la curva cuya función vectorial viene dada por 𝑟 de 𝑡 igual a seno 𝑡 𝑖 más coseno de 𝑡 𝑗 más 𝑡 𝑘.

Empecemos por plantear algunas ecuaciones paramétricas. Esta vez vamos a operar en tres dimensiones. Así que tenemos 𝑥, 𝑦, y 𝑧, donde 𝑥 es seno de 𝑡, 𝑦 es coseno de 𝑡 y 𝑧 es 𝑡. Vamos a sustituir algunos valores de 𝑡. Veamos cómo sería esto.

Consideremos los valores de 𝑡 en cero, 𝜋 sobre cuatro, 𝜋 sobre dos, tres 𝜋 sobre cuatro y 𝜋. Cuando 𝑡 es cero, 𝑥 es seno de cero, que es cero, 𝑦 es coseno de cero, que es uno, y 𝑧 es cero. Cuando 𝑡 es igual a 𝜋 sobre cuatro, seno de 𝑡 y coseno de 𝑡 y, por tanto, 𝑥 y 𝑦 son iguales a raíz de dos sobre dos. Si redondeamos a tres cifras significativas, eso es 0.707, y 𝑧 es igual a 𝜋 sobre cuatro, que es 0.785. Si sustituimos 𝜋 sobre dos, 𝑡 igual a tres 𝜋 sobre cuatro, y 𝑡 igual a 𝜋 en cada una de nuestras ecuaciones, obtenemos estos valores de aquí. De esta forma, vemos que los valores de 𝑧 aumentan al mismo ritmo que los valores de 𝑡. Sin embargo, resulta un poco más difícil identificar lo que sucede en el plano 𝑥𝑦. No obstante, sabemos que coseno al cuadrado de 𝑡 más seno al cuadrado de 𝑡 es igual a uno. Así que deducimos que 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado es igual a uno. Por lo tanto, en este plano tenemos una circunferencia con centro en el origen con un radio de una unidad.

Vamos a fijarnos en los valores de la tabla. Como vemos, comienza en el punto con coordenadas cero, uno y luego se desplaza hasta el punto con coordenadas uno, cero. En este plano se mueve en el sentido de las agujas del reloj. Según se desplaza, según nuestra coordenada 𝑧, se mueve en espiral hacia arriba, como si estuviera rodeando un cilindro. Así que, como ves, hemos podido dibujar la gráfica de 𝑟 de 𝑡, como se muestra aquí.

En este vídeo hemos aprendido a trabajar con funciones vectoriales. Estas funciones son de la forma 𝑟 de 𝑡 igual a 𝑓 de 𝑡 𝑖 más 𝑔 de 𝑡 𝑗 más ℎ de 𝑡 𝑘. Hemos visto que podemos obtener el dominio de una función vectorial hallando el punto de intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes. Además, hemos aprendido que, cuando operamos en dos dimensiones, si empezamos con ecuaciones paramétricas de la forma 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡, y luego eliminamos el parámetro 𝑡, esto puede ayudarnos a trazar las curvas de estas funciones, y también hemos aprendido que debemos indicar el sentido en el que se ha trazado la curva utilizando flechas.

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