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En este video, vamos a aprender cómo dibujar la gráfica de una función definida a trozos y cómo analizar las diferentes características de la función.
A veces nos encontramos con una función está definida por más de una expresión algebraica. Este es el caso de las funciones definidas a trozos, también llamadas funciones por tramos o funciones por partes. Estas son funciones en las que se usan diferentes subfunciones para definir los valores de salida en diferentes partes del dominio. Cada subfunción se define individualmente en su propio dominio.
Por ejemplo, tomemos 𝑓 de 𝑥, que es una función definida a trozos. Y está dada por dos 𝑥 más uno si 𝑥 es menor que menos uno y tres 𝑥 si 𝑥 es mayor o igual que menos uno. Vemos que para valores de 𝑥 estrictamente menores que menos uno, usamos la función 𝑓 de 𝑥 igual a dos 𝑥 más uno. Por ejemplo, 𝑓 de menos dos se evaluará como dos por menos dos más uno, que es menos tres. Pero luego, con valores de 𝑥 mayores o iguales que menos uno, usamos la función 𝑓 de 𝑥 igual a tres 𝑥. Por ejemplo, 𝑓 de cero sería tres por cero, que es simplemente cero.
Necesitamos asegurarnos de que podemos identificar las gráficas de estas funciones, así como dibujarlas y definir la función cuando disponemos de una gráfica. A continuación, tenemos un ejemplo de cómo se hace esto.
¿Qué tipo de función está representada en la gráfica? ¿Es (A) una función par, (B) una función logarítmica, (C) una función definida a trozos o (D) una función polinómica?
Comencemos dando una definición para cada uno de estos términos. Si una función 𝑓 de 𝑥 satisface el criterio 𝑓 de menos 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑥 para todo 𝑥 dentro del dominio de la función, se dice que es par. También sabemos que estas funciones tienen simetría axial con respecto al eje 𝑦, o sea, con respecto a la recta 𝑥 igual a cero. Veamos ahora las funciones logarítmicas. Estas son de la forma log en base 𝑎 de 𝑥. Son las inversas a las funciones exponenciales. También vale la pena señalar que el dominio de una función logarítmica es el conjunto de los números reales positivos, y por ende el rango es el conjunto de todos los números reales.
Luego tenemos las funciones definidas a trozos. Y estas son funciones en las que se usan diferentes subfunciones para definir el resultado en diferentes partes del dominio. Cada subfunción se define individualmente en su propio dominio. Y, por último, tenemos las funciones polinómicas. Estas son las que están formadas por la suma o diferencia de términos formados por constantes multiplicadas por variables con exponentes enteros positivos, como dos 𝑥 al cubo más cinco 𝑥. El dominio de una función polinómica es el conjunto de todos los números reales. Y sabemos que sus gráficas son continuas. En otras palabras, no hay huecos ni saltos en la gráfica, lo que podríamos llamar discontinuidad, y tampoco hay esquinas o picos. Así que veamos nuestra gráfica y comparemos estas definiciones con ella.
Primero, notamos que no hay simetría axial con respecto a la recta 𝑥 igual a cero. Y por lo tanto, la función no es una función par. También vemos que nuestra gráfica ciertamente está definida para valores de 𝑥 mayores o iguales que menos 10 y menores o iguales que ocho. Incluso podría estar definida fuera de este intervalo, pero no podemos estar seguros. Lo que esto nos dice es que el dominio es diferente al de una función logarítmica, que es simplemente números reales positivos. De modo que, nuestra gráfica no puede ser la gráfica de una función logarítmica.
Y estamos limitados a funciones definidas a trozos y funciones polinómicas. Ahora bien, dijimos que la gráfica de una función polinómica no tiene esquinas. Y eso es porque una función polinómica es derivable en todos sus puntos. Podemos ver claramente que nuestra gráfica tiene dos esquinas. Así que no es una curva lisa. Por tanto, nuestra gráfica no puede ser la de una función polinómica. Y así nos queda (C) una función definida a trozos. De hecho, si miramos cuidadosamente, vemos que hay tres tramos en esta función definida a trozos. El primer tramo es para valores de 𝑥 menores que menos tres. Seguidamente hay un tramo para valores de 𝑥 entre menos tres y cero. Y finalmente, nuestra tercera subfunción, es para valores de 𝑥 mayores que cero y ciertamente, por lo que podemos ver, hasta ocho.
