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Vídeo de la lección: Inecuaciones de primer grado de dos pasos Matemáticas • Séptimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver una inecuación de primer grado de dos pasos.

16:50

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver una inecuación de primer grado de dos pasos. Para ello vamos a recordar primero alguna notación básica y cómo resolver una inecuación de primer grado de un paso. Seguidamente veremos cuestiones en las que hay que plantear y resolver una inecuación de primer grado de dos pasos, incluyendo algunas en contextos del mundo real. En primer lugar vamos a aprender cómo escribir una inecuación y lo que significa. Por ejemplo, si consideramos la variable 𝑥 y la constante tres, vemos que hay cuatro formas distintas de relacionarlas utilizando signos de desigualdad.

La primera inecuación significa que 𝑥 es mayor que tres. La segunda inecuación significa que 𝑥 es menor que tres. La tercera inecuación significa que 𝑥 es mayor o igual a tres. Y la última inecuación significa que 𝑥 es menor o igual a tres. Estas inecuaciones también pueden escribirse en notación de intervalo. Si 𝑥 es mayor que tres, puede tomar cualquier valor que sea superior a tres y menor que ∞. Cuando 𝑥 es menor que tres, puede tomar cualquier valor que sea menor que tres y mayor que menos ∞. Fíjate en que aquí tenemos paréntesis, pues nuestro valor nunca puede alcanzar más ∞ o menos ∞, y también ha de ser mayor que tres o menor que tres. Cuando 𝑥 es mayor o igual a tres, cerramos el tres con un corchete. Lo mismo ocurre cuando 𝑥 es menor o igual a tres.

Más ∞ y menos ∞ siempre llevarán paréntesis. Puede que nos digan que 𝑥 se encuentra en el intervalo entre cuatro y ocho. Hay un corchete al lado del cuatro, lo que significa que 𝑥 es mayor o igual a cuatro. Como hay un paréntesis al lado del ocho, 𝑥 debe ser menor que ocho. Esto se puede escribir usando signos de desigualdad. 𝑥 mayor o igual a cuatro y menor que ocho. También podemos expresar esto con notación de conjunto, donde 𝑥 contiene todos los valores enteros entre cuatro y siete inclusive. Como 𝑥 es menor que ocho, este no está incluido en el conjunto. Vamos a hacer un poco de espacio para poder representar esta inecuación en una recta numérica.

Consideremos los dos ejemplos 𝑥 mayor que tres y 𝑥 mayor o igual a tres. Si 𝑥 es mayor que tres, tenemos un circulito en el tres en la recta numérica. Como 𝑥 puede tomar cualquier valor mayor que este, dibujamos una flecha hacia la derecha. El único cambio cuando 𝑥 es mayor o igual a tres ocurre en el número tres, donde rellenamos el circulito. Esto indica que 𝑥 puede tomar ahora el valor tres o cualquier valor a su derecha.

Recordemos brevemente cómo resolver una inecuación de primer grado de un solo paso. Podemos resolver una inecuación de un paso del mismo modo que una ecuación de un paso. Consideremos las cuatro inecuaciones que aparecen aquí. En primer lugar, tenemos 𝑥 más tres es mayor que cinco. Para resolver esto, realizamos la operación inversa o recíproca. Lo contrario de sumar tres es restar tres. Si restamos tres en ambos lados de la inecuación obtenemos 𝑥 es mayor que dos. La operación inversa o contraria de restar nueve es sumar nueve.

Como cuatro más nueve es 13, la solución a la segunda inecuación es 𝑥 es menor o igual a 13. Cinco 𝑥 es cinco multiplicado por 𝑥. La operación inversa de multiplicar por cinco es dividir por cinco. 35 entre cinco es siete. Así que 𝑥 es mayor o igual a siete. En la última inecuación de un paso, vamos a multiplicar ambos lados por siete. El miembro izquierdo se convierte en 𝑥, y cuatro por siete es 28. La solución a esta inecuación es, por lo tanto, 𝑥 menor que 28. Muy bien, ahora ya estamos listos para resolver algunas cuestiones sobre inecuaciones de dos pasos.

Halla el conjunto de soluciones de tres 𝑥 menos siete menor que menos cuatro sabiendo que 𝑥 es un número natural.

