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Vídeo: Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes

En este vídeo vamos a aprender cómo identificar sucesos incompatibles y cómo calcular su probabilidad.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo identificar sucesos incompatibles —también llamados mutuamente excluyentes— y cómo calcular su probabilidad. Si dos o más sucesos son incompatibles, no pueden ocurrir uno y también el otro. Por ejemplo, un animal no puede ser un gato y un perro, lo que significa que el hecho de ser un perro es incompatible con el hecho de ser un gato. Y mientras que ser un perro y ser un gato son eventos mutuamente excluyentes, el hecho de que te gusten los perros no es incompatible con el hecho de que te gusten los gatos. Puede haber gente a la que le gusten los perros, gente a la que le gusten los gatos, y gente a la que le gusten tanto los perros como los gatos, lo que significa que estas categorías no son mutuamente excluyentes. Pues ambas cosas pueden cumplirse al mismo tiempo. Pero como no hay superposición entre perros y gatos, llamamos a estos sucesos incompatibles. Y, como ya dijimos, también se les llama mutuamente excluyentes.

Antes de calcular probabilidades de sucesos incompatibles, vamos a repasar algunas de las reglas de la probabilidad. Para un suceso A, la probabilidad de A es la probabilidad de que A ocurra, y las siguientes propiedades se dan. La probabilidad de A ha de tener un valor entre cero y uno, inclusive. La suma de las probabilidades de todos los resultados posibles es igual a uno, o sea, es el 100 por ciento de la probabilidad. El contrario (o complementario) del suceso A, que es expresado como A con una barra encima, se refiere a todo aquello que no está en A. La probabilidad del contrario de A es igual a uno menos la probabilidad de A. Es posible que a veces veas el contrario del suceso escrito como A prima o A con un guion.

Queremos calcular la probabilidad tanto de sucesos que son incompatibles como de sucesos que son compatibles, es decir, de eventos que no son mutuamente excluyentes. Supongamos que queremos hallar la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B. Así que lo escribimos; la probabilidad de A o B matemáticamente se escribe así. A la izquierda tenemos sucesos mutuamente excluyentes. Y queremos saber la probabilidad de que ocurra A o B. Esa sería la probabilidad total de A, la probabilidad en azul, más la probabilidad total de B, la probabilidad en amarillo.

Supón que quieres calcular la probabilidad de que alguien elija un perro como mascota y la probabilidad de que ese alguien elija un gato como mascota. La probabilidad de A o B sería la probabilidad de que elija un perro o un gato. Y para calcular esto, debemos sumar estas dos probabilidades.

Vamos a aplicar el mismo procedimiento a eventos que no son mutuamente excluyentes. La probabilidad del evento A es todo lo que está en el círculo azul. Si añadimos la probabilidad del evento B a eso —o sea todo el círculo amarillo— el problema es que, en los sucesos que no son mutuamente excluyentes, A y B comparten una cantidad de probabilidad. Comparten la probabilidad de A y B. Esa es la probabilidad de la intersección.

Para calcular la probabilidad de sucesos compatibles —es decir, de sucesos que no son mutuamente excluyentes— hallamos la probabilidad del suceso A más la probabilidad del suceso B. Y luego restamos la probabilidad de la superposición entre ellos.

Volvamos al ejemplo de antes: si A es la probabilidad de que a alguien le gusten los perros y B es la probabilidad de que a alguien le gusten los gatos, entonces la probabilidad de A y B es el porcentaje de personas a las que les gustan ambos animales. Eso significa que la probabilidad de que a las personas les gusten los perros incluye a las personas a las que les gustan tanto los gatos como los perros. Y la probabilidad de que a alguien le gusten los gatos incluye a las personas a las que les gustan tanto los gatos como los perros. Así que hemos contado dos veces las personas en este grupo.

Por lo tanto, si restamos las personas a las que les gustan tanto los gatos como los perros, se cancela esta intersección repetida. De esta forma tenemos a las personas a las que les gustan los perros —y eso incluye a las personas a las que les gustan los gatos y los perros— más las personas a las que solo les gustan los gatos. En eventos mutuamente excluyentes, no es necesario hacer esto, pues la probabilidad de A y B es igual a cero. No hay superposición. Así que para hallar la probabilidad de A o B para sucesos incompatibles, simplemente tenemos que sumar la probabilidad de A a la probabilidad de B, porque la probabilidad de A y B es cero. Muy bien, probemos esta teoría con algunos ejemplos de la vida real.

En un refugio de animales, el 39 por ciento de los animales son gatos, C, y el 41 por ciento son perros, D. Calcula la probabilidad de que un animal elegido al azar sea un gato o un perro. Calcula la probabilidad de que un animal elegido al azar no sea gato ni perro.