Y vemos pues cómo es la gráfica de una función definida a trozos. Ahora vamos a ver cómo podemos determinar el dominio de una función definida a trozos a partir de su gráfica.
Determina el dominio de la función representada por la siguiente gráfica.
Comencemos recordando lo que queremos decir con la palabra «dominio». El dominio de una función es el conjunto de posibles valores de entrada que producen valores de salida reales. En otras palabras, es el conjunto de valores de 𝑥 que podemos sustituir en la función. Cuando analizamos la gráfica de una función, podemos determinar su dominio considerando la extensión de los valores en la dirección 𝑥. Debemos tener cuidado porque si nos fijamos bien en la gráfica de nuestra función, notamos que tenemos estos círculos vacíos. También son llamados círculos abiertos, y nos dicen que la función no está definida en este punto en este tramo. Como tenemos una función definida a trozos, es decir, una función que está definida por diferentes subfunciones en diferentes tramos, primero debemos hallar el dominio de cada subfunción.
Vemos que tenemos una subfunción definida para valores menores que menos cuatro. Luego tenemos otra subfunción definida para valores mayores que menos cuatro. Como el punto inicial o de inicio de cada uno de los tramos de la gráfica de nuestra subfunción está representado por ese círculo abierto, el punto 𝑥 igual a menos cuatro no está en el dominio de nuestra función. Por lo tanto, el dominio será el conjunto de números reales sin incluir este número. Una forma de representar esto es usando símbolos de desigualdad y escribiendo 𝑥 es menor que menos cuatro y 𝑥 es mayor que menos cuatro.
Alternativamente, podemos usar notación de conjuntos, de modo que esta ℝ representa el conjunto de los números reales y las llaves indican un conjunto con un solo elemento, y ese elemento es menos cuatro. Así que el dominio de esta función es el conjunto de los números reales menos el conjunto que contiene el elemento menos cuatro.
Ahora que hemos visto que la extensión de los valores en la dirección 𝑥 nos muestra el dominio de la función, veamos cómo hallar el rango de una función definida a trozos.
Halla el rango de la función.
Comencemos recordando lo que queremos decir con el rango de una función. Así como el dominio es el conjunto de posibles valores de entrada de nuestra función, el rango es el conjunto de posibles valores de salida. En otras palabras, es el conjunto de valores de 𝑦 que obtenemos cuando sustituimos en la función los valores de 𝑥 en su dominio. Esto significa que gráficamente el rango corresponde a la extensión de los valores en la dirección 𝑦.
Mirando la gráfica, vemos que los valores de 𝑦 comienzan en menos uno. Y estos valores se obtienen cuando ingresamos valores de 𝑥 menores o iguales que cuatro. Después, a partir de 𝑥 igual a cuatro, los valores de 𝑦 aumentan constantemente, y esta flecha de aquí nos dice que aumentan hasta ∞. Por lo tanto, podemos decir que el rango, el conjunto de los valores de salida posibles, son todos los valores de 𝑦 mayores o iguales que menos uno. Para usar la notación de conjuntos para definir el mismo intervalo, usamos el intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha desde menos uno hasta ∞. Ten en cuenta que hay que poner paréntesis porque ∞ no es un número real. Y, el rango de esta función, que es el conjunto de posibles valores de 𝑦, es el intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha desde menos uno hasta ∞.
Hasta este punto, hemos hablado de lo que significa que una función esté definida a trozos y cómo determinar su dominio y rango a partir de su gráfica. Ahora vamos a ver cómo definir algebraicamene una función definida a trozos cuando disponemos de una gráfica.
Da la definición algebraica de la función a trozos ℎ cuya gráfica se muestra a continuación.
Nos dicen que la gráfica que nos dan es la de una función definida a trozos. Y sabemos que una función por tramos está definida por múltiples subfunciones. De hecho, al mirar la gráfica de esta función, podemos notar que hay dos subfunciones. Estas subfunciones serán lineales ya que la gráfica de cada subfunción es una semirrecta. Y esto significa que si podemos calcular la pendiente 𝑚 y hallar un punto por el que pasa cada semirrecta, podemos usar la ecuación 𝑦 menos 𝑦 igual a 𝑚 por 𝑥 menos 𝑥 uno para hallar la ecuación de cada semirrecta.
