Lesson Video: La regla de Barrow

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La regla de Barrow

En este vídeo vamos a aprender cómo aplicar la regla de Barrow y lo que esta nos dice sobre el valor de las integrales.

La regla de Barrow nos dice que la integral de la tasa de variación es igual al cambio neto. Pero, ¿qué significa esto? Matemáticamente podemos expresar esto de la siguiente manera. La integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝐹 prima de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝐹 de 𝑏 menos 𝐹 de 𝑎. Vamos a fijarnos en cada uno de los términos. 𝐹 de 𝑥 es una función. Esto significa que 𝐹 prima de 𝑥, que es la primera derivada de 𝐹 de 𝑥, puede considerarse como la tasa de variación de 𝐹 de 𝑥.

Cuando integramos esto entre los límites 𝑎 y 𝑏, obtenemos la función original calculada en 𝑏 menos la función original calculada en 𝑎. Si pensamos en 𝐹 de 𝑎 como nuestro valor inicial de 𝐹 y en 𝐹 de 𝑏 como nuestro valor final de 𝐹, entonces nos daremos cuenta de que esto es el cambio neto, o la diferencia, entre dos valores de nuestra función original. Si nuestro valor final 𝐹 de 𝑏 es mayor que nuestro valor inicial 𝐹 de 𝑎, tendremos un cambio neto positivo. Y ocurrirá lo contrario si 𝐹 de 𝑏 es menor que 𝐹 de 𝑎.

Es conveniente mencionar que la regla de Barrow es a veces llamada segundo teorema fundamental del cálculo. En este vídeo vamos a ver esto en profundidad, pero puede que ya estés familiarizado con algunos de los conceptos que vamos a estudiar. Veamos un ejemplo para ganar familiaridad con este teorema.

Sea 𝐹 de 𝑡 igual a 𝑡 al cuadrado. Calcula la integral entre uno y tres de 𝐹 prima de 𝑡 con respecto a 𝑡 haciendo uso de la regla de Barrow.

En este problema, y en general, es conveniente escribir el método que vamos a utilizar. Aquí tenemos la regla de Barrow. Aunque la variable en el enunciado es 𝑡 y la variable en la regla que hemos escrito es 𝑥, se aplican los mismos principios. En este caso, el límite inferior de integración, o 𝑎, es uno, y el límite superior de integración, o 𝑏, es tres. Haciendo uso de la regla de Barrow podemos decir que la integral entre uno y tres de 𝐹 prima de 𝑡 con respecto a 𝑡 es igual a 𝐹 de tres menos 𝐹 de uno.

Aquí están los límites de integración que hemos utilizado. Vemos que podemos aplicar la regla de Barrow porque tenemos una integral definida de la derivada 𝐹 prima de 𝑡. Y esta es la tasa de variación de 𝐹 de 𝑡. El enunciado ya nos ha proporcionado la función 𝐹 de 𝑡. Y es 𝑡 al cuadrado. Podemos, por lo tanto, calcular el lado derecho de la función y hacer tres al cuadrado menos uno al cuadrado. Esto nos da nueve menos uno, que es ocho. Usando el método de simplificación hemos resuelto el problema. Aplicando la regla de Barrow hemos llegado a la conclusión de que la integral que nos han pedido es igual a ocho.

Muy bien, ahora que hemos visto un ejemplo, volvamos a la regla de Barrow para tener un mejor entendimiento de lo que está pasando. Aquí tenemos la gráfica de una función 𝐹 de 𝑥. Y debajo tenemos la gráfica correspondiente de 𝐹 prima de 𝑥. Si tomamos el lado izquierdo de la regla de Barrow, la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝐹 prima de 𝑥 con respecto a 𝑥, obtenemos el área que se encuentra debajo de esta recta. La regla de Barrow nos dice que esto es igual a la diferencia entre el valor 𝐹 de 𝑏 y el valor 𝐹 de 𝑎.

Aquí vemos que 𝐹 de 𝑏 es mayor que 𝐹 de 𝑎. Por lo tanto, va a ser un número positivo. Y, respecto a las integrales, sabemos que, si vemos que hay un área por encima del eje de las 𝑥, obtenemos un número positivo, lo que se corresponde con lo que vemos en nuestra gráfica respectiva. Poniendo juntas estas dos cosas obtenemos una comprensión visual de la regla de Barrow.

