Vídeo: Las series 𝑝 y la serie armónica

En este vídeo vamos a aprender cómo, aplicando el criterio de la integral, podemos obtener el criterio de convergencia de una serie 𝑝 general, y podemos demostrar, en particular, la divergencia de la serie armónica.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo obtener el criterio de convergencia de una serie 𝑝 general. Y, en particular, vamos a demostrar la divergencia de la serie armónica aplicando el criterio de la integral. Vamos a ver, también, varios ejemplos en los que se aplica el criterio de convergencia de las series 𝑝 para determinar si una serie converge o diverge.

Vamos a recordar primero qué diferencia hay entre una serie convergente y una serie divergente. Si queremos determinar si una serie es convergente, debemos averiguar si la suma de sus términos se acerca cada vez más a un valor específico cuando aumenta el número de términos. Si esto no pasa, entonces tenemos una serie divergente, lo que significa que la serie no tiene un límite. Así que podría tratarse de una serie que tiende a más o menos ∞ cuando sumamos un número infinito de términos.

Una serie muy importante es la serie armónica, que es una serie infinita de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛, o sea, uno más un medio más un tercio más un cuarto, y así sucesivamente. Seguro que te gustará saber que esta serie debe su nombre a la música. La vibración de una cuerda produce longitudes de onda proporcionales a un entero, un medio, un tercio, un cuarto, etcétera, de la longitud de onda fundamental de las cuerdas. No obstante, lo que vamos a ver en este vídeo es si la serie armónica es convergente o divergente. Y para ello vamos a aplicar el criterio de la integral.

Como ya debes saber, el criterio de la integral dice que, si definimos una función 𝑓 a partir de una serie, y la función es continua, positiva y decreciente en el intervalo entre uno y ∞, entonces, si la integral impropia de la función es convergente, la serie es convergente. Y si la integral impropia es divergente, la serie es divergente. Cuando el límite de esta integral impropia existe, la integral es convergente. Y cuando el límite de la integral impropia no existe o es infinito, la integral es divergente. Bien, apliquemos el criterio de la integral a nuestra serie.

Si decimos que 𝑓 de 𝑥 es uno sobre 𝑥, entonces la integral que vamos a calcular es la integral entre uno e ∞ de uno sobre 𝑥 con respecto a 𝑥. Esta es una integral impropia, pues tenemos un límite infinito. Y la forma de operar con integrales impropias es sustituir el límite infinito por una variable para luego tomar los límites de la integral cuando esa variable tiende a ∞. De esta forma reescribimos la integral como el límite cuando 𝑡 tiende a ∞ de la integral entre uno y 𝑡 de uno sobre 𝑥 con respecto a 𝑥. Y conocemos un resultado general que nos dice que la integral de uno sobre 𝑥 con respecto a 𝑥 es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más una constante de integración.

Cuando calculamos una integral definida de uno a 𝑡, la constante se restará a sí misma. Así que obtenemos simplemente el límite cuando 𝑡 tiende a ∞ del logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥. De esta forma obtenemos el límite cuando 𝑡 tiende a ∞ del logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑡 menos el logaritmo neperiano del valor absoluto de uno. Pero el logaritmo neperiano de uno es cero. Así que tan solo tenemos que calcular el límite cuando 𝑡 tiende a ∞ del logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑡. Y sabemos que este límite es ∞. Por lo tanto, esta integral impropia es divergente. De modo que, aplicando el criterio de la integral, hemos demostrado que la serie armónica es divergente. O sea, que, a pesar de que vamos sumando números cada vez más pequeños, las sumas parciales seguirán creciendo sin cota.

La serie armónica es, de hecho, un miembro particular de una familia de series conocida como las series 𝑝. Una serie 𝑝 es una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a 𝑝, y otro ejemplo es la serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 al cuadrado. Y, por supuesto, la serie armónica es una serie 𝑝 con 𝑝 igual a uno. Veamos cómo podemos determinar si una serie 𝑝 converge o diverge. Para ello vamos a aplicar el criterio del límite del término general y el criterio de la integral. Y vamos a considerar separadamente distintos valores de 𝑝. En primer lugar, escribimos el criterio del límite del término general.

