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Vídeo de la lección: Las leyes de los logaritmos Matemáticas • Décimo grado

En este video, vamos a aprender cómo usar las leyes de los logaritmos para simplificar expresiones logarítmicas.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo usar las reglas de los logaritmos para simplificar expresiones logarítmicas. Vamos a comenzar recordando la definición de logaritmo y su relación con la exponenciación. Después, vamos a usar esta relación para presentar las leyes de los logaritmos, las cuales, a su vez, nos van a ayudar a simplificar expresiones logarítmicas.

Comencemos considerando una sencilla potencia de dos. Sabemos que dos a la quinta es 32. Otra forma de ver esto es pensar a qué exponente debemos elevar dos para obtener 32. Podemos escribir esto en forma logarítmica como log en base dos de 32 es igual a qué. Bien, ya hemos visto que es igual a cinco. Estas dos ecuaciones son dos formas equivalentes de expresar la misma relación.

Consideremos, en general, un número real positivo, 𝑏, que no es igual a la unidad y otros dos números positivos, 𝑥 y 𝑦. Decir que log en base 𝑏 de 𝑦 es igual a 𝑥 es equivalente a decir que 𝑏 elevado a 𝑥 es igual a 𝑦. En esta igualda, 𝑏 se llama base, 𝑥 se llama exponente y 𝑦 se llama argumento.

Estamos interesados en las propiedades de los logaritmos y en cómo éstas nos ayudan a simplificar expresiones algorítmicas. Y ya que un logaritmo es una forma equivalente de expresar la relación entre un número y una potencia, podemos hacer uso de los logaritmos para reescribir las leyes de las potencias. La primera ley de la potenciación que recordamos es que 𝑏 elevado a 𝑥 uno por 𝑏 elevado a 𝑥 dos es igual a 𝑏 elevado a 𝑥 uno más 𝑥 dos. En otras palabras, multiplicar dos potencias, siempre que tengan la misma base 𝑏, es equivalente a conservar la base y sumar los exponentes.

La regla equivalente de los logaritmos dice que log en base 𝑏 de 𝑥 uno por 𝑥 dos es igual a log en base 𝑏 de 𝑥 uno más log en base 𝑏 de 𝑥 dos. De igual manera, podemos expresar la regla de la división de potencias como una regla de los logaritmos. Y esta regla dice que log en base 𝑏 de 𝑥 uno sobre 𝑥 dos es lo mismo que log en base 𝑏 de 𝑥 uno menos log en base 𝑏 de 𝑥 dos.

Demostrar estas reglas no está dentro de los objetivos de este video. Pero continuando de esta manera, es posible demostrar una ley para el logaritmo de una potencia. La cual dice que log en base 𝑏 de 𝑥 elevado a 𝑝 es lo mismo que 𝑝 multiplicado por log en base 𝑏 de 𝑥. Y luego tenemos la fórmula de cambio de base. Y esta fórmula dice que log en base 𝑏 de 𝑥 uno sobre log en base 𝑏 de 𝑥 dos es igual a que log en base 𝑥 dos de 𝑥 uno. Antes de finalizar con estas reglas, debemos señalar otras dos leyes. Log en base 𝑏 de 𝑏 es uno y log en base 𝑏 de uno es cero. Lo que realmente nos interesa es ver cómo podemos aplicar estas leyes para simplificar y calcular logaritmos.

Calcula log en base dos de 192 menos log base dos de tres.

Comencemos recordando una ley adecuada de los logaritmos. Esta dice que, dada una base fija 𝑏 mayor que cero y no igual a uno y números positivos 𝑥 uno y 𝑥 dos, entonces, log en base 𝑏 de 𝑥 uno dividido por 𝑥 dos es igual a log en base 𝑏 de 𝑥 uno menos log en base 𝑏 de 𝑥 dos. Y, por supuesto, la igualdad es válida en ambos sentidos. Para restar logaritmos con la misma base, simplemente dividimos sus argumentos.