Otro punto interesante a tener en cuenta es que nuestra cantidad 𝐹 podría crecer o decrecer entre 𝑎 y 𝑏. Aquí vemos que, cuando nos desplazamos hacia la derecha desde el punto 𝑎 hasta el punto 𝑏, 𝐹 de 𝑥 primero decrece y luego crece. La gráfica correspondiente de 𝐹 prima es algo así. De nuevo, efectuando la integración, vemos que tenemos una pequeña área debajo del eje de las 𝑥, cuyo valor será negativo, y un área mucho mayor por encima del eje de las 𝑥, cuyo valor será positivo. De nuevo, vemos que esto se corresponde con nuestras expectativas. Como 𝐹 de 𝑏 es mayor que 𝐹 de 𝑎, esperamos que el cambio neto será un número positivo.

Antes de continuar, es conveniente señalar, a partir de este ejemplo gráfico, un par de errores que se cometen con frecuencia. La regla de Barrow solo nos da la diferencia entre el valor de 𝐹 de 𝑏 y el valor de 𝐹 de 𝑎. No debemos confundirnos y pensar que tan solo nos está dando el valor de 𝐹 de 𝑏 o sacar conclusiones sobre el comportamiento de nuestra función entre los valores de 𝑎 y 𝑏. Por ejemplo, un cambio neto positivo no significa necesariamente que nuestra función es creciente entre 𝑎 y 𝑏. Vamos a ver otro ejemplo que ilustra uno de estos errores posibles.

¿Verdadero o falso? Si ℎ de 𝑡 representa la tasa de variación de la altura al mes, en centímetros, de un bebé, cuando tiene 𝑡 meses de edad, entonces la integral entre cero y seis de ℎ de 𝑡 con respecto a 𝑡 será igual a la altura del bebé cuando tenga seis meses.

En este enunciado primero vemos que se nos ha dado una función que representa una tasa de variación. Luego se nos pregunta sobre una integral definida de esta tasa de variación. Cuando calculamos integrales definidas de tasas de variación aplicamos la regla de Barrow. Puede que estemos acostumbrados a ver esta notación prima dentro de nuestra integral, que nos dice que esta es una tasa de cambio o una derivada. Sin embargo, aquí el enunciado nos dice que la función ℎ de 𝑡 ya es la tasa de cambio de una cantidad determinada. Podemos, por lo tanto, definir la 𝐻 mayúscula de 𝑡 como la cantidad en sí misma, la altura del bebé a los 𝑡 meses de edad. En otras palabras, es la antiderivada de ℎ minúscula de 𝑡.

Como la regla de Barrow usa la antiderivada de la tasa que estamos integrando, ahora podemos formar una ecuación. La integral que viene en el enunciado es igual a 𝐻 mayúscula de seis, la altura del bebé con seis meses, menos 𝐻 minúscula de cero, la altura del bebé con cero meses. A estas alturas puede que ya nos hayamos dado cuenta de que hay una trampa potencial en nuestro enunciado.

Cuando leemos el enunciado por primera vez, vemos que nuestra integral tiene un límite inferior de cero y un límite superior de seis. Esto puede llevarnos a concluir que podemos pasar por alto el límite inferior, pues es cero. Concluiríamos, por lo tanto, que la integral es igual a 𝐻 de seis, la altura del bebé con seis meses. Y, por lo tanto, pensaríamos que la afirmación de nuestro enunciado es verdadera.

Esto sería un error. No podemos dejar de lado el límite inferior, pues 𝐻 de cero no es igual a cero. 𝐻 de cero es, en realidad, la altura del bebé con cero meses, que es al nacer. Sabemos que, cuando nace, un bebé es muy pequeño pero su altura no es cero. En realidad, lo que nos da nuestra integral es el cambio en la altura del bebé entre los cero meses y los seis meses. Como ya hemos dicho que 𝐻 de cero no es igual a cero, este cambio no es lo mismo que 𝐻 de seis. Por lo tanto, acabamos de demostrar que la afirmación de nuestro enunciado es falsa.

El ejemplo que acabamos de ver muestra que la regla de Barrow puede aplicarse en muchos procesos físicos. Un ejemplo típico es la relación entre la posición, la velocidad y la aceleración. Imaginemos un objeto que se mueve en una dimensión, por ejemplo, a lo largo del eje de las 𝑥. Podemos representar su posición en un tiempo 𝑡 como la función 𝑥 de 𝑡. Su velocidad es la tasa de variación de su posición con respecto al tiempo. En otras palabras, la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo. Del mismo modo, la aceleración es la tasa de variación de la velocidad con respecto al tiempo. Es la derivada con respecto al tiempo

Teniendo en cuenta estas relaciones, deberíamos, por lo tanto, entender que la velocidad es la antiderivada de la aceleración y la posición es la antiderivada de la velocidad. Puesto que en la regla de Barrow hay una función, que es una tasa de variación y su antiderivada, podemos, por lo tanto, usarla para, integrando la velocidad, obtener el cambio en la posición, y, integrando la aceleración, obtener el cambio en velocidad. Vamos a ver un ejemplo sobre esto.

