Vídeo: El teorema fundamental del cálculo: funciones definidas como integrales

En este vídeo vamos a aprender cómo aplicar el teorema fundamental del cálculo para hallar la derivada de una función definida como una integral.

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El teorema fundamental del cálculo: funciones definidas como integrales

En esta lección vamos a aprender cómo aplicar el teorema fundamental del cálculo para hallar la derivada de una función definida como una integral. El teorema fundamental del cálculo tiene un nombre tan largo e importante porque une las dos ramas del cálculo. A estas alturas se supone que ya sabemos que el cálculo diferencial nos permite calcular la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Y el cálculo integral nos permite calcular el área bajo una curva entre acotaciones o límites. Sin embargo, en el siglo XVII, Isaac Barrow, maestro de Isaac Newton, se dio cuenta de que la derivación y la integración, dos métodos aparentemente no relacionados entre sí, eran en realidad operaciones inversas. Poco después, el propio Newton, junto a Leibniz, completaría el desarrollo de la teoría y formalizaría gran parte de la notación que utilizamos hoy en día.

El teorema fundamental del cálculo, el cual denotaremos como TFC para ahorrar espacio, dice lo siguiente. Si la función 𝑓 minúscula es continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏 y la función 𝐹 mayúscula de 𝑥 es igual a la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑡 con respecto a 𝑡, entonces lo siguiente es cierto. 𝐹 mayúscula es continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏. También es derivable en el intervalo abierto entre 𝑎 y 𝑏. Y lo que es más importante, 𝐹 mayúscula prima de 𝑥 es igual a 𝑓 minúscula de 𝑥 para todos los valores de 𝑥 en el intervalo abierto entre 𝑎 y 𝑏. Vamos a aclarar un poco la notación que usamos aquí, la cual puede que parezca algo rara al principio, pero se trata de definir la función 𝐹 mayúscula de 𝑥 usando la integral definida de otra función 𝑓 de 𝑡. Y los límites de integración son 𝑎 y 𝑥.

Es importante señalar que 𝑎 representa una constante independiente de 𝑥. Una de las consecuencias de este teorema es que, cualquier función continua, en este caso 𝑓 minúscula de 𝑥, tiene una antiderivada, 𝐹 mayúscula de 𝑥. Y, como ya hemos mencionado antes, este teorema relaciona el proceso de derivación con el de integración. Puede que veamos mejor esta relación si usamos una notación diferente para la derivada. Habíamos definido 𝐹 mayúscula de 𝑥 de esta manera, y luego hallamos 𝐹 mayúscula prima de 𝑥 cuando derivamos con respecto a 𝑥. Y, por supuesto, esto es igual a 𝑓 minúscula de 𝑥, como en la línea anterior. Esta igualdad, que muestra el resultado de aplicar el operador derivada a una integral, hace más fácil que nos demos cuenta de que verdaderamente son procesos inversos. Vamos a continuar analizando nuestra teoría más tarde para tratar de alcanzar una mejor comprensión. Por ahora, vamos a ver un ejemplo.

Utiliza el teorema fundamental del cálculo para hallar la derivada de la función 𝑔 de 𝑥, la cual es igual a la integral entre tres y 𝑥 del logaritmo neperiano de uno más 𝑡 elevado a cinco con respecto a 𝑡.

En este problema se nos ha dado una función 𝑔 de 𝑥, que está definida como una integral. Y se nos ha pedido que hallemos la derivada de esta función. Es posible que lo primero que se nos ocurra es derivar la integral utilizando los procedimientos de siempre y luego derivar con respecto a 𝑥. En este caso, esto sería un error, aparte de que la integral que se nos ha dado es liosa y difícil de calcular. Además, el problema nos da una pista, nos dice que debemos aplicar el teorema fundamental del cálculo, que conocemos como TFC. Y este teorema nos dice que, si 𝑓 es una función continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏, y 𝐹 mayúscula de 𝑥 está definida como la integral entre 𝑎 y 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 con respecto a 𝑡. Entonces, 𝐹 prima de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥 para todos los valores de 𝑥 en el intervalo abierto entre 𝑎 y 𝑏.