Antes de resolver esta inecuación, vamos a recordar lo que es un número natural. Los números naturales son los números enteros no negativos, por ejemplo, cero, uno, dos, tres, cuatro, etcétera. Resolvamos ahora esta inecuación y hallemos cuál de estos números verifica la inecuación. Esta inecuación dice que tres 𝑥 menos siete es menor que menos cuatro. Podemos resolverla usando operaciones inversas. El primer paso es sumar siete a ambos lados de la inecuación, pues lo contrario de restar siete es sumar siete. Menos cuatro más siete es tres, así que tres 𝑥 es menor que tres.

El segundo y último paso es dividir ambos lados de esta nueva inecuación por tres. Tres 𝑥 entre tres es 𝑥, y tres entre tres es uno. La solución a la inecuación es 𝑥 es menor que uno. Esta respuesta puede escribirse en notación de intervalo, donde 𝑥 puede tomar cualquier valor menor que uno hasta menos ∞. Sin embargo, en este problema se nos pide hallar el conjunto de soluciones. Además, 𝑥 tiene que ser un número natural. El único número natural que es menor que uno es cero. Esto significa que el conjunto de soluciones de la inecuación tres 𝑥 menos siete menor que menos cuatro donde 𝑥 es un número natural es el conjunto que solo contiene el número cero.

Ahora vamos a ver otro ejemplo en el que se nos pide escribir el conjunto de soluciones en notación de intervalos.

Halla el conjunto solución de la inecuación menos dos 𝑥 más tres menor o igual a cinco. Expresa la respuesta con notación de intervalos.

En la primera parte del problema debemos resolver una inecuación de dos pasos. Y seguidamente escribir la respuesta como un intervalo. La inecuación menos dos 𝑥 más tres menor o igual a cinco puede resolverse usando operaciones inversas. El primer paso es restar tres en ambos lados de la inecuación. Como cinco menos tres es dos, tenemos que menos dos 𝑥 es menor o igual a dos. El segundo y último paso es dividir ambos lados de la inecuación por menos dos. Pero ¡ojo!, aquí hay que tener mucho cuidado, pues recuerda que, si menos 𝑥 es menor que cuatro, entonces 𝑥 es mayor que menos cuatro.

Cuando dividimos una inecuación por un número negativo, el signo también cambia. Menos dos 𝑥 dividido por menos dos es 𝑥. Dos dividido por menos dos es menos uno. Si menos dos 𝑥 es menor o igual a dos, entonces 𝑥 es mayor o igual a menos uno. Esto significa que 𝑥 puede tomar cualquier valor mayor o igual que menos uno. El problema nos ha pedido que escribamos esto en forma de intervalo, así que 𝑥 es mayor o igual que menos uno pero menor que ∞. La parte con el signo igual de la inecuación significa que tenemos un corchete junto a menos uno. Más ∞ y menos ∞ siempre llevan un paréntesis, pues nunca podremos alcanzar estos valores.

En el próximo problema vamos a escribir una inecuación en una situación práctica.

Una tienda de golosinas tiene una oferta especial: si gastas más de 15 dólares, consigues un batido de chocolate gratis. Las cajas de regalo cuestan tres dólares cada una, y los bombones de chocolate cuestan dos dólares cada 50 gramos. Escribe una inecuación para hallar 𝑤, el peso en bombones de chocolate que debes comprar, junto a una caja de regalo, si quieres recibir un batido de chocolate gratis.

Sabemos que la oferta especial de un batido de chocolate gratis se aplica solo si se gastan más de 15 dólares. Esto significa que nuestra expresión debe ser mayor que 15. Sabemos que una caja de regalo cuesta tres dólares. Y que los bombones de chocolate cuestan dos dólares por 50 gramos. Si dividimos ambos valores por dos vemos que podemos comprar 25 gramos de chocolate por un dólar. El peso del chocolate que tenemos que comprar es 𝑤. Así que el costo de esto será 𝑤 dividido por 25, pues 25 gramos de chocolate cuestan un dólar. Además, vamos a comprar una caja de regalo que cuesta tres dólares. Así que nuestro gasto total es 𝑤 dividido entre 25 más tres.