Una partícula se mueve a lo largo del eje de las 𝑥. Su velocidad en metros por segundo como función del tiempo es 𝑣 de 𝑡 igual a seis 𝑡 al cuadrado menos ocho 𝑡. Calcula el desplazamiento de la partícula entre 𝑡 igual a uno y 𝑡 igual a cinco.

En este problema, lo primero que debemos hacer es prestar atención a esta palabra, desplazamiento. El desplazamiento de una partícula es la diferencia entre su posición final y su posición inicial. Aquí, nuestra partícula se encuentra en su posición inicial cuando 𝑡 es igual a uno, y en su posición final cuando 𝑡 es igual a cinco. Sabiendo que la velocidad de la partícula se define como 𝑣 de 𝑡, vamos a definir su posición a lo largo del eje de las 𝑥 como 𝑥 de 𝑡. El desplazamiento que queremos calcular es, por lo tanto, 𝑥 de cinco, su posición final, menos 𝑥 de uno, su posición inicial.

Muy bien, ahora recordemos la relación entre velocidad y posición. Si diferenciamos la posición con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad. Podríamos, de hecho, representar la velocidad como 𝑥 prima de 𝑡. Haciendo esto, nos daremos cuenta más fácilmente de que, usando la regla de Barrow, podemos hallar el desplazamiento. Como la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo, la regla de Barrow nos permite plantear la siguiente ecuación.

La integral entre uno y cinco de 𝑥 prima de 𝑡 con respecto a 𝑡 es igual a 𝑥 de cinco menos 𝑥 de uno. Y vemos que en el lado derecho de la ecuación tenemos el desplazamiento que buscábamos. Obviamente, 𝑥 prima de 𝑡, que es la tasa de variación de la posición con respecto al tiempo, es la velocidad.

El enunciado nos da la función de la velocidad, que es seis 𝑡 al cuadrado menos ocho 𝑡. Haciendo uso de las reglas de integración, aumentamos cada uno de los exponentes de 𝑡 en uno y dividimos por el nuevo exponente. Luego simplificamos. Seis partido por tres es dos. Y ocho partido por dos es cuatro. Ahora vamos a operar con los límites de nuestra integral definida. Si sustituimos estos límites, nos queda lo siguiente.

Y después de unas cuantas operaciones llegamos a nuestra respuesta, que es 152 metros. Por último, recordamos que la integral que acabamos de calcular es igual al desplazamiento de la partícula en metros entre 𝑡 igual a uno y 𝑡 igual a cinco. Esto significa que ya hemos resuelto el problema. Y el desplazamiento que queríamos hallar es 152 metros.

Otra aplicación útil de la regla de Barrow es hallar el valor de una función en un punto dado cuando se dispone de cierta información. Podemos ver cómo funciona esto reorganizando la forma usual de la regla de Barrow. Si añadimos 𝐹 de 𝑎 a ambos lados de la ecuación nos queda 𝐹 de 𝑎 más nuestra integral, y esto es igual a 𝐹 de 𝑏. Esta aplicación de la regla de Barrow puede utilizarse cuando tenemos el valor de 𝐹 en 𝑥 igual a 𝑎 y cuando se nos ha dado la función 𝐹 prima de 𝑥, que es la tasa de variación de 𝐹. Podemos usar estos datos para hallar el valor de 𝐹 en 𝑥 igual a 𝑏. Y aquí es conveniente señalar que podemos elegir el valor de 𝑏.

Una manera de enfocar esto es empezar con el valor de 𝐹 de 𝑎, sumar el cambio neto de 𝐹 entre 𝑎 y 𝑏, y obtener así 𝐹 de 𝑏. Un enunciado lógicamente equivalente a nuestra primera reorganización es el siguiente. 𝐹 de 𝑏 menos nuestra integral es igual a 𝐹 de 𝑎. Y, por supuesto, esto tiene sentido. 𝐹 de 𝑏 menos el cambio neto de 𝐹 entre 𝑎 y 𝑏 es igual a 𝐹 de 𝑎. Como ya hemos dicho, ambos enunciados son equivalentes y pueden utilizarse para resolver problemas del mismo tipo.

Sin embargo, en este caso siempre hemos tratado a 𝐹 de 𝑎 como el valor inicial de 𝐹 y a 𝐹 de 𝑏 como el valor final de 𝐹. Es importante prestar atención a esto, pues nos dirá en qué posición han de ir los límites en la integral. Vamos a ver un último ejemplo que usa esta reorganización.