Recuerda que, cuando 𝑝 es igual a uno, tenemos una serie armónica, que es divergente. Vamos a considerar ahora el caso 𝑝 igual a cero. En este caso, el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a 𝑝 será uno. Como esto no es igual a cero, si aplicamos el criterio del límite del término general cuando 𝑝 es igual a cero, obtenemos que la serie es divergente. Pero ¿qué ocurre en el caso en el que 𝑝 es estrictamente menor que cero? Bueno, tomar el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a 𝑝 es lo mismo que tomar el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑛 elevado a menos 𝑝.

Claramente, si 𝑝 es menor que cero, menos 𝑝 es mayor que cero. Y como 𝑛 representa las posiciones de los términos de la serie, 𝑛 va a ser un número entero, por lo que 𝑛 elevado a menos 𝑝 será cada vez mayor. De manera que, cuando 𝑛 tiende a ∞, este límite tiende a ∞. Así que, aplicando el criterio del límite del término general, cuando 𝑝 es menor que cero, obtenemos que esta serie es divergente. Vamos a ver ahora qué ocurre cuando 𝑝 es estrictamente mayor que cero. Y para ello vamos a aplicar el criterio de la integral. Damos por hecho que 𝑝 no es igual a uno, pues, de lo contrario, se trataría de una serie armónica. Y ya sabemos que esta diverge. Así que, vamos a utilizar la función uno sobre 𝑥 elevado a 𝑝, y vamos a calcular la integral impropia desde uno hasta ∞ de uno sobre 𝑥 elevado a 𝑝 con respecto a 𝑥.

Primero vamos a reescribir esto con un exponente negativo, 𝑥 elevado a menos 𝑝. Aplicamos nuestro método habitual para calcular integrales impropias, hallando el límite cuando 𝑡 tiende a ∞ de la integral entre uno y 𝑡 de 𝑥 elevado a menos 𝑝 con respecto a 𝑥. Y, si aplicamos la regla general que dice que la integral de 𝑥 elevado a 𝑛 con respecto a 𝑥 es 𝑥 elevado a 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más una constante de integración. Entonces, obtenemos que la integral es el límite cuando 𝑡 tiende a ∞ de 𝑥 elevado a menos 𝑝 más uno sobre menos 𝑝 más uno. Recuerda que no estamos haciendo nada incorrecto, pues consideramos que 𝑝 no es igual a uno. A continuación, sustituimos los límites de integración y sacamos el factor común uno sobre uno menos 𝑝 fuera.

Sabemos, por supuesto, que uno elevado a menos 𝑝 más uno es uno. También podemos escribir 𝑡 elevado a menos 𝑝 más uno en su forma fraccionaria como uno sobre 𝑡 elevado a 𝑝 menos uno. Hay dos casos que debemos considerar aquí separadamente: si 𝑝 es mayor que uno y si 𝑝 es menor que uno. Si 𝑝 es mayor que uno, 𝑝 menos uno va a ser positivo. Por lo tanto, cuando 𝑡 tiende a ∞, 𝑡 elevado a 𝑝 menos uno también tiende a ∞. Así que uno sobre 𝑡 elevado a 𝑝 menos uno tiende a cero. Así que, si este término de aquí tiende a cero, entonces tenemos uno sobre uno menos 𝑝 por menos uno, que es menos uno sobre uno menos 𝑝, que es lo mismo que uno sobre 𝑝 menos uno. Y como este límite existe, la integral impropia es convergente. De esta forma, mediante el criterio de la integral, hemos demostrado que la serie es convergente si 𝑝 es mayor que uno.

