Vídeo: Integración numérica: sumas de Riemann

En este vídeo vamos a aprender cómo usar sumas de Riemann por la derecha, por la izquierda y por el centro para aproximar numéricamente integrales definidas.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo usar sumas de Riemann por la derecha, por la izquierda y por el centro para aproximar numéricamente integrales definidas. Es posible que alguna vez hayas aproximado el área entre una curva y el eje de las 𝑥 dividiéndola en rectángulos y calculando la suma total de sus áreas. En este vídeo vamos a aprender qué relación tiene este procedimiento con el cálculo y cómo este método puede ayudarnos a aproximar numéricamente integrales definidas.

Supongamos que queremos hallar el área entre la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, el eje de abscisas, es decir, el eje de las 𝑥, y las rectas verticales, 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏. La región tiene más o menos este aspecto, y los valores de la función pueden ser tanto positivos como negativos. Con el método de las sumas de Riemann obtenemos una aproximación de esta área al dividirla en rectángulos del mismo tamaño. La altura de estos rectángulos puede venir dada por el valor de la función en el extremo izquierdo de cada intervalo. Eso es una suma de Riemann por la izquierda, en el extremo derecho de cada intervalo, esto es, una suma de Riemann por la derecha, o en el punto medio de cada intervalo.

Las fórmulas de las sumas de Riemann por la derecha y por la izquierda son las siguientes. Recuerda que, cuando usamos una suma de Riemann por la derecha, tomamos valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Y cuando usamos una suma de Riemann por la izquierda, tomamos valores de 𝑖 desde cero hasta 𝑛 menos uno. De esta forma obtenemos el valor de 𝑓 en el extremo izquierdo de cada rectángulo. Aquí Δ𝑥 es 𝑏 menos 𝑎 dividido por 𝑛. 𝑎 y 𝑏 son los puntos inicial y final del intervalo, o sea, sus extremos, y 𝑛 es el número de subintervalos, es decir, el número de rectángulos en los que hemos dividido la región. Aquí puede que 𝑥𝑖 nos parezca un poco lioso. Pero es 𝑎 más 𝑖 veces Δ𝑥. Es decir, empezamos en el extremo inferior de nuestro intervalo. Y sumamos repetidamente Δ𝑥, la anchura de cada rectángulo.

Supongamos que queremos dividir la región en dos rectángulos. Y vamos a hacer la altura de cada rectángulo igual al valor de la función en el extremo izquierdo. Como te puedes imaginar, con esto no vamos a obtener una estimación muy precisa para el área entre la curva y el eje de las 𝑥. Pero si seguimos dividiendo la región, en, digamos, cuatro rectángulos, tendremos una estimación más precisa, más cercana al área exacta. Y si la dividimos en ocho rectángulos, obtendremos una estimación aún mejor. De hecho, a medida que el número de rectángulos o subintervalos, 𝑛, tiende a infinito, el área aproximada se acerca más y más al área exacta entre la curva y el eje de las 𝑥.

Cuando usamos la suma de Riemann por la derecha, el área 𝑎 de la región que se encuentra debajo de la gráfica de una función continua 𝑓 es el límite cuando 𝑛 tiende a infinito de la suma de Δ𝑥 por 𝑓 de 𝑥𝑖 para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Y cuando usamos la suma de Riemann por la izquierda, el área de la región que se encuentra debajo de la gráfica de una función continua 𝑓 es el límite de la suma de Δ𝑥 por 𝑓 de 𝑥𝑖 para valores de 𝑖 desde cero hasta 𝑛 menos uno. Y, de hecho, en vez de usar extremos izquierdos o derechos, podemos considerar la altura del rectángulo 𝑖 como el valor de 𝑓 en un número arbitrario 𝑥𝑖 asterisco del subintervalo 𝑖 desde 𝑥𝑖 menos uno hasta 𝑥𝑖. Recuerda que a 𝑥𝑖 asterisco se le llama «punto de muestra». Y podemos generalizar nuestra fórmula de esta forma.