Comencemos con la primera parte de esta subfunción. Notamos que esta subfunción está definida hasta el valor 𝑥 igual a dos, inclusive. Así que eso nos da una pista de cuál es su dominio. Podemos usar la fórmula para la pendiente 𝑚 igual a 𝑦 dos menos 𝑦 uno sobre 𝑥 dos menos 𝑥 uno para hallar la pendiente de esta semirrecta. Alternativamente, podemos usar el método del triángulo. Al elegir un punto en la recta, en este caso, la intersección con el eje 𝑦, y luego movernos exactamente una unidad hacia la derecha, vemos que tenemos que movernos una unidad hacia abajo para volver a estar en la recta. Eso significa que la pendiente de esta recta debe ser menos uno. También pasa por el punto cero, tres. Recuerda, esta es la intersección con el eje 𝑦 de la recta.
Y así, sustituyendo todo lo que sabemos sobre esta primera función en nuestra ecuación de una recta, obtenemos 𝑦 menos tres igual a menos uno por 𝑥 menos cero. Al desarrollar los paréntesis en el lado derecho, obtenemos menos 𝑥. Y luego aislamos 𝑦 sumando tres a ambos lados. Recuerda, 𝑦 es representa los valores de salida. Así que esencialmente es ℎ de 𝑥. Así que la primera semirrecta está definida por la ecuación 𝑦 igual a tres menos 𝑥.
Repitamos este proceso con la segunda semirrecta. Siempre debemos tener un poco de cuidado al usar el método del triángulo para valores de pendiente fraccionaria. En este caso, cuando seleccionamos un punto en la recta, nos movemos una unidad hacia la derecha, tenemos que movernos media unidad hacia arriba para volver a nuestro punto en la recta, lo que significa que la pendiente de nuestra segunda recta es un medio. Para convencernos de que esto es cierto, podemos elegir los dos puntos en la recta, que tienen coordenadas cuatro, dos y seis, tres, respectivamente. 𝑦 dos menos 𝑦 uno sobre 𝑥 dos menos 𝑥 uno, que es el cambio en 𝑦 sobre el cambio en 𝑥, es tres menos dos sobre seis menos cuatro, que es un medio como vimos.
Escojamos este punto. Sabemos que nuestra recta pasa por el punto de coordenadas dos, uno. Así que la ecuación de nuestra recta es 𝑦 menos uno igual a un medio por 𝑥 menos dos. Luego, cuando desarrollamos los paréntesis en el lado derecho, obtenemos que un medio por 𝑥 menos dos es lo mismo que un medio de 𝑥, o 𝑥 partido por dos, menos uno. Finalmente, podemos sumar uno a ambos lados, eliminando el menos uno. Así que la segunda semirrecta tiene la ecuación 𝑦 igual a 𝑥 sobre dos. Ahora que tenemos las ecuaciones que representan nuestras subfunciones, vamos a resumirlas usando una definición a trozos.
ℎ está dada por tres menos 𝑥 para valores de 𝑥 menores que dos. Y 𝑥 partido por dos para valores de 𝑥 mayores o iguales que dos, que por supuesto es lo mismo que escribir dos es menor o igual que 𝑥. Ten en cuenta, por supuesto, que la función podría haber sido definida en el punto 𝑥 igual a dos por cualquiera de las subfunciones. Generalmente es una convención que escojamos la segunda función para definir ese punto, aunque habría sido igual de correcto escribir tres menos 𝑥 si 𝑥 es menor o igual que dos y 𝑥 sobre dos si 𝑥 es mayor que dos. La definición a trozos de ℎ es tres menos 𝑥 si 𝑥 es menor que dos y 𝑥 sobre dos si dos es menor o igual que 𝑥.
En nuestro último ejemplo vamos a ver cómo definir algebraicamente una función a trozos si la gráfica tiene una discontinuidad.
Da la definición algebraica de la función a trozos 𝑓 cuya gráfica se muestra.
