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Vídeo de la lección: Descomposición en fracciones simples: factores lineales repetidos Matemáticas • Duodécimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo descomponer una expresión racional en fracciones simples cuando el denominador tiene factores lineales repetidos.

17:29

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo descomponer una fracción algebraica en fracciones simples (fracciones parciales) cuando el denominador tiene factores lineales repetidos. Para comenzar vamos a recordar que una fracción algebraica con dos o más factores lineales distintos en su denominador, y donde el polinomio del denominador es de mayor grado que el polinomio del numerador, puede descomponerse en una suma de dos o más fracciones con denominadores lineales. Básicamente, lo que hacemos primero es aplicar el proceso contrario a sumar fracciones algebraicas, luego recomponemos la fracción, y finalmente hallamos las incógnitas usando el método de las sustituciones simplificadoras o el método de igualación de coeficientes.

El método de descomposición en fracciones simples es usado en cálculo integral y en desarrollos binomiales. Y es un método muy importante, que debemos conocer. Ocurre además que podemos también usar el método de descomposición en fracciones parciales cuando hay factores lineales repetidos en el denominador, como en el caso de dos 𝑥 más uno partido entre 𝑥 menos tres multiplicado por 𝑥 más uno al cubo, aunque para ello hay que hacer algunos cambios. Cuando operamos con un factor lineal repetido, que en este caso es 𝑥 más uno, pues está elevado al cubo, seguimos los mismos pasos que cuando operamos con un factor lineal distinto o no repetido. No obstante, en este caso, si 𝑘 es el exponente del factor lineal repetido en el denominador, hemos de escribir 𝑘 expresiones racionales, cada una de las cuales tiene como denominador ese factor lineal elevado a exponentes crecientes.

Lo que no cambia es que, si los factores son lineales, todos los numeradores siguen siendo constantes. Así que para nuestro factor distinto, 𝑥 menos tres, escribimos 𝐴 partido entre 𝑥 menos tres. Y para nuestro factor repetido, como el exponente es tres, tenemos que poner tres fracciones algebraicas. Sus denominadores son 𝑥 más uno en potencias crecientes. Tenemos, pues, 𝐵 partido entre 𝑥 más uno, 𝐶 partido entre 𝑥 más uno al cuadrado y 𝐷 partido entre 𝑥 más uno al cubo. Veamos un ejemplo sobre esto.

Halla 𝐴 y 𝐵 de modo que dos 𝑥 partido entre 𝑥 menos tres al cuadrado sea igual a 𝐴 partido entre 𝑥 menos tres más 𝐵 partido entre 𝑥 menos tres al cuadrado.

Lo que en definitiva nos pide el enunciado que hagamos es escribir la expresión dos 𝑥 partido entre 𝑥 menos tres al cuadrado en forma de fracciones simples. Nuestra expresión racional tiene un factor lineal repetido en el denominador. El factor lineal repetido es 𝑥 menos tres. Sabemos que está repetido porque está elevado al cuadrado. En este caso, el proceso para descomponer en fracciones simples es el siguiente. Comenzamos comprobando que el grado del polinomio del denominador es mayor que el grado del polinomio del numerador. Si no lo es, tendremos que efectuar la división de polinomios antes de empezar a descomponer el resto en fracciones simples.

Si desarrollamos el paréntesis en el denominador, veremos que tenemos una expresión cuadrática. Su máximo exponente es dos. Así que el grado del polinomio del denominador es dos. Tenemos una expresión lineal en el numerador. Su orden es uno. El grado del polinomio en el denominador es, por lo tanto, mayor que el del numerador. Así que pasamos al paso dos. El segundo paso consiste en factorizar el denominador, de ser necesario. 𝑥 menos tres al cuadrado ya está en forma factorizada, así que podemos seguir adelante. Seguidamente operamos con los factores lineales no repetidos siguiendo el procedimiento habitual. Pero vemos que el denominador no tiene factores distintos, por lo que seguimos adelante.