Y ahora pasamos a ocuparnos de otra definición. Que es la definición de integral definida. Puede que ya la conozcas. Sea 𝑓 una función definida en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, y dividamos ese intervalo en 𝑛 subintervalos de igual anchura. Eso es Δ𝑥, donde 𝑥 cero, 𝑥 uno, 𝑥 dos, etcétera, son los extremos de los subintervalos. De este modo tenemos 𝑥 uno asterisco, 𝑥 dos asterisco, hasta 𝑥𝑛 asterisco, que son los puntos de muestra en los subintervalos, de manera que 𝑥𝑖 asterisco se encuentra en el subintervalo 𝑖. Entonces, la integral definida de 𝑓 desde 𝑎 hasta 𝑏 se define como el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la suma de Δ𝑥 por 𝑓 de 𝑥𝑖 asterisco para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Esto es así siempre y cuando este límite exista y nos dé el mismo valor independientemente de los puntos de muestra que escojamos.

Pero, espera un momento. Hemos dicho que el área entre la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 y el eje de las 𝑥 entre 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏 es igual a este límite. Por lo tanto, la integral definida entre los límites 𝑎 y 𝑏 de la función es el área exacta. Esto nos viene muy bien, pues hay varias funciones que podemos integrar fácilmente. Así que podemos calcular la integral definida para hallar el área exacta entre la curva y el eje de las 𝑥. En caso de que esto no sea posible, ya sabemos que podemos usar las sumas de Riemann para aproximar el área.

Veamos cómo sería esto.

La siguiente tabla muestra los valores de una función que se han obtenido en un experimento. Aproxima la integral definida entre cinco y 17 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 usando tres subintervalos iguales con extremos izquierdos.

Como ya sabes, podemos estimar una integral definida usando las sumas de Riemann. En este caso queremos estimar la integral entre cinco y 17 de 𝑓 de 𝑥. No es necesario que sepamos cuál es la función. Pues tenemos suficientes datos en la tabla para obtener la suma de Riemann por la izquierda. Para obtener la suma de Riemann por la izquierda tenemos que hacer la altura de nuestros rectángulos igual al valor de la función en el extremo izquierdo del subintervalo. Y hemos de utilizar tres subintervalos del mismo tamaño. Muy bien, vamos a repasar la fórmula que nos permite calcular el tamaño de cada subintervalo, es decir, el ancho de cada rectángulo.

Recordemos que Δ𝑥 es igual a 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛, donde 𝑎 y 𝑏 son los extremos del intervalo y 𝑛 es el número de subintervalos. En este caso queremos calcular la integral definida entre cinco y 17. Así que hacemos 𝑎 igual a cinco y 𝑏 igual a 17. Y queremos tener tres subintervalos iguales. Así que 𝑛 ha de ser igual a tres. De esta forma Δ𝑥 es 17 menos cinco, todo entre tres, lo que nos da cuatro. A continuación hacemos una suma de Riemann por la izquierda, así que tomamos valores de 𝑖 desde cero hasta 𝑛 menos uno. Es la suma de Δ𝑥 por 𝑓 de 𝑥𝑖 para valores de 𝑖 desde cero hasta 𝑛 menos uno. 𝑥𝑖 es 𝑎 más 𝑖 veces Δ𝑥. Y sabemos que 𝑎 es igual a cinco, y que Δ 𝑥 es igual a cuatro. Así que el valor de 𝑥𝑖 viene dado por cinco más cuatro 𝑖.

Como estamos usando una suma de Riemann por la izquierda, hacemos 𝑖 igual a cero. Tenemos que hallar 𝑥 cero. Es cinco más cuatro por cero, que es cinco. Vamos a hallar 𝑓 de 𝑥 cero en la tabla. Es menos tres. Ahora hacemos 𝑖 igual a uno. Y obtenemos que 𝑥 uno es cinco más cuatro por uno, que es nueve. Buscamos el valor 𝑥 igual a nueve en nuestra tabla. Y vemos que 𝑓 de nueve es menos 0.6. A continuación, hacemos 𝑖 igual a dos. Recuerda que estamos buscando valores de 𝑖 hasta 𝑛 menos uno. Tres menos uno es dos. Y este es el último valor de 𝑖 que nos interesa. Ahora eso es cinco más cuatro por dos, que es 13. Buscamos 𝑥 igual a 13 en la tabla. Y obtenemos que 𝑓 de 13 y 𝑓 de 𝑥 dos es 1.8.

Ahora aplicamos nuestra fórmula de sumatorio y hallamos la suma de los productos de Δ𝑥 y de estos valores de 𝑓 de 𝑥𝑖. Por lo tanto, una estimación de la integral definida es cuatro por menos tres más cuatro por menos 0.6 más cuatro por 1.8, que es menos 7.2. Es decir, una estimación de la integral definida entre cinco y 17 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 usando tres subintervalos iguales es menos 7.2.