Para recibir el regalo, esto debe ser mayor que 15. La inecuación para calcular 𝑤 es, por lo tanto, 𝑤 partido por 25 más tres mayor que 15. Aunque no es necesario hacerlo en esta cuestión, podemos resolver la inecuación restando primero tres en ambos lados. Y obtenemos 𝑤 entre 25 es mayor que 12. El segundo paso es multiplicar la inecuación por 25. La operación inversa o recíproca de dividir por 25 es multiplicar por 25. 12 por 25 es 300. Esto significa que tendríamos que comprar más de 300 gramos de bombones de chocolate para obtener un batido de chocolate gratis.

En el próximo problema vamos a plantear y resolver una inecuación de dos pasos.

Matthew quiere comprarse ropa. El aparcamiento de la tienda tiene un cártel en la entrada. «Aparcamiento: la primera hora es gratis, y cuesta un dólar con 50 por hora después de la primera hora». Escribe una inecuación para 𝑡, el tiempo en horas, que Matthew puede aparcar sabiendo que solo tiene ocho dólares con 25 centavos en efectivo. Sabiendo que debe pagar por horas enteras de estacionamiento, utiliza una inecuación para calcular el tiempo máximo que Matthew puede estacionar.

Vamos a pensar en la información que nos da el cartel. La cantidad de tiempo estacionado, en horas, va a ser 𝑡, y nos dicen que la primera hora de estacionamiento es gratis. Cada hora después de eso cuesta un dólar con 50. Por lo tanto, podemos considerar multiplicar un dólar con 50 por 𝑡. Sin embargo, como esa primera hora es gratis, debemos multiplicar un dólar con 50, o sea, 1.5, por 𝑡 menos uno. Sabemos que aparcar durante dos horas costaría un dólar con 50. Y si sustituimos un dos en esta expresión obtendremos un dólar con 50. Análogamente, tres horas de estacionamiento costarían tres dólares, pues la primera hora es gratis. Sustituimos un tres en la expresión y obtenemos tres menos uno, que es dos, que multiplicado por 1.5 es tres dólares.

Matthew solo tiene ocho dólares con 25 centavos en efectivo. Así que el valor de esta expresión debe ser menor o igual a 8.25. Podríamos desarrollar el paréntesis en el lado izquierdo. Pero eso ahora no es necesario. La inecuación en términos de 𝑡 es 1.5 por 𝑡 menos uno es menor o igual a 8.25. La segunda parte del problema nos pide que resolvamos la inecuación para calcular el tiempo máximo que Matthew puede aparcar. Podemos resolver la inecuación utilizando operaciones inversas.

El primer paso es dividir ambos lados por 1.5. El lado izquierdo de la inecuación se convierte en 𝑡 menos uno. 8.25 entre 1.5 es 5.5. Por lo tanto, 𝑡 menos uno es menor o igual a 5.5. El segundo y último paso es sumar uno a ambos lados de la nueva inecuación. De este modo, obtenemos que 𝑡 es menor o igual a 6.5. Se nos dice que hay que pagar por horas enteras de estacionamiento. Así que 𝑡 debe ser un número entero. Como 𝑡 debe ser menor o igual a 6.5, el mayor valor entero que puede tomar es seis. Esto significa que el tiempo máximo que Matthew puede aparcar es seis horas.

Repasemos ahora algunos de los puntos clave que hemos aprendido en este vídeo sobre la resolución de inecuaciones de primer grado de dos pasos. Una inecuación de primer grado de dos pasos es de la forma 𝑎𝑥 más 𝑏 mayor que 𝑐. Pero hay cuatro posibles signos, mayor que, menor que, mayor que o igual a, o menor que o igual a. La solución o respuesta final puede escribirse en forma de intervalo o como conjunto de soluciones. O podemos representarla en una recta numérica. Si 𝑥 es mayor que cuatro y menor o igual a siete, se escribe como el intervalo de cuatro a siete con un paréntesis en el lado del cuatro y un corchete en el lado del siete.

Como un conjunto de soluciones enteras, esto puede escribirse como el conjunto formado por los números cinco, seis y siete, pues la solución no puede ser cuatro, pero sí puede ser siete. Cuando resolvemos la inecuación debemos realizar la operación inversa o recíproca en cada paso. La suma y la resta son operaciones inversas, así como la multiplicación y la división. Recuerda, lo que hagas en un lado del signo de desigualdad, debes hacerlo en el otro lado también. Plantear y resolver inecuaciones de primer grado puede ayudarnos a resolver muchos problemas matemáticos de la vida real.

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