Veamos lo que sabemos. En un refugio de animales, el 39 por ciento de los animales son gatos y el 41 por ciento son perros. En la primera parte de la cuestión se nos pide calcular la probabilidad de que un animal elegido al azar sea un gato o un perro.

Sabemos que un animal puede ser gato o perro, pero no ambos, por lo que estos sucesos son incompatibles. Eso significa que para calcular la probabilidad de que ocurra el suceso C o D, debemos sumar la probabilidad del suceso C y la probabilidad del suceso D. Como ya sabes, la probabilidad de que ocurra el suceso A es el número de formas en que A puede ocurrir dividido entre los resultados posibles. La probabilidad de C se refiere a la probabilidad de que un gato sea elegido entre todos los animales posibles.

Si el 39 por ciento de todos los animales son gatos, entonces hay una probabilidad de 0.39 de que un gato sea elegido entre todos los animales del refugio. Análogamente, si el 41 por ciento de todos los animales del refugio son perros, entonces la probabilidad de elegir un perro de entre todos los animales posibles es de 0.41. Si combinamos estas dos probabilidades, 0.39 más 0.41, obtenemos que la probabilidad de elegir un gato o un perro al azar es de 0.80. Por lo tanto, el 80 por ciento de los animales del refugio son gatos o perros. Si el 80 por ciento de los animales son gatos o perros, entonces el 20 por ciento de los animales no son ni gatos ni perros.

Para calcular la probabilidad de que un animal elegido al azar no sea ni gato ni perro, debemos hallar la probabilidad de que sea un gato o un perro. El contrario de un suceso es todo aquello que no es C ni D. Y lo hallamos calculando la probabilidad de C o D y restando el resultado de uno. La probabilidad de no escoger ni un gato ni un perro es, por lo tanto, de 0.20.

Veamos otro ejemplo. Esta vez solo se nos pide determinar si los sucesos son incompatibles o no.

Amelia tiene una típica baraja inglesa de 52 cartas y cuatro palos. Amelia ha de elegir una carta al azar y considera los siguientes sucesos. El suceso A, elegir una carta de corazones. El suceso B, elegir una carta negra. El suceso C, elegir una carta que no sea de picas. ¿Son los sucesos A y B incompatibles? ¿Son los sucesos A y C incompatibles? ¿Son los sucesos B y C incompatibles?

Respondamos a estas preguntas por separado, empezando por la primera. ¿Son los sucesos A y B incompatibles? El suceso A es escoger una carta de corazones, y el suceso B es escoger una carta negra. Si consideramos un típico mazo inglés de 52 cartas, el suceso A sería elegir cualquiera de las cartas que son de corazones. Y este es el suceso B, elegir una carta que sea negra.

En sucesos mutuamente excluyentes, la probabilidad de A y B es cero. No es posible que ambos sucesos ocurran al mismo tiempo. En vez de preguntarnos, «¿Son A y B mutuamente excluyentes?», deberíamos preguntarnos: «¿pueden A y B ocurrir al mismo tiempo?» «¿Puede Amelia elegir una carta de corazones y negra?» No, no es posible. Y como no es posible que A y B se cumplan al mismo tiempo, estos eventos son mutuamente excluyentes, o sea, incompatibles.

¿Y qué hay de los sucesos A y C? El suceso A es el mismo. Como el suceso C implica elegir una carta que no es de picas, puede ser de tréboles, corazones o diamantes. Nos hacemos la misma pregunta. ¿Pueden ocurrir el suceso A y el suceso C al mismo tiempo? Sí. Y como ambos sucesos pueden cumplirse al mismo tiempo, son compatibles, es decir, no son incompatibles.

¿Qué hay de B y C? Nos hacemos la misma pregunta: ¿pueden ocurrir B y C al mismo tiempo? Es posible elegir una carta que sea negra y no sea de picas. Es posible, sí, y son todas las cartas que son tréboles. Como los sucesos B y C pueden ocurrir al mismo tiempo, no son mutuamente excluyentes.

Veamos otro ejemplo.

En un pequeño coro hay un tenor, tres sopranos, un barítono y una mezzosoprano. Suponiendo que uno de ellos es elegido al azar, calcula la probabilidad de que salga elegido un tenor o una soprano.

El coro tiene un tenor, tres sopranos, un barítono y una mezzosoprano. Si los consideramos como incompatibles, eso significa que, por ejemplo, el tenor no puede ser también barítono. Hay, pues, seis personas en total. Queremos obtener la probabilidad de elegir a un tenor o a una soprano. Y como son mutuamente excluyentes, hemos de sumar estos valores, la probabilidad de que salga un tenor y la probabilidad de que salga una soprano.