En nuestro caso, debemos hacer 𝑏 igual a dos, 𝑥 sub uno igual a 192 y 𝑥 sub dos igual a tres. Y obtenemos que log en base dos de 192 menos log en base dos de tres es igual a log en base dos de 192 dividido por tres. 192 dividido por tres es 64. Así que podemos escribir esto como log en base dos de 64. Lo hemos simplificado, pero aún necesitamos calcular este logaritmo. En otras palabras, tenemos que averiguar cuánto vale log en base dos de 64. Así que necesitamos recordar la definición de logaritmo.

En general, decir que log en base 𝑏 de 𝑦 es igual a 𝑥 es equivalente a decir que 𝑏 elevado a 𝑥 es igual a 𝑦. Así que estamos preguntándonos a qué exponente debemos elevar dos para obtener 64. Sabemos que dos elevado a seis es 64. Así que log en base dos de 64 es igual a seis. De modo que la respuesta aquí es seis.

Veamos otro ejemplo.

Halla log en base dos de 10 más log en base dos de 16 menos log en base dos de cinco sin usar una calculadora.

En primer lugar, vamos a recordar el orden de las operaciones. Este nos dice que cuando hay una suma y una resta en la misma operación, nos movemos de izquierda a derecha. Por tanto, vamos a comenzar hallando log en base dos de 10 más log base dos de 16. Después restaremos log en base dos de cinco. Recordemos algunas de las propiedades de los logaritmos.

La primera a veces se denomina ley del producto. Y dice que para una base fija 𝑏 que es mayor que cero y no es igual a uno y números positivos 𝑥 uno y 𝑥 dos, se tiene que log en base 𝑏 de 𝑥 uno por 𝑥 dos es log en base 𝑏 de 𝑥 uno más log en base 𝑏 de 𝑥 dos. Por supuesto, esta igualdad es válida en ambos sentidos. Podemos decir que, para sumar logaritmos con la misma base, multiplicamos el argumento.

De manera similar, con cocientes, log en base 𝑏 de 𝑥 uno dividido por 𝑥 dos es igual a log en base 𝑏 de 𝑥 uno menos log en base 𝑏 de 𝑥 dos. Así que log en base dos de 10 más log en base dos de 16 es igual a log en base dos de 10 por 16. A menudo intentaríamos calcular esto, pero todavía no vamos a hacerlo. En lugar de eso vamos a restar log en base dos de cinco. Y sabemos que esto significa que debemos dividir los argumentos. Así que obtenemos log en base dos de 10 por 16 dividido por cinco.

No hemos simplificado todavía, pero ahora vemos que podemos dividir tanto el numerador como el denominador de nuestra fracción por cinco, lo que nos da log en base dos de dos por 16 sobre uno, que es log en base dos de 32. Recuerda que queremos encontrar el valor de este logaritmo. Recordemos para ello la definición de logaritmo. Decir que log en base 𝑏 de 𝑦 es igual a 𝑥 es equivalente a decir que 𝑏 elevado a 𝑥 es igual a 𝑦. Aquí, nuestra base es dos. Básicamente, estamos preguntando qué potencia de dos es 32. Sabemos que dos a la quinta es 32, por lo que log en base dos de 32 es cinco. El valor de log en base dos de 10 más log en base dos de 16 menos log en base dos de cinco es cinco.

Veamos ahora un ejemplo que requiere hacer uso de la fórmula de cambio de base.

Halla log en base siete de 32 más log en base siete de ocho dividido por log en base siete de 10 menos log en base siete de cinco sin usar una calculadora.

Recordemos algunas de las leyes de los logaritmos. Sabemos que al sumar logaritmos cuya base es la misma, multiplicamos el argumento. Es decir, log en base 𝑏 de 𝑥 uno más log en base 𝑏 de 𝑥 dos es igual a log en base 𝑏 de 𝑥 uno por 𝑥 dos. Existe una regla parecida para restar, pero en ella dividimos los argumentos. Usemos, pues, estas reglas para simplificar el numerador y el denominador de nuestra fracción. Log en base siete de 32 más log en base siete de ocho es lo mismo que log en base siete de 32 por ocho, y 32 por ocho es 256. Así que nuestro numerador se convierte en log en base siete de 256. Nuestro denominador es log en base siete de 10 dividido por cinco, que es log en base siete de dos. Así que lo hemos simplificado bastante, y nuestra fracción se ha convertido en log en base siete de 256 dividido por log en base siete de dos.