Un barril se llena de agua a una tasa 𝑏𝑡 igual a tres 𝑡 al cuadrado sobre cuatro más un medio litros al día, siendo 𝑡 el número de días. Sabiendo que en el barril hay 10 litros de agua cuando 𝑡 es igual a dos, calcula el volumen de agua en el barril cuando 𝑡 es igual a seis.

En este problema se nos dice que un barril se llena de agua a una tasa determinada, 𝑏𝑡. En otras palabras, 𝑏𝑡 es la tasa de variación del agua en el barril. Para poder avanzar, vamos a definir el volumen de agua en el barril como 𝐵𝑡 mayúscula. Vemos que 𝐵𝑡 mayúscula es la antiderivada de nuestra tasa de cambio, 𝑏𝑡 minúscula. Ahora bien, junto con la tasa de variación del volumen de agua en el barril, el enunciado nos da el volumen en un tiempo determinado, en este caso cuando 𝑡 es igual a dos. Y se nos ha pedido que calculemos el volumen de agua cuando 𝑡 es igual a seis.

Con la información que tenemos, podemos usar una forma reorganizada de la regla de Barrow. Vamos a expresar la información que nos ha dado el problema de la siguiente manera. La regla de Barrow nos dice que la integral entre dos y seis de la tasa de cambio del volumen del agua en el barril con respecto al tiempo es igual al volumen de agua en el barril cuando 𝑡 es igual a seis menos el volumen de agua en el barril cuando 𝑡 es igual a dos.

Dada la relación entre 𝑏 de 𝑡 minúscula y 𝐵 de 𝑡 mayúscula, podemos expresar 𝑏 de 𝑡 minúscula de la siguiente manera. Evidentemente es la derivada de 𝑏 de 𝑡. Si sustituimos esto en nuestra ecuación, veremos que tenemos dos datos conocidos y una incógnita. Vamos a reorganizar la ecuación para despejar la incógnita, 𝐵 mayúscula de seis.

Si añadimos 𝐵 mayúscula de dos a ambos lados de la ecuación, nos queda lo siguiente. Ya sabemos cuánto vale 𝐵 mayúscula de dos. La cantidad de agua en el barril cuando 𝑡 es igual a dos es 10 litros. También tenemos la función 𝑏 minúscula de 𝑡. Así que vamos a sustituir estos valores en la ecuación. Vamos a detenernos un momento para analizar nuestra ecuación. Si tomamos la cantidad de agua en el barril cuando 𝑡 es igual a dos, y sumamos la cantidad de agua que se vierte en el barril entre 𝑡 igual a dos y 𝑡 igual a seis, obtendremos la cantidad de agua que hay en el barril cuando 𝑡 es igual a seis. Lógicamente, esto tiene sentido. Así que vamos a continuar con nuestras operaciones.

Haciendo uso de las reglas de integración, aumentamos el exponente de 𝑡 en uno y dividimos entre el nuevo exponente. Luego sustituimos los límites de nuestra integral y seguimos simplificando. Con algunas simplificaciones más llegamos a nuestra respuesta, que es que 𝐵 mayúscula de seis es igual a 64 litros. Como ya sabemos, 𝐵 mayúscula de seis es el volumen de agua en el barril cuando 𝑡 es igual a seis. Por lo tanto, llegados a este punto, podemos decir que ya hemos resuelto el problema. Hemos llegado a esta respuesta usando una forma reorganizada de la regla de Barrow y sustituyendo en ella la tasa de variación y el otro dato que nos da el problema.

Ya que tenemos a mano este último ejemplo, vamos a fijarnos en algunos puntos clave. Si calculamos la integral definida de una razón de cambio obtenemos el cambio neto. Y esto está expresado matemáticamente en la regla de Barrow, que aparece aquí. Esta regla nos da una fórmula para calcular el cambio que se produce entre algo que podemos interpretar como el valor inicial de 𝐹, 𝐹 de 𝑎, y algo que interpretamos como el valor final de 𝐹, 𝐹 de 𝑏. Hacemos esto usando la razón de cambio de 𝐹 con respecto a 𝑥, que es 𝐹 prima de 𝑥.

La regla de Barrow nos es muy útil para hacer cálculos de muchos sistemas físicos, como aquellos en los que se incluyen la posición, velocidad o aceleración, el volumen del líquido y la tasa de flujo, o incluso la población y la tasa de crecimiento de la población. Por último, la regla de Barrow puede utilizarse para calcular un valor desconocido de 𝐹. Esto puede hacerse cuando conocemos el valor inicial o final de 𝐹 y la función de la tasa de variación de 𝐹 con respecto a 𝑥.