Vídeo: El plano complejo y los diagramas de Argand

En esta lección vamos a aprender cómo identificar números complejos representados en un diagrama de Argand en el plano complejo y vamos a descubrir sus propiedades geométricas.

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Transcripción del vídeo

En este video vamos a aprender cómo identificar números complejos representados en diagramas de Argand en el plano complejo. Vamos a comenzar por aprender qué es el plano complejo y cómo representar números complejos en él. Vamos también a aprender la interpretación geométrica de la suma de números complejos y la multiplicación por números reales y por números imaginarios. Finalmente, vamos a explorar las propiedades geométricas de las llamadas raíces de la unidad.

Cuando comenzamos a aprender sobre números, aprendimos que podemos representarlos en una recta numérica. Generalmente esto resulta muy útil porque nos permite calcular sumas y restas mentalmente, y además nos proporciona un contexto visual para los números negativos. Pero cuando introducimos el concepto de números imaginarios, hemos de añadir una segunda dimensión pues necesitamos considerar los números complejos como puntos en un plano. Así como una recta numérica nos permite obtener información sobre el conjunto de los números reales, considerar los números complejos como puntos en un plano nos ayuda a obtener información sobre sus propiedades.

Llamamos a esta representación plano complejo o plano de Argand. Ideado por el matemático suizo Jean Robert Argand a principios del siglo XIX, consiste en un eje real, que es el eje horizontal, y un eje imaginario, que es el eje vertical. Lo que significa que podemos representar un número complejo de la forma 𝑥 más 𝑦𝑖, en donde 𝑥 y 𝑦 son números reales, como el punto cuyas coordenadas cartesianas son 𝑥, 𝑦. Veamos un ejemplo donde se usan estos conceptos.

Sabiendo que el número 𝑍 igual a ocho más 𝑖 está representado en un diagrama de Argand por el punto 𝐴, determina las coordenadas cartesianas de ese punto.

Para responder esta pregunta, podríamos lanzarnos hacia delante, situar el número complejo 𝑍 en el plano complejo y después leer la información a partir de ahí. Pero es una forma demasiado complicada de responder. En vez de eso, recordamos la definición de plano complejo. Sabemos que un número complejo de la forma 𝑥 más 𝑦𝑖 puede ser representado por un punto cuyas coordenadas cartesianas son 𝑥, 𝑦. La parte real es la coordenada 𝑥. Y la parte imaginaria es la coordenada 𝑦.

La parte real de nuestro número complejo es ocho. Y podemos reconocer la parte imaginaria como el coeficiente de 𝑖. En nuestro caso, la parte imaginaria de 𝑍 es uno. Esto significa que las coordenadas cartesianas del punto que representa el número complejo 𝑍 en el plano de Argand son ocho, uno. ¿Y qué podemos decir de los pares complejos conjugados? ¿Cuál es su representación en un diagrama de Argand?

Fijémonos en el punto que representa el número complejo ocho más 𝑖 en el diagrama de Argand. Hemos visto que se trata de un punto cuyas coordenadas cartesianas son ocho, uno. Podemos hallar el complejo conjugado de 𝑍 cambiando el signo de la parte imaginaria. Así que el conjugado de ocho más 𝑖 es ocho menos 𝑖. Por lo tanto, representamos el conjugado de 𝑍 en nuestro diagrama de Argand por el punto cuyas coordenadas cartesianas son ocho, menos uno. Podemos ver que el punto es el simétrico con respecto al eje real. Y, de hecho, esto es aplicable a todos los números complejos y sus conjugados.

Y así como podemos interpretar pares conjugados en un diagrama de Argand, podemos usar el plano para interpretar la suma de dos números complejos. Sabemos que para sumar dos números complejos, sumamos sus partes reales y, separadamente, sus partes imaginarias. La suma de 𝑎 más 𝑏𝑖 y 𝑐 más 𝑑𝑖 es 𝑎 más 𝑐 más 𝑏 más 𝑑 𝑖. Vamos a situar 𝑍 uno en el punto cuyas coordenadas cartesianas son 𝑎, 𝑏. 𝑍 dos tiene coordenadas cartesianas 𝑐, 𝑑. Se deduce que su suma tiene coordenadas cartesianas 𝑎 más 𝑐, 𝑏 más 𝑑.

Es posible que te hayas dado cuenta del tipo de relación que hay aquí. De hecho, podemos equiparar los números complejos trazados en el plano de Argand a vectores. Y así, podemos pensar en la suma de números complejos como una suma de vectores. Por lo tanto, podemos pensar en 𝑍 uno más 𝑍 dos como el resultado de sumar dos vectores 𝑍 uno y 𝑍 dos. Y esto puede ser representado como un paralelogramo, como se muestra.

Así como podemos representar la suma de números complejos en un plano de Argand equiparándolos a vectores, lo mismo se puede decir de la multiplicación por un número real. Por ejemplo, si queremos multiplicar el número complejo tres más cuatro 𝑖 por el número real dos. Representamos el número complejo como el punto tres, cuatro en un diagrama de Argand como se muestra. Multiplicar un vector por dos implica multiplicar las componentes horizontal y vertical por dos. En este caso, por lo tanto, representamos dos multiplicado por el vector tres más cuatro 𝑖 como el punto seis, ocho. Y obtenemos que dos por 𝑍 es igual a seis más ocho 𝑖.