Debemos tener cuidado en esta parte. Un error común es pensar que porque cuando dividimos los argumentos restamos los dos logaritmos, simplemente podemos restar estos valores. Recuerda, eso no es realmente lo que dicen nuestras leyes de logaritmos. Sí podemos, en cambio, aplicar la fórmula de cambio de base, que se llama así precisamente porque nos permite cambiar la base con la que estamos trabajando.

Para que esto funcione, necesitamos tener una fracción formada por dos logaritmos con la misma base. Log en base 𝑏 de 𝑥 uno dividido por log en base 𝑏 de 𝑥 dos es igual a log en base 𝑥 dos de 𝑥 uno. Comparando esta forma general con nuestra fracción, vemos que la base 𝑏 es siete. 𝑥 sub uno es el argumento del logaritmo en la parte superior de nuestra fracción, por lo que es 256. Y 𝑥 sub dos es el argumento del logaritmo en nuestro denominador, por lo que es dos. Así que podemos escribir log en base siete de 256 sobre log en base siete de dos como log en base dos de 256.

Pero todavía no hemos terminado. Lo hemos simplificado completamente, pero ahora debemos evaluarlo. Y recordemos la definición de logaritmo. Si decimos que log en base 𝑏 de 𝑦 es igual a 𝑥, esto quiere decir de manera equivalente que 𝑏 elevado a 𝑥 es igual a 𝑦. Y dado que nuestra base es dos, nos estamos preguntando, ¿qué potencia de dos nos da un valor de 256? Dos a la octava es 256. Y esto significa que log en base dos de 256 es igual a ocho. Por lo tanto, log en base siete de 32 más log en base siete de ocho, todo dividido por log en base siete de 10 menos log en base siete de cinco es igual a ocho.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo resolver una cuestión en la que la base no está dada explícitamente.

¿Cuál de los siguientes logaritmos es igual a cinco log de tres sobre log de cuatro más log de seis?

Esta expresión puede parecer un poco extraña porque nuestros logaritmos parecen no tener base. Pero si un logaritmo no tiene base, debemos suponer que la base es 10. Así que vamos a reescribir nuestra fracción como cinco log en base 10 de tres sobre log en base 10 de cuatro más log en base 10 de seis.

A continuación, vamos a recordar algunas reglas de los logaritmos. Primero, sabemos que log en base 𝑏 de 𝑥 uno más log en base 𝑏 de 𝑥 dos es igual a log en base 𝑏 de 𝑥 uno por 𝑥 dos. Siempre que nuestras bases sean las mismas, solo tenemos que multiplicar los argumentos. El denominador de nuestra fracción se convertirá en log en base 10 de cuatro por seis, que es log en base 10 de 24.

¿Y nuestro numerador? Log en base 𝑏 de 𝑥 elevado a 𝑝 para una constante real 𝑝 es lo mismo que 𝑝 multiplicado por log en base 𝑏 de 𝑥. Y, por supuesto, esta igualdad es válida en ambos sentidos. Por lo tanto, podemos escribir nuestro numerador como log en base 10 de tres a la quinta. Pero tres elevado a la quinta es 243. Así que tenemos log en base 10 de 243 sobre log en base 10 de 24.

Hemos obtenido, pues, una fracción con dos logaritmos con la misma base. Podemos, por lo tanto, usar la fórmula de cambio de base. La cual dice que log en base 𝑏 de 𝑥 uno dividido por log en base 𝑏 de 𝑥 dos se puede escribir como log en base 𝑥 dos de 𝑥 uno. Básicamente, si las bases son las mismas, hacemos del argumento de nuestro denominador la nueva base. Y el argumento de nuestro numerador se convierte en el nuevo argumento. En este caso, la nueva base de nuestro logaritmo es 24 y su nuevo argumento es 243. Así que podemos escribir nuestra fracción como log en base 24 de 243. Y la respuesta correcta es, por tanto, (C) .

