Lesson Video: Suma y resta de números complejos

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En esta lección, vamos a aprender cómo sumar y restar números complejos. Vamos a comenzar repasando la definición de número complejo y lo que significa que dos números complejos sean iguales. Después vamos a aprender a sumar y restar estos números, extendiendo esta idea a la resolución de ecuaciones simples con números complejos.

Recordemos que un número complejo 𝑧 es un número de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖. Y tanto 𝑎 como 𝑏 han de ser números reales. E 𝑖 es definido como la solución de la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos uno. Decimos que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno y también que 𝑖 es igual a la raíz cuadrada de menos uno.

Y para nuestro número complejo 𝑎 más 𝑏𝑖, decimos que la parte real de 𝑧 es 𝑎 y la parte imaginaria es 𝑏. Es conveniente resaltar que la parte imaginaria es 𝑏, no 𝑏𝑖. Es básicamente el coeficiente de 𝑖. Así como el conjunto de los números reales se representa con la letra ℝ, el conjunto de los números complejos se representa con la letra ℂ, como se muestra.

Antes de realizar una suma o resta y resolver ecuaciones con números complejos, necesitamos definir lo que significa que dos números complejos son iguales. Ya hemos visto que un número complejo está formado por dos partes: una parte real y una parte imaginaria. 𝑎 y 𝑏 son las partes real e imaginaria, respectivamente. Y estos dos números pertenecen ambos al conjunto de los números reales.

Digamos, pues, que tenemos dos números complejos 𝑎 más 𝑏𝑖 y 𝑐 más 𝑑𝑖. Queremos saber qué significa para estos dos números complejos ser iguales. Y lo que significa es que, por un lado, sus partes reales deben ser iguales, y que, por otro lado, sus partes imaginarias deben ser iguales también. Podemos decir que 𝑎 más 𝑏𝑖 es igual a 𝑐 más 𝑑𝑖 si 𝑎 es igual a 𝑐 y 𝑏 es igual a 𝑑. En otras palabras, dos números complejos son iguales si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias también son iguales. Y el recíproco es también cierto. Si 𝑎 es igual a 𝑐 y 𝑏 es igual a 𝑑, para dos números complejos 𝑎 más 𝑏𝑖 y 𝑐 más 𝑑𝑖, 𝑎 más 𝑏𝑖 será igual a 𝑐 más 𝑑𝑖. Consideremos ahora un problema para el cual esta definición podría ser útil.

Si los números complejos siete más 𝑎𝑖 y 𝑏 menos tres 𝑖 son iguales, ¿cuáles son los valores de 𝑎 y 𝑏?

Recuerda, para que dos números complejos sean iguales, tanto sus partes reales como sus partes imaginarias han de ser iguales. Y lo mejor de esto es que toma un problema con números complejos y lo convierte en un problema sobre números reales, ya que las partes reales y las partes imaginarias de todo número complejo son números reales.

Primero, echemos un vistazo a los números complejos siete más 𝑎𝑖 y 𝑏 menos tres 𝑖. La parte real del primer número complejo es siete, y la parte real de nuestro segundo número complejo es 𝑏. La parte imaginaria de nuestro primer número complejo es 𝑎, y la parte imaginaria de nuestro segundo número complejo es menos tres. Por lo tanto, siete debe ser igual a 𝑏 y 𝑎 debe ser igual a menos tres. Ambos, menos tres y siete, son números reales, pues han de satisfacer nuestro criterio sobre las partes reales e imaginarias de los números complejos. Es decir, para que los números complejos siete más 𝑎𝑖 y 𝑏 menos tres 𝑖 sean iguales, 𝑎 debe ser igual a menos tres y 𝑏 debe ser igual a siete.

¿Y qué hay de sumar y restar números complejos? Recordemos que un número complejo es el resultado de sumar un número real y un número imaginario. Podemos compararlo un poco con una expresión algebraica como cuatro más siete 𝑥. Este es el resultado de sumar un número y un término en 𝑥. Podemos sumar, por ejemplo, cuatro más siete 𝑥 y otra expresión como dos más cinco 𝑥 sumando por un lado los números para obtener seis y sumando por el otro lado los términos en 𝑥. Esto es siete 𝑥 más cinco 𝑥, que es igual a 12𝑥.

