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Vídeo de la lección: Series de Maclaurin Matemáticas • Educación superior

En este video, vamos a aprender cómo obtener la serie de Maclaurin de una función y cómo hallar el radio de convergencia de una serie.

13:18

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender la definición de las series de Maclaurin y su relación con las series de Taylor. Vamos a ver cómo aplicar esta definición para representar una función arbitraria en forma de serie de Maclaurin y cómo podemos hallar el radio de convergencia de este tipo de series.

Empezamos recordando que, si una función 𝑓 tiene un desarrollo en serie de potencias en torno a 𝑎, la serie de Taylor de la función 𝑓 en torno a 𝑎 está dada por 𝑓 de 𝑥 igual a la sumatoria de la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en 𝑎 sobre 𝑛 factorial por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛, desde 𝑛 igual a cero hasta ∞. Esto puede ser escrito como 𝑓 de 𝑎 más 𝑓 prima de 𝑎 sobre uno factorial por 𝑥 menos 𝑎 más 𝑓 doble prima de 𝑎 sobre dos factorial por 𝑥 menos 𝑎 al cuadrado, etcétera. Para los casos especiales en los que 𝑎 es igual a cero, la serie de Taylor se convierte en la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de la 𝑛-ésima derivada evaluada en cero sobre 𝑛 factorial por 𝑥 a la 𝑛. Este caso es tan frecuente que recibe un nombre especial, la serie de Maclaurin. Vamos a ver cómo podemos aplicar esta fórmula en la práctica.

Halla la serie de Maclaurin de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥.

Hemos visto que la serie de Maclaurin de una función 𝑓 de 𝑥 está dada por la sumatoria de la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en cero sobre 𝑛 factorial por 𝑥 a la 𝑛 para valores de 𝑛 entre cero e ∞. Así que vamos a comenzar derivando 𝑓 de 𝑥 para evaluar 𝑓 prima de cero, 𝑓 doble prima de cero, etcétera. En última instancia, queremos encontrar cuál es la 𝑛-ésima derivada de nuestra función en 𝑥 igual a cero. Sabemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑒 a la 𝑥. Y la derivada de 𝑒 a la 𝑥 es simplemente 𝑒 a la 𝑥. Hemos hallado que 𝑓 prima de 𝑥 es 𝑒 a la 𝑥. 𝑓 doble prima de 𝑥 es su derivada, que también es 𝑒 a la 𝑥. Y podemos continuar esto. Y podemos ver que la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 también será igual a 𝑒 a la 𝑥.

Necesitamos hallar el valor de 𝑓 de cero, 𝑓 prima de cero, etcétera. 𝑓 de cero es 𝑒 elevado a cero, que es uno. 𝑓 prima de cero también es 𝑒 elevado a cero, que es uno. Y como la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 en 𝑥 es 𝑒 a la 𝑥, sabemos que la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 en cero es 𝑒 elevado a cero, que es uno. Por lo tanto, reemplazamos la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en cero con uno. Y hallamos que nuestro sumando es uno sobre 𝑛 factorial por 𝑥 a la 𝑛. Podemos, por supuesto, simplificar esto a 𝑥 a la 𝑛 sobre 𝑛 factorial. Y vemos que la serie Maclaurin de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥 es la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑥 elevado a 𝑛 partido por 𝑛 factorial. Y esto es uno más 𝑥 más 𝑥 al cuadrado sobre dos factorial más 𝑥 al cubo sobre tres factorial, etcétera.

Pero ¿qué sucede con el radio de convergencia de esta serie? Recordemos que, si una serie converge en el intervalo abierto desde menos 𝑅 a 𝑅, su radio de convergencia es el número denotado por 𝑅. Y, por supuesto, una serie de potencias siempre converge absolutamente dentro de su radio de convergencia. Del mismo modo, el intervalo de convergencia es el rango de valores abierto, cerrado o semicerrado de 𝑥, para el cual la serie de Maclaurin converge al valor de la función.

Veamos ahora cómo podemos hallar el radio de convergencia de una serie de Maclaurin.

Una serie de Maclaurin está dada como la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 más uno por 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛 menos uno. Encuentra el radio de convergencia de la serie.