Asemejar números complejos en el plano de Argand a vectores nos permite interpretar la multiplicación por un número real 𝑐 como una homotecia con razón 𝑐 y centro el origen. Esto se extiende incluso a la idea de multiplicar por un número negativo. Esta transformación puede ser interpretada como una rotación de 𝜋 radianes alrededor del origen, seguida por una homotecia con razón el módulo de 𝑐. Pero ¿cómo representamos la multiplicación de un número complejo por un número imaginario puro en el plano de Argand?

Cuatro números complejos 𝑍 uno, 𝑍 dos, 𝑍 tres y 𝑍 cuatro se muestran en un diagrama de Argand. Parte 1) Halla la imagen de los puntos 𝑍 uno, 𝑍 dos, 𝑍 tres y 𝑍 cuatro bajo una transformación que lleva 𝑍 a 𝑖𝑍. Parte 2) Fijándote en estos puntos en un diagrama de Argand, ofrece una interpretación geométrica de la transformación.

Estamos tratando de determinar la transformación que lleva 𝑍 a 𝑖𝑍. Para hacer esto, necesitamos hallar primero los números complejos 𝑍 uno, 𝑍 dos, 𝑍 tres y 𝑍 cuatro. Recordemos que el eje horizontal representa la parte real de un número complejo. Y el eje vertical representa la parte imaginaria. 𝑍 uno tiene las coordenadas cartesianas tres, cero. En forma de número complejo, es tres más cero 𝑖, que es simplemente tres. 𝑍 dos es dos más tres 𝑖. 𝑍 tres es menos dos menos uno 𝑖. 𝑍 cuatro tiene las coordenadas cartesianas cero, menos uno. Y como un número complejo, es menos 𝑖.

A continuación, vamos a multiplicar cada uno de estos números por 𝑖, recordando por supuesto que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Lo que significa que 𝑖𝑍 uno es tres 𝑖. 𝑍 dos es dos 𝑖 más tres 𝑖 al cuadrado. Y como 𝑖 al cuadrado es menos uno, es menos tres más dos 𝑖. Y de la misma forma, 𝑖𝑍 tres es uno menos dos 𝑖. E 𝑖𝑍 cuatro es uno. Ahora necesitamos situar estos puntos en el diagrama de Argand.

Podemos ver que 𝑖𝑍 uno tiene las coordenadas cartesianas cero, tres. Aquí. 𝑖𝑍 dos tiene las coordenadas cartesianas menos tres, dos. Aquí. 𝑖𝑍 tres está aquí. Y 𝑖𝑍 cuatro está aquí. Podemos ver que 𝑍 uno se ha movido un cuarto de vuelta. 𝑍 dos se ha movido un cuarto de vuelta, al igual que 𝑍 tres y 𝑍 cuatro. Y podemos ver que la transformación que lleva 𝑍 a 𝑖𝑍 es una rotación alrededor del origen en sentido antihorario de ángulo 𝜋 partido por dos radianes.

Deducimos que, si multiplicar un número complejo por 𝑖 equivale a una rotación, multiplicar un número complejo por un múltiplo real de 𝑖 será equivalente a un giro seguido de una homotecia, como vimos anteriormente. Y aunque no estamos listos todavía para abordar la multiplicación de dos números complejos usando un diagrama de Argand, sí podemos explorar la interpretación geométrica de las llamadas raíces de la unidad.

1) Halla todas las soluciones de 𝑍 a la sexta igual a uno. 2) Sitúa las soluciones en un diagrama de Argand y, consecuentemente, describe las propiedades geométricas de las soluciones de 𝑍 a la sexta igual a uno.

Podríamos resolver esta ecuación hallando la raíz sexta de ambos lados. Sin embargo, sabemos que habrá seis soluciones de esta ecuación. Así que necesitamos aplicar un método alternativo. Para ello, reorganizamos restando uno de ambos lados. Y vemos que 𝑍 a la sexta menos uno es igual a cero. Esto es, por lo tanto, un caso especial de la diferencia de dos cuadrados, lo que significa que podemos escribir la expresión al lado izquierdo como 𝑍 al cubo menos uno multiplicado por 𝑍 al cubo más uno. Y tenemos dos números cuyo producto es cero. Este es el caso solo s𝑖 uno u el otro de los factores es igual a cero.

Comencemos diciendo que 𝑍 al cubo menos uno es igual a cero. Podemos observar que una de las soluciones a esta ecuación es uno ya que uno al cubo menos uno es cero. Esto significa que 𝑍 menos uno debe ser un factor de 𝑍 al cubo menos uno. Podemos llevar a cabo una división polinómica para hallar el otro factor. O podemos decir que esto significa que 𝑍 al cubo menos uno es igual a 𝑍 menos uno multiplicado por una expresión cuadrática. Y seguidamente podemos igualar los coeficientes de 𝑍. Desarrollando los paréntesis, vemos que 𝑎𝑍 al cubo más 𝑏 menos 𝑎 𝑍 al cuadrado más 𝑐 menos 𝑏 𝑍 menos 𝑐 ha de ser igual a 𝑍 al cubo menos uno.

