Vídeo: Resolver ecuaciones de segundo grado con raíces complejas

En este video, vamos a aprender cómo resolver ecuaciones cuadráticas cuyas raíces son números complejos.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo resolver ecuaciones de segundo grado cuyas raíces son números complejos. Vamos a comenzar por aprender cómo resolver ecuaciones simples que tienen soluciones complejas y después vamos a ver cómo la introducción del conjunto de números complejos nos ayuda a comprender la fórmula cuadrática y el discriminante. Por último, vamos a aprender cómo reconstruir una ecuación cuadrática dada una raíz compleja.

Durante nuestro análisis del concepto de los números, vamos a ver ecuaciones que no tienen solución, o que al menos no tienen soluciones reales. Sin embargo, la introducción del conjunto de los números complejos abre un nuevo mundo en cuando a este tipo de ecuaciones.

Consideremos la ecuación dos 𝑥 al cuadrado igual a menos ocho. Para resolver esta ecuación, vamos a comenzar dividiendo por dos. Esto nos dice que 𝑥 al cuadrado es igual a menos cuatro. Y hallamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación.

En el pasado, podríamos haber dicho que esta ecuación, cuya solución requiere hallar la raíz cuadrada de un número negativo, no tiene una solución real. Y por supuesto, este enunciado sería correcto. Sin embargo, ya no estamos tratando solamente con números reales. Ahora también estamos tratando con el conjunto de los números imaginarios. Y recordemos que todo esto gira en torno a la letra 𝑖, en donde 𝑖 se define como la solución a la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos uno. Pero a menudo solo decimos que 𝑖 es igual a la raíz cuadrada de menos uno. Y esto significa que ahora podemos resolver nuestra ecuación hallando la raíz cuadrada de menos cuatro.

Para hallar la raíz cuadrada de un número negativo, lo descomponemos. Por ejemplo, la raíz cuadrada de menos 𝑎 es igual a la raíz cuadrada de 𝑎 multiplicado por menos uno, que a su vez es igual a la raíz cuadrada de 𝑎 multiplicado por la raíz cuadrada de menos uno. Y como la raíz cuadrada de menos uno es 𝑖, vemos que la raíz cuadrada de menos 𝑎 es igual a 𝑖 raíz de 𝑎. En este ejemplo, 𝑥 es igual a más o menos 𝑖 raíz de cuatro. Y naturalmente, la raíz cuadrada de cuatro es dos. Y vemos que la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos ocho tiene dos soluciones: dos 𝑖 y menos dos 𝑖. Consideremos otra ecuación que anteriormente no hubiéramos podido resolver.

Resuelve la ecuación cinco 𝑥 al cuadrado más uno igual a menos 319.

Podemos comenzar a resolver esta ecuación como lo haríamos con cualquier otra, realizando una serie de operaciones inversas. Vamos a comenzar restando uno de ambos lados de la ecuación. Cinco 𝑥 al cuadrado más uno menos uno es cinco 𝑥 al cuadrado. Y menos 319 menos uno es menos 320.

Después, dividimos por cinco. Y vemos que 𝑥 al cuadrado es igual a menos 64. Nuestro último paso es hallar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. La raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado es 𝑥. Y recordemos que podemos hallar las raíces positiva y negativa de menos 64. Y obtenemos que 𝑥 es igual a más o menos la raíz cuadrada de menos 64.

En este punto, decidimos reescribir 64 como 64 multiplicado por menos uno. Y vemos que la raíz cuadrada de menos 64 es igual a la raíz cuadrada de 64 multiplicado por la raíz cuadrada de menos uno. La raíz cuadrada de menos uno es 𝑖, y la raíz cuadrada de 64 es ocho. Y hemos terminado de resolver nuestra ecuación. 𝑥 tiene dos soluciones. Ocho 𝑖 y menos ocho 𝑖.

De hecho, para resolver ecuaciones con raíces imaginarias podemos aplicar los métodos usuales para resolver ecuaciones. En el caso de una ecuación de segundo grado, podemos tener dificultades al factorizar la expresión cuadrática. Pero podemos aplicar otros métodos en los que confiamos. Estas son la fórmula cuadrática y el método de completar el cuadrado. Y ambos tienen ventajas y desventajas.

De los métodos, la fórmula cuadrática puede ser el más fácil de usar cuando el coeficiente de 𝑥 al cuadrado no es igual a uno. Y veremos más adelante que podemos usar parte de la fórmula para ayudarnos a hallar la naturaleza y el número de raíces de la ecuación. Sin embargo, el método de completar el cuadrado puede ser bastante eficiente cuando el coeficiente de 𝑥 cuadrado es igual a uno.