No te preocupes, no pasa nada porque la respuesta sea negativa. Recuerda que, cuando trabajamos con sumas de Riemann, hablamos de áreas. Y cuando los valores de la función son negativos, significa que el rectángulo se encuentra debajo del eje de las 𝑥. Y en este caso su área se resta.

Veamos cómo podemos usar estas fórmulas con extremos derechos.

Aproxima la integral definida entre menos dos y dos de tres 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥 con respecto a 𝑥 usando una suma de Riemann con extremos derechos. Usa 𝑛 igual a ocho.

Recuerda que podemos estimar el valor de una integral definida usando sumas de Riemann, y en este caso tenemos la integral definida de tres 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥 entre los límites menos dos y dos. Y vamos a usar los extremos derechos. Cuando usamos sumas de Riemann con extremos derechos, tomamos valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Es la suma de Δ𝑥 por 𝑓 de 𝑥𝑖 para estos valores de 𝑖, donde Δ𝑥 es 𝑏 menos 𝑎 dividido por 𝑛. Recuerda que 𝑛 es el número de subintervalos y que 𝑥𝑖 es igual a 𝑎 más 𝑖 veces Δ𝑥. Muy bien, vamos a ver lo que tenemos.

Nuestros límites son menos dos y dos. Así que hacemos 𝑎 igual a menos dos y 𝑏 igual a dos. La cuestión nos dice que consideremos 𝑛 igual a ocho. Geométricamente, esto se refiere al número de rectángulos que tenemos. Ya podemos calcular Δ𝑥. Es la anchura de cada rectángulo. Según nuestra fórmula, Δ𝑥 es 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛. Eso es dos menos menos dos sobre ocho, que es un medio. Una vez que hemos hallado Δ𝑥, podemos calcular 𝑥𝑖. Es 𝑎, que hemos dicho es menos dos más Δ𝑥. Eso es un medio por 𝑖. Es decir, 𝑥𝑖 es menos dos más 𝑖 sobre dos.

Ahora, para hacer la suma de Riemann, tenemos que calcular 𝑓 de 𝑥𝑖. Es 𝑓 de menos dos más 𝑖 sobre dos. Obtenemos esto sustituyendo menos dos más 𝑖 sobre dos en la fórmula tres 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥. Desarrollamos el paréntesis y simplificamos, y obtenemos que 𝑓 de 𝑥𝑖 es tres cuartos 𝑖 al cuadrado menos 17 sobre dos 𝑖 más 22. Ahora sustituimos Δ𝑥 y 𝑓 de 𝑥𝑖 en la fórmula de sumatorio. Como puedes ver, una aproximación a nuestra integral definida es el sumatorio de un medio por tres cuartos de 𝑖 al cuadrado menos 17 sobre dos 𝑖 más 22 para valores de 𝑖 desde uno hasta ocho. Este factor constante, un medio, es independiente de 𝑖. Así que podemos sacarlo fuera del sumatorio. Y, aunque este paso no es del todo necesario, sí puede simplificar las cosas en ocasiones.

Vamos a sustituir los valores de 𝑖 de uno a ocho en tres cuartos de 𝑖 al cuadrado menos 17 sobre dos 𝑖 más 22 y vamos a calcular su suma. Cuando 𝑖 es uno, obtenemos 0.75 menos 8.5 más 22, que es 14.25. Cuando 𝑖 es dos, obtenemos ocho. Cuando 𝑖 es tres, tenemos 3.25. Cuando 𝑖 es cuatro, obtenemos cero. Cuando 𝑖 es cinco, nos da menos 1.75. Cuando 𝑖 es seis, tenemos menos dos. Cuando es siete, obtenemos menos 0.75. Y cuando 𝑖 es ocho, tenemos dos. Si sumamos estos valores y luego multiplicamos el resultado por un medio, obtenemos 23 medios. Por lo tanto, una aproximación de nuestra integral definida, la cual hemos obtenido utilizando una suma de Riemann con ocho subintervalos, es 23 medios.

Hasta ahora hemos visto cómo estimar integrales haciendo uso de sumas de Riemann por la izquierda y por la derecha. Ahora vamos a ver cómo hacerlo usando una suma de Riemann por el centro.

Usando la regla del punto medio y considerando 𝑛 igual a cinco, halla, con cuatro cifras decimales, la integral definida de dos a cinco de dos 𝑥 sobre tres 𝑥 más dos con respecto a 𝑥.