Nos dicen que esta gráfica representa la gráfica de una función definida a trozos. Y esto tiene mucho sentido. Vemos que, efectivamente, está formada por tres partes diferentes. Tenemos una función lineal aquí dada por una semirrecta y otra función lineal aquí dada por otra semirrecta. Pero luego tenemos algo realmente extraño aquí. Tenemos un único punto en esta parte. Y, en un momento, vamos a ver lo que esto significa para nuestra definición a trozos.
Por ahora, vamos a comenzar hallando la ecuación de nuestras dos rectas. Usamos la fórmula 𝑦 menos 𝑦 uno igual a 𝑚 por 𝑥 menos 𝑥 uno, donde 𝑚 es la pendiente de la gráfica y 𝑥 uno, 𝑦 uno es un punto por el que pasa. La pendiente está dada por el cambio en 𝑦 dividido por el cambio en 𝑥, que es 𝑦 dos menos 𝑦 uno sobre 𝑥 dos menos 𝑥 uno. Comencemos por hallar la pendiente de nuestra primera semirrecta, y podemos elegir dos puntos cualesquiera en esta semirrecta. Elijamos los puntos con coordenadas menos tres, seis y uno, dos. El cambio en 𝑦 dividido por el cambio en 𝑥 es seis menos dos partido por menos tres menos uno. Por supuesto, podríamos escribir dos menos seis sobre uno menos menos tres y obtener el mismo resultado.
Esto nos da cuatro dividido por menos cuatro, que es menos uno. Después, sustituyendo todo lo que sabemos sobre nuestra primera semirrecta en la fórmula de una recta, obtenemos 𝑦 menos seis igual a menos uno por 𝑥 menos menos tres. Desarrollando los paréntesis en el lado derecho y simplificando obtenemos menos 𝑥 menos tres. Finalmente, sumamos seis a ambos lados, y hallamos que 𝑦 es igual a menos 𝑥 más tres o tres menos 𝑥. Así que, para valores de 𝑥 estrictamente menores que dos, podemos usar la ecuación 𝑦 igual a tres menos 𝑥 para dibujar su gráfica.
A continuación, elegimos dos puntos en nuestra segunda recta. Elijamos los puntos con coordenadas cuatro, cuatro y seis, cinco. El cambio en 𝑦 dividido por el cambio en 𝑥 aquí es cinco menos cuatro sobre seis menos cuatro, que es igual a un medio. De manera que la pendiente de nuestra segunda recta es un medio. Sustituyendo entonces 𝑚 igual a un medio y 𝑥 uno, 𝑦 uno igual a cuatro, cuatro en nuestra fórmula para una recta, obtenemos 𝑦 menos cuatro es igual a un medio por 𝑥 menos cuatro. Y ese lado derecho se simplifica a 𝑥 sobre dos menos dos. Luego sumamos cuatro a ambos lados. Y vemos que nuestra segunda recta tiene la ecuación 𝑦 igual a 𝑥 sobre dos más dos. Esta vez, eso es para valores de 𝑥 estrictamente mayores que dos. Así que ahora tenemos las ecuaciones de nuestras dos rectas. Estos son tres menos 𝑥 si 𝑥 es menor que dos y 𝑥 partido por dos más dos si 𝑥 es mayor que dos.
Sin embargo, no hemos terminado, pues hay una tercera subfunción que nos interesa. Y esta subfunción está representada gráficamente por un solo punto. Este punto tiene coordenadas dos, dos. En otras palabras, si 𝑥 es exactamente igual a dos, la función produce una salida de dos. Y esa es nuestra tercera subfunción. Teniendo en cuenta que, alternativamente, podemos escribir el dominio en nuestra tercera recta como dos es menor que 𝑥, ahora tenemos la definición a trozos de nuestra función. Es 𝑓 de 𝑥 igual a tres menos 𝑥 si 𝑥 es menor que dos, 2 si 𝑥 es igual a dos, y 𝑥 sobre dos más dos si dos es menor que 𝑥.
Resumamos algunos de los puntos clave de nuestra lección. En esta lección, hemos aprendido que una función definida a trozos es una función que consta de varias subfunciones. Hemos visto que cada una de estas subfunciones está definida en un subintervalo específico del dominio de la función. Podemos llamar a esto un subdominio. Y hemos visto cómo, al considerar cuidadosamente su definición, podemos identificar el dominio y el rango de una función a partir de su definición algebraica y a partir de su gráfica.