Ahora es cuando el método difiere del que usamos cuando solo hay factores no repetidos. Hemos dicho que, cuando hay factores, si 𝑘 es el exponente del factor repetido en el denominador, hemos de escribir 𝑘 expresiones racionales. Cada una de las cuales tiene ese factor elevado a potencias crecientes en su denominador. Fíjate en que no necesitamos usar potencias crecientes. Podríamos, en su lugar, usar potencias decrecientes. No obstante, si siempre usamos potencias crecientes en los denominadores, nos aseguraremos de no dejarnos ninguna de las fracciones. Recuerda que el factor repetido es 𝑥 menos tres, y está elevado al cuadrado. Así que 𝑘 vale dos. Y esto significa que habrá dos fracciones algebraicas cuando descompongamos en fracciones parciales.

El denominador será 𝑥 menos tres en potencias crecientes. Bien, ya lo tenemos. Tenemos 𝑥 menos tres, que es en realidad 𝑥 menos tres elevado a uno. Y tenemos 𝑥 menos tres al cuadrado. Y el numerador de cada una de estas fracciones ha de ser una constante. Y esto se debe a que el denominador es un factor lineal. Así que ya hemos completado el cuarto paso. ¿Cuál es el último paso? Recomponemos las fracciones algebraicas. Esto quiere decir que sumamos estas dos fracciones creando un denominador común. Y ese denominador debe coincidir con el denominador de la fracción original. Una vez hecho esto, podemos calcular las constantes usando el método de las sustituciones simplificadoras o el método de igualación de coeficientes.

Veamos cómo sería el quinto paso. Tenemos que dos 𝑥 partido entre 𝑥 menos tres al cuadrado es igual a una constante 𝐴 partido entre 𝑥 menos tres más una constante 𝐵 partido entre 𝑥 menos tres al cuadrado. Esto a veces se escribe como una relación de equivalencia, con un símbolo de identidad. Esto sirve para señalar que esta expresión es verdadera para todos los valores de 𝑥. No obstante, en este problema vamos a limitarnos a tener en cuenta este hecho pero vamos a mantener el signo igual. Recuerda que queremos sumar las fracciones 𝐴 partido entre 𝑥 menos tres más 𝐵 partido entre 𝑥 menos tres al cuadrado. Y lo hacemos creando un denominador común. Pero este denominador común siempre debe ser igual al denominador del lado izquierdo. Fíjate en que el denominador de la segunda fracción, 𝐵 partido entre 𝑥 menos tres al cuadrado, ya está en la forma que necesitamos. Así que solo vamos a tener que cambiar la primera fracción, 𝐴 partido entre 𝑥 menos tres.

Para obtener un denominador de 𝑥 menos tres al cuadrado, tenemos que multiplicar el denominador de esta fracción por 𝑥 menos tres. Y recuerda que lo que hagamos en la parte de abajo también tenemos que hacerlo en la de arriba. Así que tenemos que multiplicar tanto el numerador como el denominador por 𝑥 menos tres. De esta forma la primera fracción se convierte en 𝐴 por 𝑥 menos tres partido entre 𝑥 menos tres al cuadrado. Como ves, ahora los denominadores de las dos fracciones son iguales. Así que ya podemos sumar los numeradores. Y obtenemos 𝐴 por 𝑥 menos tres más 𝐵 todo partido entre 𝑥 menos tres al cuadrado. Y esto sigue siendo igual a la fracción dos 𝑥 partido entre 𝑥 menos tres al cuadrado. Y, por supuesto, los denominadores de las fracciones son iguales.

Así que, para que las dos expresiones racionales sean iguales, sus numeradores deben ser iguales. Es decir, dos 𝑥 debe ser igual a 𝐴 por 𝑥 menos tres más 𝐵 para todos los valores de 𝑥. Hay dos formas de calcular las constantes. La primera de ellas es usando el método de las sustituciones simplificadoras. Veamos cómo sería esto. Se trata de elegir valores de 𝑥 que coincidan con las raíces del denominador. Así que la raíz de la ecuación 𝑥 menos tres al cuadrado igual a cero es 𝑥 igual a tres. Sustituimos. Hacemos, pues, 𝑥 igual a tres, y el lado izquierdo de la ecuación se convierte en dos por tres. Y en el lado derecho tenemos 𝐴 por tres menos tres más 𝐵.