Este teorema tiene gran importancia, como vamos a ver cuando lo apliquemos a este problema. De hecho, sabemos que la función que tenemos coincide con la forma de la del teorema fundamental de cálculo, pues 𝑔 de 𝑥 representa 𝐹 mayúscula de 𝑥, el logaritmo neperiano de uno más 𝑡 elevado a cinco representa 𝑓 minúscula de 𝑡, el límite inferior de integración tres representa la constante 𝑎, y el límite superior representa 𝑥. Como las estructuras coinciden, podemos aplicar directamente el teorema fundamental del cálculo para hallar 𝑔 prima de 𝑥, que aquí representa 𝐹 mayúscula prima de 𝑥. Ya conocemos el valor de la función 𝑓 minúscula de 𝑡, y, por lo tanto, para hallar 𝑓 minúscula de 𝑥, cambiamos las 𝑡s por 𝑥s. Por lo tanto, 𝑓 minúscula de 𝑥 es igual al logaritmo neperiano de uno más 𝑥 elevado a cinco. Y ya conocemos, por lo tanto, el valor de 𝑔 prima de 𝑥.

El hecho que nos ha ayudado a resolver esta cuestión es que no hemos tenido que integrar el logaritmo neperiano de uno más 𝑡 elevado a cinco. De haber tenido que hacerlo, nos habríamos encontrado con unos cálculos bastante largos. En su lugar, el teorema fundamental del cálculo nos ha ayudado a obtener la solución de una forma mucho más rápida. Recuerda que debes tener mucho cuidado a la hora de resolver problemas de este tipo, en los que se te pide hallar la derivada de una integral. Y la función que hay dentro de la integral parece bastante difícil de integrar. El teorema fundamental del cálculo puede ayudarte a encontrar una forma más fácil de hacerlo.

Muy bien, vamos a repasar nuestra teoría y a utilizar una representación visual para comprenderla mejor. Tenemos una función 𝑓 minúscula, que es continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏. La integral entre 𝑎 y 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 con respecto a 𝑡 puede considerarse como el área bajo la curva entre los límites de integración 𝑎 y 𝑥. Podemos definir una función 𝐹 mayúscula como esta área. Por lo tanto, 𝐹 mayúscula de 𝑥 es igual a la integral entre 𝑎 y 𝑥 de 𝑓 de 𝑡 con respecto a 𝑡. Es importante señalar que 𝑥 es una variable y que puede tomar cualquier valor dentro del intervalo entre 𝑎 y 𝑏, en el cual ya hemos mencionado que la función es continua.

Para explicar a qué nos referimos, vamos a añadir algunos nombres. En el primer diagrama tenemos 𝑥 uno. Y en el segundo diagrama tenemos 𝑥 dos. En el primer diagrama, el área se expresa como 𝐹 mayúscula de 𝑥 uno. Y en el segundo diagrama, el área se expresa como 𝐹 mayúscula de 𝑥 dos. En este ejemplo, el área, 𝐹 de 𝑥 dos, es claramente más grande que 𝐹 de 𝑥 uno. Muy bien, sin embargo, el teorema fundamental del cálculo se refiere a la derivada 𝑓 prima de 𝑥. Que es la derivada de 𝐹 mayúscula de 𝑥 con respecto a 𝑥, y eso es d sobre d𝑥 de esta integral.

Vale, ¿pero qué significa esto en realidad? Bueno, si consideramos nuestra integral como el área bajo una curva y consideramos la derivada como la tasa de variación, entonces 𝐹 mayúscula prima de 𝑥, la derivada de nuestra integral, es la tasa de variación del área con respecto a 𝑥. Es decir, ¿a qué tasa varía el área de esta forma geométrica debido a un cambio en 𝑥? No nos vamos a pasar de rosca aquí y meter números infinitesimales o límites. En vez de eso, vamos a tratar de obtener una comprensión visual a partir de estos gráficos. El teorema fundamental del cálculo nos dice que 𝐹 mayúscula prima de 𝑥 es igual a 𝑓 minúscula de 𝑥. Por lo tanto, la tasa de variación del área es la altura de la curva en este punto. La tasa de variación de esta área es la función 𝑓 minúscula calculada en 𝑥 uno. Y la tasa de variación de esta área es la función 𝑓 minúscula calculada en 𝑥 dos.

Visualmente, debería tener sentido que, si la parte derecha de esta figura geométrica tiene una mayor altura, entonces su área cambiará en una mayor cantidad cuando 𝑥 cambia. En este ejemplo, vemos esto representado con 𝑓 de 𝑥 dos mayor que 𝑓 de 𝑥 uno. Bien, un último apunte para concluir este ejemplo: ten cuidado y no pienses que la tasa de variación del área es el gradiente de la curva. Recuerda que es la altura. Como ves, no hemos echado mano de los números infinitesimales, pero ahora ya debemos tener una mejor intuición a la hora de conocer los principios que subyacen en el teorema fundamental del cálculo.