Sabemos que podemos usar el criterio de d'Alembert para ayudarnos a obtener el radio de convergencia de una serie. La parte del criterio de d'Alembert en la que estamos interesados considera una serie dada por la sumatoria de 𝑎 𝑛. Y el criterio dice que si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛 es menor que uno, entonces la serie es absolutamente convergente y, por lo tanto, convergente. En nuestro caso, tenemos que 𝑎 𝑛 es igual a menos uno a la 𝑛 más uno por 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛 menos uno. Esto significa que 𝑎 𝑛 más uno es menos uno a la 𝑛 más dos por 𝑛 más uno por 𝑥 a la 𝑛. Así que, para hallar el radio de convergencia, necesitamos determinar dónde el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto del cociente de estas dos expresiones es menor que uno.

Podemos simplificar todo lo que podamos dentro de nuestro límite. Recordemos que cuando dividimos dos potencias con la misma base, restamos los exponentes. Esto significa que menos uno a la 𝑛 más dos dividido por menos uno a la 𝑛 más uno es simplemente menos uno. Del mismo modo, 𝑥 a la 𝑛 dividido por 𝑥 a la 𝑛 menos uno es simplemente 𝑥. Y podemos reescribir esto como el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de menos uno 𝑥 por 𝑛 más uno sobre 𝑛. La variable 𝑥 no depende de la variable del límite. Por lo tanto, podemos sacar el valor absoluto de menos 𝑥 fuera de nuestro límite.

Y ahora es posible evaluar nuestro límite. Dividimos ambos términos en el numerador por 𝑛. Queremos encontrar el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno más uno sobre 𝑛. A medida que 𝑛 se hace más grande, uno sobre 𝑛 se hace más pequeño. Y se aproxima a cero. Esto significa que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de uno más uno sobre 𝑛 es simplemente uno. Hemos hallado que el valor absoluto de menos 𝑥 multiplicado por uno ha de ser menor que uno. O, de otra forma, el valor absoluto de menos 𝑥 es menor que uno.

Reescribamos esto como el valor absoluto de menos uno por el valor absoluto de 𝑥. Y, por supuesto, el valor absoluto de menos uno es simplemente uno. Entonces, según el criterio de d'Alembert, el valor absoluto de 𝑥 debe ser menor que uno para que nuestra serie sea convergente. Y, por lo tanto, el radio de convergencia es igual a uno.

A continuación, vamos a ver cómo podemos obtener la serie de Maclaurin de una función trigonométrica.

Considera la función 𝑓 de 𝑥 igual a cos de 𝑥. ¿Cuáles son las primeras cuatro derivadas de 𝑓 con respecto a 𝑥? Escribe la forma general de la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥. Y, consecuentemente, escribe la serie de Maclaurin de cos de 𝑥.

Hay una cuarta parte en esta cuestión, que nos pide encontrar el radio 𝑅 de convergencia de la serie de Maclaurin para cos de 𝑥. Y la consideraremos al final. Vamos a comenzar por encontrar las primeras cuatro derivadas de 𝑓 con respecto a 𝑥. Nos dicen que 𝑓 de 𝑥 es igual a cos de 𝑥. Y citamos que el resultado general para la primera derivada de cos de 𝑥 es menos sen 𝑥. Por lo tanto, 𝑓 prima de 𝑥, la primera derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥, es menos sen 𝑥.

Luego recordamos el resultado general de la derivada de sen 𝑥. Es cos 𝑥. Y esto significa que la derivada de menos sen 𝑥 debe ser menos cos de 𝑥. Volviendo al primer resultado general que citamos, podremos derivar menos cos de 𝑥. Es menos menos sen de 𝑥, o sea, sen de 𝑥. Así que la tercera derivada es sen de 𝑥. Y finalmente, hallamos que la cuarta derivada es cos de 𝑥. Y de este modo, hemos hallado las primeras cuatro derivadas. Son menos sen 𝑥, menos cos 𝑥, sen 𝑥, y cos 𝑥.