Tres menos tres es cero. Observa que, al hacer 𝑥 igual a tres, hemos obtenido una ecuación donde el coeficiente de 𝐴 es cero. Así que tenemos una ecuación puramente en 𝐵. Es decir, 𝐵 es igual a seis. Y, como hemos dicho antes, nuestra igualdad es verdadera para todos los valores de 𝑥. Así que vamos a sustituir 𝐵 igual a seis en la ecuación original. Obtenemos que dos 𝑥 es igual a 𝐴 multiplicado por 𝑥 menos tres más seis. Ahora vamos a elegir cualquier valor de 𝑥 y sustituirlo. Vamos a elegir uno fácil, por ejemplo 𝑥 igual a cero. Lo hacemos y obtenemos que dos por cero es igual a 𝐴 por cero menos tres más seis. Simplificamos y la ecuación se convierte en cero igual a menos tres 𝐴 más seis. Seguidamente despejamos 𝐴 sumando tres 𝐴 a ambos lados y dividiendo por tres. De esta forma hemos hallado que 𝐴 es igual a dos.

Hemos hallado que 𝐵 vale seis y que 𝐴 vale dos. Veamos rápidamente la otra forma que tenemos de calcular estos valores. Volvamos a la ecuación inicial. Distribuimos los paréntesis en el lado derecho. Y obtenemos 𝐴𝑥 menos tres 𝐴 más 𝐵. Este método es la igualación de coeficientes. Comparamos los coeficientes de las diferentes potencias de 𝑥. Comencemos comparando los coeficientes de 𝑥 elevado a uno, o sencillamente 𝑥, en ambos lados. En el lado izquierdo, vemos que el coeficiente de 𝑥 es dos. En el lado derecho, vemos que el coeficiente de 𝑥 es 𝐴. De este modo obtenemos una ecuación. Es 𝐴 igual a dos.

Ahora vamos a comparar los coeficientes de 𝑥 elevado a cero, es decir, los valores constantes. En el lado izquierdo, no hay constantes. Así que el coeficiente de 𝑥 elevado a cero es cero. En el lado derecho, los coeficientes de 𝑥 elevado a cero, las constantes, son menos tres 𝐴 más 𝐵. Pero acabamos de obtener que 𝐴 vale dos. Así que tenemos que cero es igual a menos tres por dos más 𝐵. Es decir, cero es igual a menos seis más 𝐵. Ahora despejamos 𝐵 sumando seis a ambos lados. Y, una vez más, hallamos que 𝐴 es igual a dos y que 𝐵 es igual a seis.

Como puedes ver, los dos métodos funcionan muy bien. En un caso sencillo como este, la igualación de coeficientes puede ser una opción fácil y práctica. Pero con fracciones algebraicas más complicadas el método requiere resolver un par de ecuaciones simultáneas, tres ecuaciones simultáneas con tres incógnitas, o sistemas más complejos incluso. En ese caso, lo mejor es aplicar el método de las sustituciones simplificadoras o una mezcla de los dos.

Veamos ahora un ejemplo en el que hay más de dos factores.

Determina la descomposición en fracciones simples de 𝑥 al cuadrado más 𝑥 más uno partido entre 𝑥 por 𝑥 menos tres multiplicado por 𝑥 más uno al cuadrado.

En esta cuestión se nos pide que determinemos la descomposición en fracciones simples de una fracción que tiene un factor lineal repetido en su denominador. Ese factor repetido es 𝑥 menos uno. Y sabemos que está repetido porque está elevado al cuadrado. El procedimiento que vamos a seguir para realizar la descomposición en fracciones simples en este caso es el siguiente. El primer paso es comprobar que el grado del polinomio en el denominador es mayor que el del numerador. El grado del polinomio en nuestro denominador es cuatro, pues si desarrolláramos los paréntesis obtendríamos que el máximo exponente de 𝑥 es cuatro. El orden del numerador es dos. Así que, en efecto, el orden o el grado del denominador es mayor que el del numerador.

Como ya hemos visto, si este no fuera el caso, tendríamos que efectuar una división de polinomios antes de descomponer el resto en fracciones simples. A continuación, hemos de factorizar el denominador, de ser necesario. Como ves, ya está en forma factorizada, así que podemos continuar. Seguidamente consideramos los factores no repetidos. Y seguimos el procedimiento habitual. Lo que hacemos es, básicamente, la operación contraria de sumar fracciones algebraicas. Los factores lineales no repetidos son 𝑥 y 𝑥 menos tres. Así que descomponemos la fracción en 𝐴 partido entre 𝑥 y 𝐵 partido entre 𝑥 menos tres. Recuerda que 𝐴 y 𝐵 son constantes. Y esto es porque el denominador es un polinomio de primer grado.