Ahora vamos a ver otro ejemplo para practicar la aplicación de este teorema.

Utiliza el teorema fundamental del cálculo para hallar la derivada de la función 𝑅 de 𝑦 igual a la integral entre 𝑦 y cinco de tres 𝑡 al cuadrado seno de dos 𝑡 con respecto a 𝑡.

En primer lugar, vemos que tenemos una función definida como una integral 𝑅 mayúscula de 𝑦. Y se nos ha pedido que hallemos su derivada, 𝑅 mayúscula prima de 𝑦. Un método que podemos utilizar para resolver este problema, como nos indica el enunciado, es el teorema fundamental del cálculo. La primera parte de este teorema nos dice que, si 𝑓 minúscula es una función continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏, y si la función 𝐹 mayúscula de 𝑥 está definida como la integral entre 𝑎 y 𝑥 de 𝑓 minúscula de 𝑡 con respecto a 𝑡. Entonces, 𝐹 prima de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥 para todos los valores de 𝑥 en el intervalo abierto entre 𝑎 y 𝑏. Ahora bien, la función que nos da el problema no es 𝐹 mayúscula de 𝑥, sino 𝑅 mayúscula de 𝑦.

Antes de hallar el valor de 𝑅 prima de 𝑦, vamos a ver de nuevo 𝑅 de 𝑦 para ver si tenemos la forma correcta de la ecuación para aplicar el teorema fundamental de cálculo. En efecto, tenemos una función definida como una integral y el integrando es una función continua. Sin embargo, la variable con la que estamos operando, 𝑦, aparece como el límite inferior de integración, y tenemos una constante como el límite superior. Esto es opuesto al teorema fundamental del cálculo, en el que la variable es el límite superior y la constante es el límite inferior. Por lo tanto, las posiciones de nuestros límites están invertidas. Afortunadamente, una de las propiedades de las integrales dice que podemos cambiar la posición de los límites de integración si multiplicamos por menos uno la integral. Podemos aplicar esto a nuestra integral, que define 𝑅 de 𝑦. Y no importa si este factor de menos uno se pone dentro o fuera de la integral.

Ahora que ya tenemos la función en la forma correcta, con la variable como límite superior y la constante como límite inferior, podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo. Así que podemos decir que 𝑅 mayúscula prima de 𝑦 es igual a 𝑓 de 𝑦. Recordemos que la variable es 𝑦, no 𝑥. Si nos fijamos de nuevo en nuestra integral, vemos que 𝑓 minúscula de 𝑡 es igual a menos tres 𝑡 al cuadrado seno de dos 𝑡. Por lo tanto, para hallar 𝑓 minúscula de 𝑦 hemos de sustituir todas las 𝑡s por 𝑦s. De esta forma hallamos que 𝑅 mayúscula prima de 𝑦 es igual a menos tres 𝑦 al cuadrado seno de dos 𝑦. Y, por lo tanto, ya hemos resuelto el problema. Hemos hallado la derivada 𝑅 mayúscula prima de 𝑦 aplicando el teorema fundamental del cálculo. Y, de esta forma, nos hemos ahorrado calcular la integral definida que se nos ha dado, que, de haberlo hecho, nos habría llevado a cálculos liosos y largos.

En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, uno de los límites de nuestra integral ha sido siempre una constante 𝑎 y el otro la variable con la que opera nuestra función 𝐹 mayúscula, que es 𝑥. ¿Y si, en cambio, este límite no fuera 𝑥 sino 𝑥 al cuadrado? O si el límite fuera otra función de 𝑥. Digamos 𝑢 de 𝑥. Ocurre a menudo que te encuentras con ecuaciones de esta forma, por lo que vamos a ver cómo tratar con ellas en el siguiente ejemplo.

Utiliza el teorema fundamental del cálculo para hallar la derivada de la función 𝑦 de 𝑥 igual a la integral entre dos y 𝑥 elevado a cuatro de cinco coseno al cuadrado de cinco 𝜃 con respecto a 𝜃.

Como ves, tenemos una función 𝑦 de 𝑥 que está definida como una integral. Para hallar la derivada, en vez de calcular la integral, vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo. Este teorema nos dice que, si 𝑓 minúscula es una función continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏 y tenemos otra función 𝐹 mayúscula de 𝑥, que está definida como la integral entre 𝑎 y 𝑥 de 𝑓 minúscula de 𝑡 con respecto a 𝑡. Entonces, 𝐹 prima de 𝑥 es igual a 𝑓 minúscula de 𝑥 para todos los valores de 𝑥 en el intervalo abierto entre 𝑎 y 𝑏. Bien, ahora vamos a comprobar si tenemos la forma correcta.

