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En este vídeo vamos a aprender cómo describir una función y cómo identificar funciones representadas mediante diagramas de varios tipos, tablas o gráficas. Para comenzar, vamos a explicar lo que entendemos por relaciones y funciones.
Una relación es una propiedad que implica objetos de dos conjuntos. Si el objeto 𝑎 sub tres del primer conjunto satisface esta propiedad en relación con el objeto 𝑏 sub siete en el segundo conjunto, entonces esto puede representarse con un diagrama de relación. Dibujamos una flecha desde 𝑎 sub tres hasta 𝑏 sub siete. Veamos un ejemplo en un contexto del mundo real.
El siguiente diagrama representa la relación «hijo o hija de». El primer conjunto de nombres Emma, Chloe, Jennifer, Noah y Scarlett son los hijos e hijas. El segundo conjunto de nombres son las madres y los padres. Si nos fijamos en Emma, podemos ver que Emma es hija de Madison y Liam. Podemos, por lo tanto, deducir que Chloe y Emma son hermanas, ya que Madison y Liam son la madre y el padre de ambas niñas. Jennifer y Noah tienen la misma madre, Amelia, pero tienen diferentes padres. Antony es el padre de Jennifer y Daniel es el padre de Noah.
Veamos ahora qué queremos decir con función. Una función es un tipo especial de relación que conecta cada objeto del primer conjunto, denominado entrada, con exactamente un objeto del segundo conjunto, denominado salida. Cuando hablamos de funciones, los objetos suelen ser números. Consideremos un ejemplo de la vida real.
La relación «vive en» es una función, ya que cada persona del primer conjunto está asociada con una sola ciudad del segundo conjunto. Podemos ver en el diagrama que Hannah vive en Detroit, David vive en Nueva York, tanto Ethan como Victoria viven en Boston, y ninguna de las cuatro personas vive en Chicago. Esto es claramente una función, ya que cada elemento del primer conjunto está conectado exactamente con un objeto del otro conjunto. Solo sale una flecha de cada objeto.
Las relaciones también pueden representarse como un conjunto de pares ordenados. En este caso, tendríamos cuatro pares ordenados: Hannah con Detroit, David con Nueva York, Ethan con Boston y Victoria con Boston. El primer nombre en el par ordenado es el valor de entrada y el segundo nombre, la ciudad, en este caso, es el valor de salida. Para que nuestra relación sea una función, todo valor de entrada debe estar en un solo par.
Pasemos ahora a resolver algunas cuestiones de relaciones y funciones.
Determina si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: el diagrama que se muestra en la figura representa una función.
Tenemos dos conjuntos de valores. Los valores de la variable independiente 𝑥, o valores de entrada, son cuatro, cinco y ocho, y los valores de la variable dependiente 𝑦, o valores de salida, son dos, cinco, siete y nueve. El problema nos pide que determinemos si este diagrama representa una función. Recordemos que una función es una relación en la que todo objeto del primer conjunto se conecta con exactamente un objeto del segundo conjunto o salida. El número cuatro del primer conjunto solo se conecta al número siete del segundo conjunto. Asimismo, el número ocho del primer conjunto se conecta solo al número cinco del segundo conjunto.
Por ahora parece que cada objeto se conecta exactamente con un objeto en la salida. Pero si te fijas, hay un problema con el número cinco en la entrada, ya que se conecta tanto al dos como al nueve. Esto significa que el diagrama de la figura no representa una función y, por tanto, la respuesta es que la afirmación es falsa. El diagrama no representa una función, ya que cinco se conecta tanto a dos como a nueve.
En el siguiente problema se nos pedirá determinar cuál de los tres diagramas que se muestran representa una función.
¿Cuál de las siguientes relaciones representa una función? ¿Es (A) 𝑎 a uno y 𝑐 a tres; (B) 𝑎 a uno, 𝑏 a dos, 𝑐 a dos y 𝑐 a tres; o (C) 𝑎 a tres, 𝑏 a uno y 𝑐 a tres?