Podemos sumar números complejos de la misma forma, sin olvidar, sin embargo, que la letra 𝑖 no es una variable sino un número. Es la solución a la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos uno. Generalicemos esto para números complejos 𝑎 más 𝑏𝑖 y 𝑐 más 𝑑𝑖. Su suma es 𝑎 más 𝑏𝑖 más 𝑐 más 𝑑𝑖. Y podemos sumar las partes reales 𝑎 y 𝑐, y obtenemos 𝑎 más 𝑐, y después sumamos sus partes imaginarias. Es decir 𝑏 más 𝑑. Y vemos que la suma de estos dos números complejos es 𝑎 más 𝑐 más 𝑏 más 𝑑 𝑖.

Su diferencia es 𝑎 más 𝑏𝑖 menos 𝑐 más 𝑑𝑖. Esta vez, restamos sus partes reales y obtenemos 𝑎 menos 𝑐. Y restamos las partes imaginarias. Y obtenemos 𝑏. Y desarrollamos los paréntesis y obtenemos menos 𝑑. Así que la diferencia es 𝑎 menos 𝑐 más 𝑏 menos 𝑑 𝑖. Así que para sumar y restar números complejos, sumamos o restamos sus partes reales y, aparte, sumamos o restamos sus partes imaginarias.

Esencialmente, lo que hemos visto es que podemos tomar un problema de números complejos y convertirlo en un problema sobre números reales considerando por separado las partes reales y las imaginarias. Esto es muy conveniente porque significa que podemos hacer uso de las habilidades que ya tenemos para trabajar con números reales y extenderlas para trabajar con números complejos. Veamos cómo hacer esto.

¿Cuánto es menos nueve más siete más cuatro 𝑖 más menos cuatro menos cuatro 𝑖 menos uno más tres 𝑖?

Recordemos que podemos sumar y restar números complejos sumando sus partes reales y sus partes imaginarias por separado. Aquí tenemos cuatro números complejos. Tal vez no lo parezca, pero menos nueve es también un número complejo. Es menos nueve más cero 𝑖.

Por lo tanto, para responder esta cuestión, primero vamos a calcular la parte real. Esto es menos nueve más siete menos cuatro menos uno, que es igual a menos siete. Del mismo modo con las partes imaginarias que son cero, cuatro, menos cuatro y menos tres.

Y debemos tener cuidado con este conjunto final de paréntesis. Y un número negativo multiplicado por un positivo es igual a un negativo. Lo que nos da menos tres. Es decir que la parte real de nuestra solución es menos siete y la parte imaginaria es menos tres. Por tanto, menos nueve más siete más cuatro 𝑖 más menos cuatro menos cuatro 𝑖 menos uno más tres 𝑖 es menos siete menos tres 𝑖.

También sabemos que muchas propiedades algebraicas pueden ser extendidas al conjunto de los números complejos. Podríamos haber reducido términos similares. De hecho, desarrollando los paréntesis y después reorganizando, obtenemos menos nueve más siete más menos cuatro menos uno más cuatro 𝑖 más menos cuatro 𝑖 menos tres 𝑖, que una vez más nos da menos siete menos tres 𝑖. Este último método, el de reducir términos similares, generalmente es el que usamos al sumar y restar números complejos.

Sin embargo, es útil recordar que existen otros métodos que pueden funcionar. Veamos por qué.

Si 𝑟 es igual a cinco más dos 𝑖 y 𝑠 es igual a nueve menos 𝑖, halla la parte real de 𝑟 menos 𝑠.

Aquí tenemos dos números complejos, cinco más dos 𝑖 y nueve menos 𝑖. Podemos ver que la parte real de 𝑟 es cinco y la parte real de 𝑠 es nueve. La parte imaginaria de 𝑟 es dos y la parte imaginaria de 𝑠 es menos uno. Nos han pedido hallar la parte real de la diferencia entre 𝑟 y 𝑠. Y, por supuesto, podemos calcular 𝑟 menos 𝑠 reduciendo términos similares. Esto es cinco más dos 𝑖 menos nueve menos 𝑖.

Es importante que usemos estos paréntesis aquí porque nos recuerdan que estamos restando todo lo que está dentro de los paréntesis, nueve menos 𝑖. Si desarrollamos estos paréntesis, obtenemos cinco más dos 𝑖 menos nueve más 𝑖, pues restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo. Después simplificaríamos reduciendo términos similares. Sin embargo, hacer todo esto requiere un poco más de trabajo del que realmente necesitamos.