Como solo hay un tenor, la probabilidad de elegir al azar a esa persona es de un sexto. Y como hay tres sopranos, la probabilidad de elegir al azar a esa persona es de tres sextos. Si sumamos estas fracciones obtenemos una probabilidad de cuatro sextos, que puede reducirse dividiendo el numerador y el denominador por dos. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar al azar un tenor o una soprano es de dos tercios.

Veamos otra cuestión.

En una bolsa hay bolas rojas, azules y verdes, y debe sacarse una de ellas sin mirar. La probabilidad de que la bola elegida sea roja es siete veces la probabilidad de que la bola elegida sea azul. La probabilidad de que la bola elegida sea azul es igual a la probabilidad de que la bola elegida sea verde. Calcula la probabilidad de que la bola elegida sea roja o verde.

Queremos calcular la probabilidad de sacar una bola roja o verde de la bolsa. Sabemos que estos eventos son mutuamente excluyentes porque la bola no puede ser roja y verde a la vez. La probabilidad de que la bola sea roja y verde es cero. Eso significa que la probabilidad de que la bola sea roja o verde será igual a la probabilidad de que la bola sea roja más la probabilidad de que la bola sea verde.

Ahora tenemos que hallar esos valores. Sabemos que la probabilidad de que la bola sea roja es siete veces la probabilidad de que la bola sea azul. Y la probabilidad de que la bola sea verde es igual a la probabilidad de que la bola sea azul. También sabemos que la probabilidad de que la bola sea roja más la probabilidad de que sea verde más la probabilidad de que sea azul es igual a uno.

Y esto es porque la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles es siempre igual a uno. En esta ecuación, vamos a sustituir la probabilidad de sacar una bola verde por la probabilidad de sacar una bola azul, y vamos a sustituir la probabilidad de sacar una bola roja por siete veces la de sacar una bola azul. Por lo tanto, siete veces la probabilidad de sacar una bola azul más la probabilidad de sacar una bola azul más la probabilidad de sacar una bola azul tiene que ser igual a uno.

Combinamos términos semejantes y vemos que nueve veces la probabilidad de sacar una bola azul es igual a uno. Esto implica que podemos dividir ambos lados de la ecuación por nueve para demostrar que la probabilidad de seleccionar una bola azul es un noveno. Si la probabilidad de seleccionar una bola azul es un noveno, entonces la probabilidad de seleccionar una bola verde es también un noveno, pues son iguales. La probabilidad de seleccionar una bola roja es siete veces la probabilidad de seleccionar una bola azul, lo que significa que será siete novenos. Para calcular la probabilidad de seleccionar una bola roja y una verde, sumamos siete novenos y un noveno y obtenemos ocho novenos.

Conviene señalar aquí que una vez que hemos hallado la probabilidad de sacar una bola azul, podríamos haber hallar la probabilidad de que no sea azul. Como solo hay bolas rojas, verdes y azules en la bolsa, la probabilidad de que no sea azul será la misma que la probabilidad de que sea roja o verde, que es ocho novenos.

En el último ejemplo se nos da la probabilidad de 𝐴 o 𝐵. Y seguidamente se nos pide que calculemos la probabilidad de 𝐵.

Sean 𝐴 y 𝐵 dos eventos mutuamente excluyentes. Sabiendo que la probabilidad de 𝐴 o 𝐵 es 0.93, y que la probabilidad de 𝐴 menos 𝐵 es 0.39, calcula la probabilidad de 𝐵.

El primer dato que se nos da es que la probabilidad de 𝐴 o 𝐵 es igual a 0.93. Y también sabemos que son sucesos incompatibles, por lo que la probabilidad de 𝐴 o 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐴 más la probabilidad de 𝐵. Esto implica que la probabilidad de que 𝐴 y 𝐵 ocurran al mismo tiempo es cero. Podemos representar estos dos sucesos mutuamente excluyentes con dos círculos que no se superponen.

El segundo dato que nos dan es que la probabilidad de 𝐴 menos 𝐵 es igual a 0.39. Esta es la probabilidad de que 𝐴 ocurra y de que 𝐵 no ocurra. Esto, de hecho, significa que la probabilidad de que 𝐴 ocurra es 0.39. Sabemos que la probabilidad de 𝐴 más la probabilidad de 𝐵 es igual a 0.93. Y acabamos de ver que 0.39 es la probabilidad de 𝐴. Para hallar 𝐵, hemos de restar 0.39 en ambos lados. Y obtenemos que la probabilidad de 𝐵 es 0.54.

Vamos a repasar los puntos clave tratados en este vídeo. Hemos aprendido que, si dos sucesos no pueden ocurrir al mismo tiempo, decimos que son incompatibles (o mutuamente excluyentes), y esto implica que la probabilidad de 𝐴 o 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐴 más la probabilidad de 𝐵. E implica también que la probabilidad de que 𝐴 y 𝐵 ocurran al mismo tiempo es cero.

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