Es una preferencia personal. En este video, vamos a utilizar la fórmula cuadrática principalmente. Después, vamos a usar ambos métodos durante nuestro próximo ejemplo. Recordemos la fórmula cuadrática y el discriminante. Para una ecuación cuadrática como 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 igual a cero, en donde 𝑎 no es igual a cero, las raíces están dadas por 𝑥 igual a menos 𝑏 más o menos la raíz cuadrada de 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 sobre dos 𝑎. Y usamos el discriminante para determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación. Es la parte de la fórmula que se encuentra dentro de la raíz cuadrada: 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐.

Por supuesto, si el discriminante es mayor que cero, su raíz cuadrada es un número real. Y esto significa que tendremos dos raíces reales para nuestra ecuación. Si el valor del discriminante es igual a cero, tendremos exactamente una solución. Lo que se conoce como una raíz repetida. Ocurre cuando el punto de inflexión de la curva toca el eje de las 𝑥 exactamente una vez. ¿Y qué pasa si el valor es menor que cero? Bueno, hemos visto que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Así que no hay raíces reales. Esto significa que la curva en realidad no interseca el eje de las 𝑥. Veamos un ejemplo de una ecuación cuadrática que tiene raíces imaginarias.

Resuelve la ecuación cuadrática 𝑥 al cuadrado menos cuatro 𝑥 más ocho igual a cero. Antes de resolver esta ecuación, podemos, si queremos, verificar la naturaleza de las raíces de la ecuación definiendo el valor del discriminante. Recordemos que el discriminante de una ecuación de la forma 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 igual a cero está dado por la fórmula 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐. Y es a veces representado por este pequeño triángulo.

En nuestra ecuación, 𝑎 es el coeficiente de 𝑥 al cuadrado. Es uno. 𝑏 es el coeficiente de 𝑥. Es menos cuatro. Y 𝑐 es la constante. Es ocho. Por lo tanto, el discriminante de nuestra ecuación es menos cuatro al cuadrado menos cuatro multiplicado por ocho, que es igual a menos 16.

Sabemos que si el discriminante es mayor que cero, la ecuación tiene dos raíces reales. Si es igual a cero, tiene exactamente una raíz real. Y si es menor que cero, no tiene raíces reales. Nuestro discriminante es menor que cero. De modo que la ecuación 𝑥 al cuadrado menos cuatro 𝑥 más ocho igual a cero no tiene raíces reales.

Sabiendo que vamos a obtener dos raíces complejas, resolvamos esta ecuación aplicando primero la fórmula cuadrática. Las soluciones de la ecuación se hallan usando menos 𝑏 más o menos la raíz cuadrada de 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 todo sobre dos 𝑎.

Ya hemos visto que 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 en nuestro ejemplo es igual a menos 16. Es decir que las soluciones a nuestra ecuación cuadrática están dadas por menos menos cuatro más o menos la raíz cuadrada de menos 16 todo sobre dos multiplicado por uno. Esto se simplifica a cuatro más o menos la raíz cuadrada de menos 16 todo sobre dos.

En este punto, vamos a reescribir la raíz cuadrada de menos 16 como la raíz cuadrada de 16 multiplicado por la raíz cuadrada de menos uno. Y esto nos resulta muy útil porque sabemos que la raíz cuadrada de 16 es cuatro y sabemos que la raíz cuadrada de menos uno es 𝑖. Por consiguiente, 𝑥 es igual a cuatro más o menos cuatro 𝑖 todo sobre dos. Podemos simplificar. Y vemos que las soluciones a la ecuación cuadrática son 𝑥 igual a dos más dos 𝑖 y 𝑥 igual a dos menos dos 𝑖.

En realidad, este no es el único método para resolver esta ecuación. Podríamos haber usado el método de completar el cuadrado. Y esto es una preferencia personal en un ejemplo como este. Echemos un vistazo a cómo se vería eso.

Lo primero que hacemos es reducir a la mitad el coeficiente de 𝑥. La mitad de menos cuatro es menos dos. Escribimos 𝑥 menos dos todo al cuadrado. Menos dos al cuadrado es cuatro. Restamos el cuatro y luego sumamos el ocho. Y, por supuesto, todo esto es igual a cero.

Podemos ahora simplificar nuestra ecuación, y obtenemos 𝑥 menos dos todo al cuadrado más cuatro igual a cero. Vamos a tratar de resolver esto restando cuatro de ambos lados. Lo que nos da 𝑥 menos dos todo al cuadrado igual a menos cuatro. Habiendo hecho esto, vamos a hallar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. La raíz cuadrada de 𝑥 menos dos todo al cuadrado es 𝑥 menos dos. Recordemos que podemos hallar tanto la raíz positiva como la negativa de menos cuatro. Vemos que 𝑥 menos dos es igual a más o menos la raíz cuadrada de menos cuatro.