Como ya hemos visto, podemos estimar una integral definida usando las sumas de Riemann. Dividimos la región en subintervalos y hacemos un rectángulo en cada uno de ellos. El área total de los rectángulos nos da una estimación de la integral. En una suma de Riemann por el centro, la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el punto medio de su base. Lo cierto es que operar con puntos medios no es tan sencillo como usar una suma de Riemann por la izquierda o por la derecha. De todas formas, no hay nada que nos impida calcular cada una de las áreas. Vamos a empezar calculando la anchura de cada subintervalo.

Geométricamente, esto es igual al ancho de los rectángulos. Y está dado por Δ𝑥 igual a 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛, donde 𝑎 y 𝑏 son los extremos del intervalo y 𝑛 es el número de subintervalos. En nuestro caso, el límite inferior es dos y el límite superior es cinco. Así que vamos a hacer 𝑎 igual a dos y 𝑏 igual a cinco. El problema nos dice que 𝑛 es igual a cinco. Así que Δ𝑥 es cinco menos dos sobre cinco, que es tres quintos, o lo que es lo mismo, 0.6. Vamos a ayudarnos con una tabla para realizar el siguiente paso. Comenzamos calculando cada uno de los subintervalos usando la tabla.

Sabemos que el límite inferior de la integral definida es dos. Para hallar el extremo derecho del primer rectángulo en nuestro primer subintervalo, sumamos 0.6 a dos para obtener 2.6. De esta forma el siguiente rectángulo comienza en 𝑥 igual a 2.6. Vamos a sumar 0.6 de nuevo. Y hallamos que el extremo derecho es 3.2. Por lo tanto, el extremo izquierdo del próximo rectángulo es 3.2. Y el extremo derecho es 3.2 más Δ𝑥. Eso es 3.8. El próximo rectángulo comienza en 3.8. Sumamos 0.6 y obtenemos que termina en 4.4. El quinto y último rectángulo, (recuerda que 𝑛 es igual a cinco) comienza en 4.4 y termina en 4.4 más 0.6, que es cinco. Esto es un buen comienzo, pues ya sabíamos que el extremo superior de nuestro intervalo es cinco.

Ahora vamos a calcular el punto medio de cada uno de los subintervalos. Esto es sencillo y tal vez puedas hacerlo de cabeza. Pero si no es así, solo tienes que sumar los dos valores y dividir por dos. Al hacerlo, obtenemos que los puntos centrales son 2.3, 2.9, 3.5, 4.1 y 4.7, respectivamente. Para hallar la altura de cada rectángulo, tenemos que calcular el valor de la función en estos puntos. Así, por ejemplo, en esta primera fila, empezamos calculando 𝑓 de 2.3. Para hacerlo sustituimos 2.3 en la función dos 𝑥 sobre tres 𝑥 más dos. Y obtenemos 46 sobre 89. Ahora hacemos lo mismo con 𝑥 igual a 2.9. Cuando sustituimos 3.5 en la función, obtenemos 14 sobre 25. Así, la altura de los dos últimos rectángulos son 82 sobre 143 y 94 sobre 161 unidades, respectivamente.

Ahora solo tenemos que calcular el área de cada rectángulo multiplicando la anchura por la altura. El ancho de cada rectángulo es Δ𝑥, o sea, 0.6. Así que hemos de multiplicar cada uno de los valores de estas funciones por 0.6 y calcular su suma. Podemos hacer esto o hallar su suma y multiplicar el resultado por 0.6. No importa, pues vamos a obtener la misma respuesta. Cuando hallamos el total de todos los valores de la columna Δ𝑥 por 𝑓 de 𝑥𝑖, obtenemos 1.66571, etcétera. Y si redondeamos esto a cuatro cifras decimales, hallamos que una estimación de la integral definida entre dos y cinco de dos 𝑥 sobre tres 𝑥 más dos con respecto a 𝑥 es aproximadamente 1.6657.

En este vídeo hemos aprendido que la integral definida de una función entre los límites de 𝑎 y 𝑏 se puede aproximar usando sumas de Riemann por la izquierda, por la derecha o aplicando la regla del punto medio. Hemos aplicado la fórmula de sumatorio para las sumas de Riemann por la izquierda y por la derecha. Además, hemos visto que la regla del punto medio puede ser un poco más difícil, por lo que conviene usar una tabla para obtener una estimación.

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