La segunda parte de esta cuestión nos pide que encontremos una forma general para la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥. Por consiguiente, necesitamos hallar una regla para nuestras derivadas. En primer lugar, notamos que, si derivamos cos de 𝑥, volvemos a menos sen 𝑥. Y este ciclo continuará. Después, recordamos que seno y coseno son traslaciones horizontales la una de la otra. Y así, si dibujamos la curva de 𝑦 igual a menos sen de 𝑥, eso, por supuesto, es una reflexión en el eje de las 𝑥 de la gráfica de 𝑦 igual a sen 𝑥. Vemos que podemos escribir 𝑦 igual a menos sen 𝑥 como 𝑦 igual a cos de 𝑥 más 𝜋 partido por dos. Es una traslación horizontal de la gráfica de 𝑦 igual a cos de 𝑥 en 𝜋 partido por dos radianes. De modo que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a cos de 𝑥 más 𝜋 por dos.

Vamos a repetir esto para la gráfica de 𝑦 igual a menos cos de 𝑥. Es nuevamente una reflexión en el eje de las 𝑥 de la gráfica 𝑦 igual a cos de 𝑥. Y, por lo tanto, también se puede representar mediante una traslación horizontal de la gráfica de 𝑦 igual a cos de 𝑥 en 𝜋 radianes. Podemos escribir 𝑓 doble prima de 𝑥, que es menos cos de 𝑥, como cos de 𝑥 más 𝜋. Al aplicar un proceso de pensamiento similar, encontramos que la tercera derivada, sin de 𝑥, se puede escribir como cos de 𝑥 más tres 𝜋 partido por dos. Y la cuarta derivada se puede escribir como cos de 𝑥 más dos 𝜋.

Recordemos que, cos en sí es periódico con un período de dos 𝜋 radianes. Es decir que cos de 𝑥 más dos 𝜋 es exactamente lo mismo que cos de 𝑥. Y podríamos estar empezando a identificar una regla. De hecho, si escribimos la segunda derivada, cos de 𝑥 más 𝜋, como cos de 𝑥 más dos 𝜋 sobre dos y la cuarta derivada como cos de 𝑥 más cuatro 𝜋 sobre dos, vemos que podemos escribir la 𝑛-ésima derivada como cos de 𝑥 más 𝑛𝜋 sobre dos. Y así, la forma general de la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥 es cos de 𝑥 más 𝑛𝜋 sobre dos.

La tercera parte de esta cuestión nos pide que obtengamos la serie de Maclaurin para cos de 𝑥. Y sabemos que esta es la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en cero sobre 𝑛 factorial por 𝑥 a la 𝑛. En este caso, la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en cero es cos de cero más 𝑛𝜋 sobre dos. Cuando 𝑛 es cero, tenemos 𝑓 de cero, que es cos de cero, que es uno. Cuando 𝑛 es uno, tenemos 𝑓 prima de cero, que es cos de 𝜋 partido por dos, que es cero. Cuando 𝑛 es dos, tenemos cos de 𝜋, que es menos uno. Y cuando 𝑛 es igual a tres, tenemos cos de tres partido por dos, que nuevamente es cero. Y, por supuesto, como ya hemos visto en la segunda parte de esta cuestión, este ciclo continúa.

Y esto significa que los primeros términos serán uno menos 𝑥 al cuadrado sobre dos factorial más 𝑥 a la cuarta sobre cuatro factorial menos 𝑥 a la sexta sobre seis factorial, que podemos escribir como la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de menos uno a la 𝑛. Pero esta parte no nos da nada más que los signos alternos. Pasamos de positivo a negativo y de nuevo a positivo. Y esto es todo sobre dos 𝑛 factorial. Esto nos da el factorial de los números pares en el denominador por 𝑥 elevado a dos 𝑛. Y así hemos derivado la serie de Maclaurin para cos de 𝑥. Es la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 sobre dos 𝑛 factorial por 𝑥 elevado a dos 𝑛. Y, si optamos por escribir esto alternativamente como se muestra, también sería correcto.