Seguidamente consideramos el factor repetido. Supongamos que 𝑘 es el exponente del factor repetido. Tenemos que escribir 𝑘 expresiones racionales, las cuales han de tener como denominador ese factor lineal elevado a potencias crecientes. El factor repetido es 𝑥 más uno, y está elevado al cuadrado. O sea, 𝑘 vale dos. Así que tendremos 𝑘 expresiones racionales con 𝑥 más uno elevado a potencias crecientes. Eso es 𝐶 partido entre 𝑥 más uno más 𝐷 partido entre 𝑥 más uno al cuadrado. Y, como hemos dicho, puesto que estos son denominadores lineales, sus numeradores son constantes. Ahora que tenemos esto expresado en la forma correcta, vamos a dejar algo de espacio para realizar los últimos cálculos.

El último paso que tenemos que hacer es recomponer la fracción algebraica. Se trata, básicamente, de tomar nuestras fracciones del lado derecho y de sumarlas creando un denominador común. Y este denominador debe ser igual al denominador del lado izquierdo. Seguidamente calculamos las constantes. Realicemos ese primer paso pues. Sabemos que el denominador va a ser 𝑥 por 𝑥 menos tres por 𝑥 más uno al cuadrado. Entonces, ¿por qué expresión vamos a multiplicar cada una de nuestras fracciones? Para la primera fracción, vamos a multiplicar tanto el numerador como el denominador por 𝑥 menos tres por 𝑥 más uno al cuadrado. Y obtenemos 𝐴 multiplicado por 𝑥 menos tres multiplicado por 𝑥 más uno al cuadrado partido entre el denominador que se nos ha pedido.

Consideremos ahora la segunda fracción. Vamos a tener que multiplicar esto por 𝑥 por 𝑥 más uno al cuadrado para obtener ese denominador. Y obtenemos un numerador de 𝐵𝑥 multiplicado por 𝑥 más uno al cuadrado. Vamos a hacer lo mismo con las dos últimas fracciones. Vamos a multiplicar la tercera por 𝑥 por 𝑥 menos tres por 𝑥 más uno y la cuarta por 𝑥 multiplicado por 𝑥 menos tres. De esta forma los numeradores de nuestras dos últimas fracciones son 𝐶𝑥 por 𝑥 menos tres por 𝑥 más uno y 𝐷𝑥 por 𝑥 menos tres. Fíjate cómo ahora los denominadores de cada una de las fracciones son iguales. Así que ya podemos sumar los numeradores. Lo hacemos y obtenemos la siguiente expresión.

Ten en cuenta que esto ha de ser igual a la fracción original. En ocasiones podemos usar un símbolo de identidad para indicar que esto es cierto para todos los valores de 𝑥. Pero en este vídeo vamos seguir usando un signo igual, aunque esto es algo que viene muy bien tener en cuenta. La razón por la que hemos hecho esto es para obtener dos fracciones con el mismo denominador. Y las fracciones son iguales para todos los valores de 𝑥. Y esto significa que los numeradores también deben ser iguales. Es decir, 𝑥 al cuadrado más 𝑥 más uno debe ser igual a 𝐴 multiplicado por 𝑥 menos tres por 𝑥 más uno al cuadrado más 𝐵𝑥 multiplicado por 𝑥 más uno al cuadrado más 𝐶𝑥 multiplicado por 𝑥 menos tres por 𝑥 más uno más 𝐷𝑥 multiplicado por 𝑥 menos tres.

Ahora, para calcular las constantes, tenemos dos opciones. Podemos desarrollar los paréntesis e igualar los coeficientes. El problema es que, como tenemos cuatro incógnitas, vamos a obtener un conjunto de ecuaciones simultáneas demasiado grande y complejo. Así que en lugar de eso, vamos a hacer sustituciones simplificadoras. Se trata de hallar las raíces del denominador de nuestra fracción original, y sustituirlas en esta igualdad. Una de las raíces de la ecuación 𝑥 por 𝑥 menos tres por 𝑥 más uno al cuadrado igual a cero es 𝑥 igual a cero. Así que vamos a sustituir cero en esta ecuación. En el lado izquierdo, tenemos cero al cuadrado más cero más uno, que es uno. En el lado derecho, obtenemos 𝐴 por menos tres por uno al cuadrado. Y 𝐵 por 𝑥 por 𝑥 más uno al cuadrado se convierte en 𝐵 por cero, que es cero.