Ahora vamos a considerar el caso 𝑝 menor que uno. Si 𝑝 es menor que uno, entonces 𝑝 menos uno es menor que cero, y, por lo tanto, uno sobre 𝑡 elevado a 𝑝 menos uno, que es lo mismo que 𝑡 elevado a menos 𝑝 menos uno en forma de exponentes negativos. Fíjate en que, como 𝑝 menos uno es negativo, menos 𝑝 menos uno es positivo. Y, por lo tanto, 𝑡 elevado a menos 𝑝 menos uno tiende a ∞ cuando 𝑡 tiende a ∞. Y, como este es un límite infinito, la integral impropia, la integral desde uno hasta ∞ de 𝑥 elevado a menos 𝑝 con respecto a 𝑥, debe divergir cuando 𝑝 es menor que uno. Por lo tanto, utilizando el criterio de la integral, hemos demostrado que esta serie es divergente si 𝑝 es menor que uno.

Hemos demostrado, pues, que estas series convergen solo cuando 𝑝 es mayor que uno. Muy bien, vamos a hacer un poco de espacio para escribir la conclusión. Y concluimos que la serie 𝑝 definida como el sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a 𝑝, es convergente si 𝑝 es mayor que uno y divergente si 𝑝 es menor o igual que uno. Fíjate en que decimos «menor o igual» porque, como ya hemos visto, la serie armónica, que es el caso 𝑝 igual a uno, es divergente. Veamos ahora con unos ejemplos cómo podemos aplicar este resultado a algunas series 𝑝.

Determina si la serie sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a cuatro converge o diverge.

Inmediatamente nos damos cuenta de que esta suma tiene la forma de una serie 𝑝. Así que comenzamos escribiendo el criterio de convergencia de una serie 𝑝. La serie 𝑝 definida como el sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a 𝑝 es convergente si 𝑝 es mayor que uno y divergente si 𝑝 es menor o igual que uno. Y, para esta serie, 𝑝 es igual a cuatro, que es mayor que uno. Por lo tanto, concluimos que esta serie es convergente.

Determina si la serie sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a dos quintos converge o diverge.

En primer lugar, y como nos ha pasado antes, vemos que esta suma es de la forma de una serie 𝑝, que es una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a 𝑝. Bien, vamos a escribir el criterio de convergencia de una serie 𝑝. Esto es, la serie 𝑝 definida como el sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a 𝑝 es convergente si 𝑝 es mayor que uno y divergente si 𝑝 es menor o igual que uno. Por lo tanto, para nuestra serie, 𝑝 es igual a dos quintos, que es menor que uno. Así que concluiremos que esta serie es divergente.

Determina si la serie sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno partido por raíz de 𝑛 al cubo converge o diverge.

Si reescribimos esta suma usando el hecho de que podemos escribir la raíz cuadrada de 𝑎 como 𝑎 elevado a un medio, podemos decir que esta suma equivale al sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 al cubo elevado a un medio. A continuación, usamos el hecho de que 𝑎 elevado a 𝑥, a su vez elevado a 𝑦, es igual a 𝑎 elevado a 𝑥 por 𝑦. Así que podemos escribir nuestra suma como la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno partido por 𝑛 elevado a tres medios. Y vemos que se trata de una serie 𝑝, que, por supuesto, es cualquier serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a 𝑝.

Muy bien, vamos a escribir la condición para la convergencia de una serie 𝑝. Una serie 𝑝 definida como el sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a 𝑝 es convergente si 𝑝 es mayor que uno y divergente si 𝑝 es menor o igual que uno. Por lo tanto, para esta serie, 𝑝 es igual a tres medios, que es lo mismo que 1.5, que es mayor que uno. De modo que esta serie es convergente.

Para finalizar, resumamos los puntos clave que hemos visto. Una serie 𝑝 es una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de uno sobre 𝑛 elevado a 𝑝. Y es convergente si 𝑝 es mayor que uno y divergente si 𝑝 es menor o igual que uno. Cuando 𝑝 es igual a uno, esta serie se denomina serie armónica. Y es divergente.

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