De hecho, recordamos que, para restar números complejos, simplemente restamos las partes reales y luego las partes imaginarias. Nos han pedido calcular las partes reales del número complejo 𝑟 menos 𝑠. Así que solo necesitamos restar la parte real de 𝑠 de la parte real de 𝑟. Podemos formalizar esto y decir que la parte real de 𝑟 menos 𝑠 es igual a la parte real de 𝑟 menos la parte real de 𝑠. Ya hemos visto que la parte real de 𝑟 es cinco y la parte real de 𝑠 es nueve. Cinco menos nueve es igual a menos cuatro. Por lo tanto, la parte real de 𝑟 menos 𝑠 en este caso es menos cuatro.

Una vez que hemos examinado lo que significa que dos números reales sean iguales y que hemos aprendido a sumar y a restar números complejos, esto nos permite resolver ecuaciones simples que incluyen este tipo de números.

Determina los números reales 𝑥 y 𝑦 que satisfacen la ecuación cinco 𝑥 más dos más tres 𝑦 menos cinco 𝑖 igual a menos tres más cuatro 𝑖.

Analicemos cuidadosamente lo que nos han dado. Nos han dado dos números complejos que según nos han dicho son iguales entre sí. Aunque no lo parezca, la expresión a la izquierda del signo igual es un número complejo. Recordemos que un número complejo es de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, en donde 𝑎 y 𝑏 son números reales. Y nos dicen que 𝑥 e 𝑖 son números reales. Esto quiere decir que la expresión cinco 𝑥 más dos debe ser real y tres 𝑦 menos cinco debe ser real. Así que 𝑥 más dos más tres 𝑦 menos cinco 𝑖 es un número complejo. Tiene una parte real de cinco 𝑥 más dos y una parte imaginaria de tres 𝑦 menos cinco.

Vamos a recordar lo que significa que dos números complejos sean iguales. Dos números complejos 𝑎 más 𝑏𝑖 y 𝑐 más 𝑑𝑖 son iguales si 𝑎 es igual a 𝑐 y 𝑏 es igual a 𝑑. En otras palabras, sus partes reales deben ser iguales y sus partes imaginarias deben ser iguales también.

Comencemos por las partes reales en nuestra pregunta. Hemos visto que la parte real del número complejo en la izquierda es cinco 𝑥 más dos. Y en la derecha es menos tres. Esto quiere decir que cinco 𝑥 más dos debe ser igual a menos tres. Vamos a resolverlo aplicando una serie de operaciones inversas. Vamos a restar dos de ambos lados, y después dividiremos por cinco. Y vemos que 𝑥 es igual a menos uno.

Repitamos este proceso para las partes imaginarias. Hemos dicho que la parte imaginaria de nuestro número en la izquierda es tres 𝑦 menos cinco. Y en la derecha, podemos ver un cuatro. Esto significa que tres 𝑦 menos cinco debe ser igual a cuatro. Podemos sumar cinco a ambos lados de la ecuación. Y después dividir por tres. Vemos que 𝑦 debe ser igual a tres. Y hemos resuelto la ecuación para 𝑥 y 𝑦. 𝑥 es igual a menos uno y 𝑦 es igual a tres.

De hecho, siempre es recomendable verificar nuestras respuestas reemplazándolas nuevamente en la ecuación para asegurarnos de que tienen sentido. Si lo hacemos, obtenemos cinco multiplicado por menos uno más dos más tres multiplicado por tres menos cinco 𝑖. Esto nos da menos tres más cuatro 𝑖 como nos pedían.

Nuestro último ejemplo utiliza todo lo que hemos visto en este video, pero con un poco más de complejidad.

Sea 𝑧 uno igual a cuatro 𝑥 más dos 𝑦𝑖 y 𝑧 dos igual a cuatro 𝑦 más 𝑥𝑖, en donde 𝑥 y 𝑦 son números reales. Sabiendo que 𝑧 uno menos 𝑧 dos es igual a cinco más dos 𝑖, halla 𝑧 uno y 𝑧 dos.