Análogamente, este término se convierte en cero y este término se convierte en cero. Así que, sustituyendo 𝑥 igual a cero en esta ecuación, hemos eliminado los términos con las variables 𝐵, 𝐶 y 𝐷 y hemos obtenido una ecuación puramente en 𝐴. Esta ecuación se simplifica a uno igual a menos tres 𝐴. Despejamos 𝐴 dividiendo entre tres, y obtenemos que 𝐴 es igual a menos un tercio. Vamos a repetir este proceso con una raíz diferente. Otra raíz es 𝑥 igual a tres, así que vamos a sustituirla. En el lado izquierdo, hacemos 𝑥 igual a tres y obtenemos 13. Luego, en el lado derecho, este término, este término y este término contienen 𝑥 menos tres. Y, por supuesto, tres menos tres es cero, así que desaparecen. Y nuestra ecuación se convierte en 13 igual a 𝐵 por tres por cuatro al cuadrado o 13 igual a 48𝐵. Resolvemos para 𝐵 y obtenemos 13 partido entre 48.

Hay una raíz más que podemos sustituir, 𝑥 igual a menos uno. Esta vez, al hacer 𝑥 igual a menos uno se eliminan este término, este término y este término. Y la ecuación se convierte en uno igual a 𝐷 multiplicado por menos uno por menos cuatro o uno igual a cuatro 𝐷. Así que hemos hallado que 𝐷 es igual a un cuarto. Pero, ¿cómo calculamos el valor de 𝐶? Bueno, podemos aplicar el método de igualación de coeficientes. Supongamos que distribuimos los paréntesis a la izquierda y a la derecha. ¿Cuáles serían los coeficientes de 𝑥 al cubo? Bueno, en el lado derecho, no hay términos de 𝑥 al cubo, así que es cero. Si distribuimos los paréntesis en el lado derecho, obtendremos 𝐴 veces 𝑥 al cubo más 𝐵 veces 𝑥 al cubo más 𝐶 veces 𝑥 al cubo. Así que podemos decir que cero debe ser igual a 𝐴 más 𝐵 más 𝐶.

Hemos hallado que 𝐴 es igual a menos un tercio y que 𝐵 es igual a 13 partido entre 48. Resolviendo esta ecuación para 𝐶, hallamos que es igual a tres partido entre 48 o un dieciseisavo. Lo único que nos queda ahora es sustituir los valores de 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷. Empezamos por la expresión con el denominador de mayor grado. Es este último término que contiene 𝐷. Es un cuarto partido entre 𝑥 más uno al cuadrado, que es uno partido entre cuatro por 𝑥 más uno al cuadrado. Ahora, al introducir el valor de 𝐶, obtenemos un dieciseisavo partido entre 𝑥 más uno, que es uno partido entre 16 por 𝑥 más uno. Seguidamente, 𝐴 partido entre 𝑥 se convierte en menos un tercio partido por 𝑥, que es menos uno partido entre tres 𝑥. Y por último, tenemos 13 entre 48 partido por 𝑥 menos tres, que podemos expresar así. De esta forma hemos determinado la descomposición en fracciones simples de nuestra fracción algebraica.

En este vídeo hemos aprendido que el método que utilizamos para realizar la descomposición en fracciones simples de una fracción algebraica con factores lineales repetidos en el denominador es muy parecido al que empleamos cuando no hay factores lineales repetidos. Sin embargo, una vez que hemos operado con los factores no repetidos, entonces, si 𝑘 es el exponente del factor repetido, escribimos 𝑘 expresiones racionales, cada una de las cuales tiene como denominador el factor repetido elevado a potencias crecientes. Seguidamente, recomponemos la fracción y usamos el método de las sustituciones simplificadoras o el método de igualación de coeficientes para calcular el valor de las constantes.

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