Vamos a hacer algo de sitio para resolver la cuarta y última parte de esta cuestión. Mantendremos la serie Maclaurin para cos de 𝑥 en la pantalla porque la usaremos en un momento. Y esta pregunta dice, ¿cuál es el radio 𝑅 de convergencia de la serie de Maclaurin para cos de 𝑥? Recordamos que, en general, se trata de un intervalo abierto de menos 𝑅 a 𝑅, en el que converge una serie de potencias. Y ese número 𝑅 se llama radio de convergencia. Y podemos usar el criterio d’Alembert para hallar este valor. La parte de la prueba que nos interesa dice que, dada una serie sumatoria de 𝑎 𝑛, si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de 𝑎 𝑛 más uno sobre 𝑎 𝑛 es menor que uno, la serie es convergente.

En nuestro caso, tenemos que 𝑎 𝑛 es igual a menos uno a la 𝑛 por 𝑥 elevado a dos 𝑛 sobre dos 𝑛 factorial. 𝑎 𝑛 más uno es menos uno a la 𝑛 más uno por 𝑥 elevado a dos por 𝑛 más uno sobre dos por 𝑛 más uno factorial. Desarrollamos los paréntesis para facilitar el siguiente paso. Dos por 𝑛 más uno es dos 𝑛 más dos. Según el criterio d’Alembert, queremos determinar dónde el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto del cociente de estas expresiones es menor que uno.

Sabemos que, al dividir por una fracción, simplemente multiplicamos por el recíproco de esa fracción. Así que podemos decir que queremos hallar el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de menos uno a la 𝑛 más uno por 𝑥 elevado a dos 𝑛 más dos sobre dos 𝑛 más dos factorial por dos 𝑛 factorial sobre menos uno a la 𝑛 por 𝑥 elevado a dos 𝑛. Luego, recordamos que, al dividir dos potencias de bases iguales, simplemente restamos sus exponentes , o sea, que 𝑥 elevado a 𝑎 dividido por 𝑥 elevado a 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 menos 𝑏. Vamos a usar esto para simplificar menos uno a la 𝑛 más uno dividido por menos uno a la 𝑛. Es simplemente menos uno. Del mismo modo, podremos simplificar 𝑥 elevado a dos 𝑛 más dos dividido por 𝑥 elevado a dos 𝑛. Es 𝑥 al cuadrado.

¿Y qué hay de estos factoriales? Bueno, sabemos que dos 𝑛 más dos factorial es lo mismo que dos 𝑛 más dos por dos 𝑛 más uno por dos 𝑛 por dos 𝑛 menos uno y así sucesivamente. Alternativamente, eso es lo mismo que dos 𝑛 más dos por dos 𝑛 más uno por dos 𝑛 factorial. Y eso nos permite cancelar los factoriales de dos 𝑛. Cuando lo hacemos, nos quedan dos 𝑛 más dos por dos 𝑛 más uno en el denominador de nuestra fracción. Queremos que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ del valor absoluto de esta fracción sea menor que uno. Observamos que menos uno por 𝑥 al cuadrado es independiente de la variable del límite. Así que podemos sacar el valor absoluto de menos 𝑥 al cuadrado fuera del límite. Y tenemos el valor absoluto de menos 𝑥 al cuadrado por el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno sobre dos 𝑛 más dos por dos 𝑛 más uno.

Hecho esto, estamos listos para evaluar este límite. Cuando 𝑛 crece, uno sobre dos 𝑛 más dos por dos 𝑛 más uno tiende a cero. Y, de hecho, estamos buscando los valores de 𝑥 para los que el valor absoluto de menos 𝑥 al cuadrado por cero es menor que uno. Cuando multiplicamos el valor absoluto de menos 𝑥 al cuadrado por cero, siempre obtenemos cero. Y esto significa que nuestra serie Maclaurin converge para todos los valores de 𝑥. Y, por lo tanto, podemos decir que 𝑅 es igual a ∞ o más ∞.

En este video, hemos aprendido que la serie de Maclaurin es un caso especial, en la que 𝑎 es igual a cero, de la serie de Taylor. Está dada por la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 evaluada en cero sobre 𝑛 factorial por 𝑥 a la 𝑛. Y finalmente, hemos visto que, si una serie converge en el intervalo abierto menos 𝑅 a 𝑅, su radio de convergencia es el número denotado por 𝑅. Y que podemos usar el criterio d’Alembert para hallar este valor.

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