La función definida por la integral es 𝑦 de 𝑥 en vez de 𝐹 mayúscula de 𝑥. Nuestro integrando es una función continua en todo el conjunto de números reales. Y es 𝑓 minúscula de 𝜃 en vez de 𝑓 minúscula de 𝑡. El límite inferior de nuestra integral es dos, que es una constante. Sin embargo, tenemos un problema, pues el límite superior no es 𝑥, sino 𝑥 elevado a cuatro. Y esta es una función de 𝑥. Para usar el teorema fundamental del cálculo, tenemos que hacer algunos cambios. Primero, expresamos 𝑦 de 𝑥 de una forma algo más arreglada. Luego, definimos el límite superior que nos está dando problemas como algo distinto, por ejemplo, como la variable 𝑢. Así, tenemos que 𝑦 de 𝑥 es igual a la integral entre dos y 𝑢 de 𝑓 de 𝜃 d𝜃.

Ahora tenemos que hallar 𝑦 prima de 𝑥, que es la derivada de 𝑦 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Podemos escribirlo como d sobre d𝑥 de la integral que hemos formado aquí. Es aquí cuando podemos tener un problema. No podemos utilizar directamente el teorema fundamental del cálculo para calcular de momento, pues el límite superior no coincide con la variable 𝑥. Un método que podemos tratar de utilizar es la regla de la cadena, que nos dice que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑢 por d𝑢 sobre d𝑥. Y precisamente aquí tenemos un d𝑦 sobre d𝑥. De manera que la regla de la cadena nos permite reescribir esto como d𝑦 sobre d𝑢 por d𝑢 sobre d𝑥. Si nos fijamos en esta parte de la ecuación, vemos que puede calcularse usando el teorema fundamental del cálculo, pues estamos tomando una derivada con respecto a 𝑢 y nuestro límite superior es 𝑢.

Puede que lo veas más claramente si te fijas en que ahora la forma es correcta, como se muestra aquí. Si aplicamos el teorema podemos decir que esto es igual a 𝑓 de 𝑢. Y, por lo tanto, 𝑦 prima de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑢 d𝑢 sobre d𝑥. Esta es una generalización muy útil que podemos usar cuando los límites de nuestra integral son funciones de 𝑥 en vez de solo 𝑥. Seguimos adelante y sustituimos en la ecuación usando nuestros datos, que dicen que 𝑢 es igual a 𝑥 elevado a cuatro. Como sabemos, 𝑓 de 𝜃 es igual a cinco coseno al cuadrado de cinco 𝜃. Sustituimos 𝜃 por 𝑥 elevado a cuatro y obtenemos que 𝑓 de 𝑥 elevado a cuatro es igual a cinco coseno al cuadrado de cinco 𝑥 elevado a cuatro.

Ahora derivamos 𝑥 elevado a cuatro con respecto a 𝑥. Esto es cuatro 𝑥 al cubo. Multiplicamos estos dos términos y obtenemos 20𝑥 al cubo por coseno al cuadrado de cinco 𝑥 elevado a cuatro. De esta forma hemos llegado a la solución del problema, que es la expresión de 𝑦 prima de 𝑥.

Este ejemplo ilustra una modificación muy interesante del teorema fundamental del cálculo. Este método puede generalizarse para operar con integrales cuyos límites son ambos funciones de 𝑥. Veamos ahora un último ejemplo.

Halla la derivada de la función 𝑔 de 𝑥 igual a la integral entre uno menos dos 𝑥 y uno más 𝑥 de cinco 𝑡 seno de 𝑡 con respecto a 𝑡.

En este problema se nos ha dado una función definida por una integral, 𝑔 de 𝑥. Y tenemos que hallar su derivada, 𝑔 prima de 𝑥. Para hacerlo, vamos a aplicar la primera parte del teorema fundamental del cálculo, que dice que, si tenemos una función definida de esta forma, podemos hallar su derivada usando las siguientes reglas. Aquí, hemos reescrito nuestro integrando. Hemos igualado 𝑓 de 𝑡 a cinco 𝑡 seno de 𝑡. Lo primero de lo que nos damos cuenta al observar nuestra integral es que los límites de integración son funciones de 𝑥 en vez de simplemente 𝑥. Además, ninguno de los límites de integración es una constante, lo cual necesitamos usar en nuestro teorema.