Igualando los coeficientes de 𝑍 al cubo, vemos que 𝑎 es igual a uno. Y esto se debe a que el coeficiente de 𝑍 al cubo en el lado derecho es uno. El coeficiente de 𝑍 al cuadrado es cero. Vemos que cuando igualamos los coeficientes de 𝑍 al cuadrado, obtenemos 𝑏 menos 𝑎 igual a cero. 𝑎 es por supuesto uno. Por tanto, 𝑏 menos uno es cero, lo que quiere decir que 𝑏 debe ser igual a uno. Vamos a saltarnos la parte de igualar los coeficientes de 𝑍 elevado a uno y vamos a ir directamente a las constantes, es decir, igualamos los coeficientes de 𝑍 a la potencia cero.

Vemos que menos 𝑐 es igual a menos uno, lo que quiere decir que 𝑐 es igual a uno. Y esto quiere decir que 𝑍 al cubo menos uno es igual a 𝑍 menos uno multiplicado por 𝑍 al cuadrado más 𝑍 más uno. Y ahora resolvemos 𝑍 al cuadrado más 𝑍 más uno igual a cero usando la fórmula cuadrática o completando el cuadrado.

Si usamos la fórmula cuadrática, vemos que 𝑍 es igual a menos uno más o menos la raíz cuadrada de uno al cuadrado menos cuatro por uno por uno, todo sobre dos por uno. Esto es menos uno más o menos la raíz cuadrada de menos tres sobre dos. Vamos a descomponer esto y escribirlo como menos un medio más o menos la raíz cuadrada de menos tres sobre dos. Y como la raíz cuadrada de menos uno es 𝑖, nuestras soluciones para 𝑍 se convierten en menos un medio más o menos raíz cuadrada de tres sobre dos 𝑖.

Vamos a repetir este proceso para 𝑍 al cubo más uno igual a cero. Esta vez, podemos ver que una de las soluciones de esta ecuación es 𝑍 igual a menos uno. Y esto se debe a que uno al cubo más uno es igual a cero. Esto significa que 𝑍 más uno debe ser un factor de 𝑍 al cubo más uno. Y podemos escribir 𝑍 al cubo más uno como 𝑍 más uno multiplicado por una expresión cuadrática en 𝑍.

Desarrollamos los paréntesis, y vemos que 𝑎𝑍 al cubo más 𝑎 más 𝑏 𝑍 al cuadrado más 𝑏 más 𝑐 𝑍 más 𝑐 es igual a 𝑍 al cubo más uno. Y, en esta ocasión, cuando igualamos los coeficientes, obtenemos que 𝑎 es igual a uno. 𝑏 es igual a menos uno. Y 𝑐 es igual a uno. Así que 𝑍 al cubo más uno es igual a 𝑍 más uno multiplicado por 𝑍 al cuadrado menos 𝑍 más uno. Y ahora resolvemos 𝑍 al cuadrado menos 𝑍 más uno igual a cero, una vez más usando la fórmula cuadrática o posiblemente completando el cuadrado. Y al hacerlo, vemos que 𝑍 es igual a un medio más o menos raíz cuadrada de tres sobre dos 𝑖.

Y ahora tenemos las seis soluciones de la ecuación 𝑍 a la sexta igual a uno que estábamos buscando. Y si queremos, podemos verificar estas soluciones reemplazándolas en la ecuación 𝑍 a la sexta igual a uno y comprobando que nuestra respuesta tiene sentido.

Para la parte 2), vamos a situar los puntos en un diagrama de Argand. 𝑍 igual a uno y 𝑍 igual a menos uno son bastante sencillos. Tenemos el punto un medio, raíz de tres sobre dos, representando la solución un medio más raíz de tres sobre dos 𝑖. Y tenemos menos un medio, raíz de tres sobre dos, representando la solución menos un medio más raíz de tres sobre dos 𝑖. Podemos trazar las otras dos soluciones como se muestra. ¿Y qué hay de las propiedades geométricas? Bien, podemos ver que estos números complejos están dispuestos uniformemente alrededor del origen. De hecho, las soluciones están situadas en los vértices de un hexágono regular inscrito en la circunferencia unitaria centrada en el origen.

En este video, hemos visto que podemos representar en el plano de Argand un número complejo 𝑥 más 𝑦𝑖 como el punto cuyas coordenadas cartesianas son 𝑥, 𝑦. También hemos visto que las operaciones con números complejos admiten sencillas interpretaciones geométricas. La suma de números complejos se puede representar mediante una traslación con un vector 𝑎𝑏. Hemos visto que los pares complejos conjugados son simétricos con respecto al eje real. Además, hemos aprendido que la multiplicación por un número real es una homotecia con centro en el origen y cuyo factor de escala es ese número real. Y también que la multiplicación por 𝑖 es un giro en sentido antihorario de ángulo 𝜋 partido por dos radianes alrededor del origen.

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