Observemos cuidadosamente lo que nos han dado. Nos han dado dos números complejos en términos de 𝑥 y de 𝑦. Y sabemos que son complejos porque nos han dicho que 𝑥 y 𝑦 son números reales. Esta es una propiedad importante de un número complejo. Tanto la parte real como la parte imaginaria de los números complejos deben ser números reales. También nos han dicho que la diferencia entre estos dos números es cinco más dos 𝑖.

Recordemos: para restar números reales, simplemente restamos las partes reales y, por separado, restamos las partes imaginarias. Esto significa que la parte real de 𝑧 uno menos 𝑧 dos debe ser igual a la diferencia entre las partes reales de 𝑧 uno y 𝑧 dos. La parte real de 𝑧 uno menos 𝑧 dos es cinco. La parte real de 𝑧 uno es cuatro 𝑥, y la parte real de nuestro segundo número complejo es cuatro 𝑦. De modo que cinco es igual a cuatro 𝑥 menos cuatro 𝑦.

Repitamos este proceso para nuestros números imaginarios. La parte imaginaria de la diferencia es dos. La parte imaginaria de 𝑧 uno es dos 𝑦, y la parte imaginaria de 𝑧 dos es 𝑥. Dos es igual a dos 𝑦 menos 𝑥. Y ahora tenemos un par de ecuaciones simultáneas en 𝑥 y 𝑦. Para resolver esto, podemos usar cualquier método con el que nos sintamos cómodos.

Parece que el método de sustitución se presta bastante bien a estas ecuaciones. Reorganicemos esta segunda ecuación para despejar 𝑥. Sumamos 𝑥 a ambos lados y luego restamos dos. Y obtenemos que 𝑥 es igual a dos 𝑦 menos dos. Luego sustituimos esto en nuestra primera ecuación. Y vemos que cinco es igual a cuatro veces nuestro valor de 𝑥, que es dos 𝑦 menos dos. Y luego restamos cuatro 𝑦.

Desarrollamos estos paréntesis multiplicando cada término por cuatro. Y vemos que cinco es igual a ocho 𝑦 menos ocho menos cuatro 𝑦. Ocho 𝑦 menos cuatro 𝑦 es cuatro 𝑦. Vamos a resolver esta ecuación sumando ocho a ambos lados para obtener 13 igual a cuatro 𝑦. Y después dividimos por cuatro. Vemos que 𝑦 es igual a 13 sobre cuatro.

Podemos reemplazar este valor en cualquiera de nuestras ecuaciones originales. Pero la mejor opción es usar la forma reorganizada de la segunda ecuación. 𝑥 es igual a dos multiplicado por 13 sobre cuatro menos dos. Dos multiplicado por 13 sobre cuatro es lo mismo que 13 sobre dos. Y dos es lo mismo que cuatro sobre dos. 13 sobre dos menos cuatro sobre dos es nueve sobre dos. Y aquí es donde usualmente nos detenemos.

Pero nos han pedido hallar los números complejos 𝑧 uno y 𝑧 dos. Necesitamos reemplazar nuestros valores para 𝑥 y 𝑦 en cada uno de estos. Obtenemos 𝑧 uno igual a cuatro multiplicado por nueve sobre dos más dos multiplicado por 13 sobre cuatro 𝑖. Esto es 18 más 13 sobre dos 𝑖. 𝑧 dos es cuatro multiplicado por 13 sobre cuatro más nueve sobre dos 𝑖. Esto es 13 más nueve sobre dos 𝑖.

Es recomendable comprobar nuestra respuesta restando 𝑧 dos de 𝑧 uno para asegurarnos de que sí obtenemos cinco más dos 𝑖. Restamos las partes reales. 18 menos 13 que es igual a cinco, como nos pedían. Y restamos las partes imaginarias. 13 sobre dos menos nueve sobre dos es cuatro sobre dos, que se simplifica a dos. Así que la parte imaginaria es dos como es requerido.

En este video, hemos visto que podemos transformar un problema sobre números complejos en uno sobre números reales considerando por separado las partes reales y las partes imaginarias. Y hemos visto que esto puede ser útil porque ya sabemos cómo trabajar con sumas, restas e igualdades con números reales. También hemos aprendido que podemos extender las reglas para expresiones algebraicas para ayudarnos a trabajar con números complejos.

Hemos visto que dos números complejos son iguales si, por separado, sus componentes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales. Y, finalmente, hemos aprendido que podemos sumar y restar números complejos sumando y restando sus partes reales y sumando y restando sus partes imaginarias.