En realidad, esto significa que no importa qué base tenían los logaritmos al principio. Debido a que se trataba de un cociente de dos logaritmos con la misma base, fuimos capaces de aplicar la fórmula de cambio de base. Podíamos haber elegido una base de dos o una base de tres. Pero ¡recuerda: si un logaritmo no tiene base, hay que suponer que se trata de un logaritmo decimal, que su base es 10.

Vamos a ver un último ejemplo de cómo podemos aplicar la fórmula de cambio de base.

Simplifica log en base tres de 16 por log en base dos de 243.

Tenemos que andarnos con muchísimo ojo aquí. Un error muy común es hacerse un lío con las leyes de los logaritmos y pensar que podemos sumar 16 y 243. Eso, por supuesto, no es lo que dice la ley del producto, la cual no es aplicable aquí de ninguna manera, y es que, para más inri, las bases son diferentes. En vez de eso, vamos a ver si nos sirve de algo la fórmula de cambio de base. Y esta fórmula dice que log en base 𝑏 de 𝑥 uno dividido por log en base 𝑏 de 𝑥 dos es igual a log en base 𝑥 dos de 𝑥 uno. Necesitamos una fracción con logaritmos en el numerador y el denominador. La base de estos logaritmos debe ser igual. Y de ser este el caso, podemos reescribirlo como un logaritmo con una nueva base que es el argumento de nuestro denominador.

Pero aquí lo que tenemos es el producto de dos logaritmos, así que vamos a reescribir nuestra fórmula. Vamos a multiplicar ambos lados de la ecuación por log en base 𝑏 de 𝑥 dos. Y después vamos a comparar esto con nuestra expresión. Fíjate en que, en este producto de logaritmos, la base del primer logaritmo es igual al argumento del segundo. Pero esto no funciona del todo. No tenemos el mismo valor para 𝑥 dos en nuestra expresión, pero podemos reescribir nuestro primer logaritmo. Sabemos que 16 es dos a la cuarta. Así que reescribimos log en base tres de 16 como log en base tres de dos a la cuarta. Después usamos nuestra regla del exponente y escribimos esto como cuatro por log en base tres de dos. Y nuestra expresión se convierte en cuatro log en base tres de dos por log en base dos de 243.

Como la multiplicación es conmutativa, se puede realizar en cualquier orden, y podemos agregar paréntesis. Y evaluar log en base tres de dos por log en base dos de 243 primero. Y vemos que 𝑥 dos es igual a dos. 𝑥 uno es 243 y 𝑏 es tres. Esto significa que podemos escribir log en base tres de dos por log en base dos de 243 como log en base tres de 243. Y nuestra expresión se convierte en cuatro por log en base tres de 243. De hecho, podemos evaluar log en base tres de 243. Recordando la definición de logaritmo, nos preguntamos ¿qué potencia de tres vale 243?

Sabemos que tres a la quinta es 243. Por lo tanto, log en base tres de 243 es cinco. Y nuestra expresión se simplifica muy bien a cuatro por cinco, que es igual a 20. Usando la fórmula de cambio de base hemos demostrado que log en base tres de 16 por log en base dos de 243 es igual a 20.

En este video, hemos aprendido que para una base fija 𝑏, que es mayor que cero y diferente de la unidad, y números positivos 𝑥 uno, 𝑥 dos y 𝑥, log en base 𝑏 de 𝑥 uno más log en base 𝑏 de 𝑥 dos es igual a log en base 𝑏 de 𝑥 uno por 𝑥 dos. De manera similar, log en base 𝑏 de 𝑥 uno menos log en base 𝑏 de 𝑥 dos es igual a log en base 𝑏 de 𝑥 uno dividido por 𝑥 dos. Y para una constante real 𝑝, log en base 𝑏 de 𝑥 elevado a 𝑝 es lo mismo que 𝑝 multiplicado por log en base 𝑏 de 𝑥. Hemos visto además que la fórmula de cambio de base nos dice que log en base 𝑏 de 𝑥 uno dividido por log en base 𝑏 de 𝑥 dos es igual a log en base 𝑥 dos de 𝑥 uno. Debemos recordar también que log en base 𝑏 de 𝑏 es igual a uno y que log en base 𝑏 de uno es igual a cero y que si una expresión logarítmica no tiene base, debemos suponer que su base es 10.

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