Usando el mismo método que usamos anteriormente, podemos ver que la raíz cuadrada de menos cuatro es igual a dos 𝑖. Podemos completar la solución sumando dos a ambos lados de la ecuación. Y una vez más, vemos que las soluciones a nuestra ecuación son dos más dos 𝑖 y dos menos dos 𝑖.

En realidad, no es casualidad que las raíces de esta ecuación formen un par de complejos conjugados. Tiene mucho sentido, especialmente dado nuestro segundo método de resolución, que esto habría de ser cierto para cualquier ecuación cuadrática con raíces complejas.

Podemos decir que las raíces complejas de una ecuación cuadrática con coeficientes reales ocurren siempre en pares de conjugados complejos. Y de hecho existe una prueba muy simple para esto. Supongamos que tenemos una ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐. Sea 𝛼 una solución de esta ecuación. Y, por supuesto, 𝛼 asterisco es el conjugado complejo de 𝛼.

Vamos a reemplazar este conjugado en nuestra ecuación. Y al hacerlo, obtenemos 𝑎 multiplicado por 𝛼 asterisco todo al cuadrado más 𝑏 multiplicado por 𝛼 asterisco más 𝑐. Y aquí recordamos el hecho de que para dos números cualquiera, el conjugado de su producto es igual al producto de sus conjugados. Esto significa que el cuadrado del conjugado de nuestra solución es igual al conjugado del cuadrado.

Y vemos que la primera parte se convierte en 𝑎 multiplicado por 𝛼 al cuadrado asterisco. Y ya que 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales — recuerda que nuestra ecuación cuadrática tiene coeficientes reales y que, además, sabemos que el conjugado de un número real es ese mismo número, esto se puede escribir con más detalle como se muestra. Y, finalmente, recordemos que para dos números complejos 𝑧 uno y 𝑧 dos, el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados. Y vemos que 𝑓 de 𝛼 asterisco es igual a 𝑎 multiplicado por 𝛼 al cuadrado más 𝑏 multiplicado por 𝛼 más 𝑐 asterisco.

Ya hemos dicho que 𝛼 es una solución de la ecuación. Esto significa que 𝑎𝛼 asterisco más 𝑏𝛼 más 𝑐 debe ser igual a cero. Y sabemos, por supuesto, que el conjugado de cero es simplemente cero. Y como hemos visto que 𝑓 de 𝛼 asterisco es igual a cero, 𝛼 asterisco también debe ser una solución de esta ecuación. De hecho, esto se llama el teorema de la raíz compleja conjugada, y puede ser extendido a polinomios de cualquier grado. Veamos ejemplos en los que se utiliza este teorema para resolver problemas con expresiones cuadráticas.

Los números complejos 𝑎 más 𝑏𝑖 y 𝑐 más 𝑑𝑖, en donde 𝑎, 𝑏, 𝑐, y 𝑑 son números reales, son las raíces de una ecuación cuadrática con coeficientes reales.

Si 𝑏 no es igual a cero, ¿qué condiciones, en caso de haberlas, deben satisfacer 𝑎, 𝑏, 𝑐, y 𝑑?

En esta cuestión, nos dicen que 𝑎 más 𝑏𝑖 y 𝑐 más 𝑑𝑖 son raíces de nuestra ecuación de segundo grado con coeficientes reales. Esta ecuación generalmente se da en la forma 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 igual a cero, pero 𝑎, 𝑏 y 𝑐 no deben ser confundidas con las letras 𝑎, 𝑏 y 𝑐 en nuestros números complejos. Así que vamos a escribir esta ecuación como 𝑝𝑥 al cuadrado más 𝑞𝑥 más 𝑟 igual a cero.

Hemos visto que las raíces imaginarias de una ecuación cuadrática con coeficientes reales ocurren en pares conjugados complejos. Recuerda que para hallar el conjugado, cambiamos el signo de la parte imaginaria. Así que el conjugado de 𝑎 más 𝑏𝑖 es 𝑎 menos 𝑏𝑖. Y 𝑎 más 𝑏𝑖 y 𝑐 más 𝑑𝑖 deben ser complejos conjugados entre sí, según este teorema. Esto significa que el conjugado de 𝑎 más 𝑏𝑖 debe ser 𝑐 más 𝑑𝑖. Así que 𝑎 menos 𝑏𝑖 es igual a 𝑐 más 𝑑𝑖.

Y para que dos números complejos sean iguales, sus partes reales deben ser iguales. Así que aquí igualamos 𝑎 y 𝑐. Pero sus partes imaginarias también deben ser iguales. Por eso las igualamos. Y obtenemos que menos 𝑏 es igual a 𝑑. Así que la condición que 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 deben cumplir aquí es que 𝑎 debe ser igual a 𝑐 y menos 𝑏 debe ser igual a 𝑑. A continuación, vamos a utilizar nuestros conocimientos de la naturaleza de las raíces complejas de las ecuaciones de segundo grado para reconstruir una ecuación partiendo de una de sus raíces.

