Vídeo: Evaluar expresiones algebraicas tras resolver ecuaciones exponenciales

Sabiendo que 8^𝑦 = 4^𝑧 = 64, halla el valor numérico de 𝑦 + 𝑧.

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Transcripción del vídeo

Sabiendo que ocho a la potencia de 𝑦 es igual a cuatro a la potencia de 𝑧 es igual a 64, halla el valor numérico de 𝑦 más 𝑧.

El primer paso para resolver este problema es hallar 𝑦. Así que lo que hemos hecho es escribir que ocho a la potencia de 𝑦 es igual a 64. Por lo tanto, podemos decir que 𝑦 es igual a dos. Deducimos esto porque sabemos que ocho al cuadrado es 64 o que ocho es en realidad la raíz cuadrada de 64.

Vale, muy bien. Ya hemos hallado la 𝑦. Continuemos y hallemos la 𝑧. Hay dos formas de hallar la 𝑧. Lo que vamos a hacer es utilizar un método ahora y luego utilizar el otro método para comprobar nuestra respuesta. En primer lugar, tenemos que ocho a la potencia de 𝑦 es igual a cuatro a la potencia de 𝑧.

Lo que vamos a hacer es cambiar esas dos relaciones para que tengan la misma base numérica, pues tenemos que ocho es igual a dos a la potencia de tres y que cuatro es igual a dos a la potencia de dos o dos al cuadrado. Por lo tanto, lo que en realidad tenemos es que dos a la potencia de tres a la potencia de 𝑦 es igual a dos al cuadrado o dos a la potencia de dos a la potencia de 𝑧.

Lo que vamos a hacer ahora es utilizar una de las propiedades de las potencias para poder seguir simplificando, pues tenemos que 𝑥 a la potencia de 𝑎 a la potencia de 𝑏 es igual a 𝑥 a la potencia de 𝑎𝑏. Así que multiplicamos los exponentes. Por lo tanto, tenemos que dos a la potencia de tres 𝑦 es igual a dos a la potencia de dos 𝑧. Y eso es porque multiplicamos tres por 𝑦 y dos por 𝑧.

Ahora, puesto que tenemos la misma base numérica en ambos lados de nuestra ecuación, podemos igualar los exponentes. Por lo tanto, tenemos que tres 𝑦 es igual a dos 𝑧. A estas alturas lo que podemos hacer es sustituir para 𝑦. Y sabemos que 𝑦 es igual a dos. Así que tendremos que tres multiplicado por dos es igual a dos 𝑧.

Por lo tanto, sabemos que 𝑧 es igual a tres. Y sabemos eso porque tenemos tres multiplicado por dos, así que dividimos cada lado entre dos. Entonces nos quedamos con tres. Como hemos dicho, podemos comprobarlo usando el otro método que podríamos haber usado para hallar 𝑧.

Y tenemos que cuatro a la potencia de 𝑧 es igual a 64. Por consiguiente, 𝑧 será igual a tres pues sabemos que cuatro a la potencia de tres es igual a 64 porque cuatro multiplicado por cuatro es 16, que, multiplicado por otro cuatro es 64.

Vale, muy bien. Ya hemos hallado 𝑦 y 𝑧. Y hemos comprobado 𝑧. Así que ahora nos vamos a la parte final del problema, hallar 𝑦 más 𝑧. Tenemos 𝑦 más 𝑧. Luego sustituimos nuestro valor de 𝑦 por dos y nuestro valor de 𝑧 por tres.

Así que tenemos dos más tres. Por lo tanto, podemos decir que, si ocho a la potencia de 𝑦 es igual a cuatro a la potencia de 𝑧 es igual a 64, entonces el valor de 𝑦 más 𝑧 es igual a cinco.

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