Afortunadamente, a estas alturas sabemos que una integral puede descomponerse de la siguiente manera. Para conceptualizar esto, conviene hacer uso de la interpretación de la integral definida como el área bajo una curva, como vemos aquí. Si usamos este truco, podemos introducir una constante que vamos a llamar 𝑎 en las integrales que forman esta suma. A continuación, vemos que la primera integral tiene esta constante como su límite superior en vez de su límite inferior. Por lo tanto, para poder aplicar el teorema fundamental del cálculo, tenemos que hacer algunas modificaciones. Afortunadamente, si cambiamos los límites de la integral y la multiplicamos por menos uno, obtenemos el mismo resultado. Por lo que ya podemos aplicar el teorema.

Muy bien, ya estamos algo más cerca de la forma que necesitamos. Pero recuerda que el límite superior de ambas integrales, en vez de ser 𝑥 es una función de 𝑥. Para poder continuar, vamos a utilizar la siguiente forma modificada del teorema fundamental del cálculo. Si 𝑓 minúscula es una función continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏, y 𝐹 mayúscula de 𝑥 está definida por la integral entre 𝑎 y una función de 𝑥, que llamaremos 𝑢 de 𝑥, de 𝑓 de 𝑡 con respecto a 𝑡. Entonces, 𝐹 mayúscula prima de 𝑥 es igual a 𝑓 minúscula de 𝑢 de 𝑥 por d sobre d𝑥 de 𝑢 de 𝑥, si 𝑢 de 𝑥 está en el intervalo abierto entre 𝑎 y 𝑏. Si nos fijamos de nuevo en 𝑔 de 𝑥, vemos que ahora está expresada como la suma de dos integrales separadas.

Usando las reglas de derivación podemos hallar 𝑔 prima de 𝑥 derivando cada uno de estos términos por separado. De esta forma, nuestro teorema modificado puede aplicarse a cada término por separado. En el primer término el límite superior es la función uno menos dos 𝑥. El teorema modificado nos dice que esto es igual a menos 𝑓 de uno menos dos 𝑥 por d sobre d𝑥 de uno menos dos 𝑥. El segundo término tiene la misma forma, pero usa el límite superior de uno más 𝑥. Como sabemos, 𝑓 de 𝑡 es igual a cinco 𝑡 seno de 𝑡. Para 𝑓 de uno menos dos 𝑥, sustituimos todos los términos de 𝑡 en esta ecuación por uno menos dos 𝑥. Y multiplicamos esto por la derivada de uno menos dos 𝑥.

En el segundo término hacemos lo mismo, primero sustituimos en 𝑓 minúscula y luego hallamos la derivada de uno más 𝑥 y multiplicamos. Después de simplificar un poco, obtenemos el siguiente resultado. Ya hemos resuelto el problema, pues hemos hallado la derivada 𝑔 prima de 𝑥. Este ejemplo ilustra que podemos utilizar la versión modificada del teorema fundamental del cálculo incluso cuando la función que tenemos está definida como una integral que tiene diferentes funciones de 𝑥 en los límites superior e inferior.

Bien, antes de terminar vamos a repasar algunos puntos clave. El teorema fundamental del cálculo dice que, si 𝑓 minúscula es una función continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏, y la función 𝐹 mayúscula de 𝑥 está definida como la integral entre 𝑎 y 𝑥 de 𝑓 minúscula de 𝑡 con respecto a 𝑡. Entonces, 𝐹 mayúscula es continua en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏, es derivable en el intervalo abierto entre 𝑎 y 𝑏, y 𝐹 mayúscula prima de 𝑥 es igual a 𝑓 minúscula de 𝑥 para todos los valores de 𝑥 en el intervalo abierto entre 𝑎 y 𝑏. Si la variable es el límite inferior de integración en vez de ser el límite superior, podemos intercambiar los límites y multiplicar la integral por menos uno, obteniendo así la forma correcta de la integral.

El teorema fundamental del cálculo debe aplicarse de forma modificada cuando uno de los límites es una función de 𝑥 en vez de simplemente 𝑥. Y aquí hemos llamado a esta función 𝑢 de 𝑥. Cuando una función está definida como una integral en la que ambos límites son dependientes de 𝑥, el intervalo puede partirse en dos para incluir constantes en los límites. Luego, podemos intercambiar los límites como ya hemos visto y multiplicar la integral por menos uno. De esta forma, podemos resolver el problema utilizando, por separado, la versión modificada del teorema fundamental de cálculo en cada una de estas integrales.

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