Halla la ecuación de segundo grado con coeficientes reales que tiene cinco más 𝑖 como una de sus raíces.

Se nos dice que cinco más 𝑖 es una raíz de la ecuación cuadrática. Y sabemos que las raíces imaginarias de una ecuación cuadrática que tiene coeficientes reales ocurren en pares complejos conjugados. Para hallar el conjugado complejo, cambiamos el signo de la parte imaginaria. Y por lo tanto, podemos ver que las raíces de nuestra ecuación son cinco más 𝑖 y cinco menos 𝑖. Y esto significa que nuestra ecuación cuadrática es de la forma 𝑥 menos cinco más 𝑖 multiplicada por 𝑥 menos cinco menos 𝑖 es igual a cero. Y esto se debe a que cuando resolvemos una ecuación cuadrática factorizando, igualamos a cero cada una de las expresiones dentro de los paréntesis.

En este caso, tendríamos 𝑥 menos cinco más 𝑖 es igual a cero y 𝑥 menos cinco menos 𝑖 es igual a cero. Resolveríamos esta primera ecuación sumando cinco más 𝑖 a ambos lados. Vemos que 𝑥 es igual a cinco más 𝑖. Resolvemos la segunda ecuación sumando cinco menos 𝑖 a ambos lados. Y obtenemos que la segunda raíz 𝑥 es igual a cinco menos 𝑖.

Vamos a necesitar desarrollar estos paréntesis. Usemos el método de la cuadrícula aquí ya que hay varias partes que podrían confundirnos. 𝑥 multiplicado por 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. 𝑥 multiplicado por menos cinco más 𝑖 es menos 𝑥 cinco más 𝑖. Del mismo modo, obtenemos menos 𝑥 multiplicado por cinco menos 𝑖. Y menos cinco más 𝑖 multiplicado por menos cinco menos 𝑖 nos da más cinco menos 𝑖 multiplicado por cinco más 𝑖. Y desarrollamos estos paréntesis utilizando el método PEIÚ.

Multiplicar el primer término en el primer paréntesis por el primer término en el segundo paréntesis nos da 25. Multiplicamos los dos términos externos, que son cinco 𝑖, y los dos términos internos, que son menos cinco 𝑖. Y cinco 𝑖 menos cinco 𝑖 es cero. Por lo tanto, se cancelan mutuamente. Y después multiplicamos los últimos términos. Menos 𝑖 multiplicado por 𝑖 es menos 𝑖 al cuadrado. Y dado que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno, vemos que estos paréntesis al ser multiplicados dan 25 menos menos uno, que es igual a 26. Nuestra ecuación cuadrática es de la forma 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 multiplicado por cinco más 𝑖 menos 𝑥 multiplicado por cinco menos 𝑖 más 26.

Agrupamos términos similares. Y obtenemos 𝑥 al cuadrado menos cinco más 𝑖 más cinco menos 𝑖 multiplicado por 𝑥 más 26. 𝑖 menos 𝑖 es cero. Y nos quedamos con 𝑥 al cuadrado menos 10𝑥 más 26 igual a cero.

En realidad, hay una fórmula que podemos usar que nos ahorrará algo de tiempo. Si tenemos una ecuación de segundo grado con coeficientes reales y una solución compleja 𝑎 más 𝑏𝑖, la ecuación de esa cuadrática es 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑎𝑥 más 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado igual a cero. 𝑎 es la parte real de la solución. Aquí es cinco. Y 𝑏 es la parte imaginaria. En nuestra solución, es uno.

Podemos reemplazar lo que sabemos sobre nuestro número complejo en la fórmula. Y obtenemos 𝑥 al cuadrado menos dos por cinco por 𝑥 más cinco al cuadrado más uno al cuadrado. Dos por cinco es 10, y cinco al cuadrado más uno al cuadrado es 26. Y hemos obtenido la misma ecuación cuadrática. Y podemos ver por qué este método nos puede ahorrar un poco de tiempo.

En este video, hemos aprendido que podemos usar la fórmula cuadrática o completar el cuadrado para resolver ecuaciones sin raíces reales dando nuestras respuestas como números complejos. También hemos visto que estas soluciones ocurren como pares de números complejos conjugados. Y además hemos aprendido que podemos reconstruir una ecuación cuadrática conociendo una de sus soluciones complejas. Si la solución es 𝑎 más 𝑏𝑖, la ecuación cuadrática es 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑎𝑥 más 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado igual a cero.

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