Para responder a esta pregunta, debemos recordar nuestra definición de función. Una función es una relación en la que todo objeto del primer conjunto, que se llama «dominio», está conectado a exactamente un objeto del segundo conjunto. Y este segundo conjunto se llama «codominio». Las palabras clave aquí son «exactamente uno». En la opción (A), la letra 𝑏 en el primer conjunto no está conectada a ningún número en el segundo conjunto. Esto significa que esta relación no representa una función.
En la opción (B), las letras 𝑎 y 𝑏 están conectadas exactamente a un objeto en el segundo conjunto; 𝑎 se conecta a uno y 𝑏 se conecta a dos. Sin embargo, la letra 𝑐 está relacionada con dos objetos del segundo conjunto; está conectada al número dos y al número tres. Esto significa que la relación (B) no representa una función.
En la opción (C), la letra 𝑎 solo se conecta con el número tres. La letra 𝑏 solo se conecta con el número uno. Por último, la letra 𝑐 solo está relacionada con el número tres. Cada objeto del primer conjunto, las letras 𝑎, 𝑏 y 𝑐, están conectados exactamente a un objeto del segundo conjunto. Esto significa que la respuesta correcta es la (C). Esta es la única relación que representa una función.
En la siguiente cuestión nos piden identificar una función a partir de una tabla.
¿Cuál de las siguientes tablas representa una función con variable independiente 𝑥 y variable dependiente 𝑦? Tanto la relación A como la relación B tienen cinco valores de 𝑥 o de entrada, y cinco valores 𝑦 o de salida correspondientes. Por ejemplo, en la relación A, la entrada 𝑥 igual a menos tres corresponde a una salida 𝑦 igual a seis. En la relación B, cuando 𝑥 es igual a menos dos, 𝑦 es igual a seis.
Para resolver esta cuestión, debemos recordar nuestra definición de función. Una función es una relación en la que cada valor de entrada tiene exactamente un valor de salida. Las palabras clave aquí son «exactamente un valor». En la relación A, tenemos cinco valores de entrada distintos: menos tres, cero, tres, ocho y menos 10. Cada uno de estos valores tiene asignado exactamente un valor de salida: los números seis, ocho, 20, cuatro y ocho, respectivamente. El hecho de que ocho aparezca dos veces como valor 𝑦 de salida no importa. El hecho clave de una función es que cada entrada, 𝑥, tiene exactamente un valor de salida, 𝑦. En la relación A, la entrada cero solo está conectada a ocho y la entrada menos 10 solo está conectada a ocho. Por lo tanto, podemos concluir que la relación A es una función.
Veamos ahora por qué la relación B no es una función. Al fijarnos en los valores de entrada de la relación B, nos damos cuenta de que el número menos dos aparece dos veces. El valor de entrada menos dos nos da un valor de salida de seis, pero también nos da un valor de salida de 20. Esto significa que no tiene exactamente un valor de salida. La relación B, por lo tanto, no es una función, lo que confirma que la respuesta correcta es la relación A.
En el siguiente problema vamos a trabajar con coordenadas, o sea, pares ordenados de números. Como puedes ver, está cuestión es muy parecida a la anterior. Pero esta vez nos han dado los datos como pares ordenados.
¿Cuál de las siguientes relaciones representa una función? ¿La relación A, cuatro, 12; cuatro, 15; cinco, 18; cinco, 21; y seis, 24? ¿O la relación B, cuatro, 12; cinco, 15; seis, 18; siete, 21; y ocho, 24?
Recordemos que para que una relación sea una función, cada valor de 𝑥, o entrada, debe tener exactamente un valor de 𝑦, o salida. Consideremos primero la relación A. Inmediatamente nos damos cuenta de que el valor cuatro de la variable independiente 𝑥 aparece dos veces. Asimismo, el valor cinco de la variable independiente 𝑥 aparece dos veces. El valor cuatro de 𝑥 está relacionado con el valor 12 de 𝑦 y con el valor 15 de 𝑦. Y el valor cinco de 𝑥 está relacionado con el valor 18 de 𝑦 y con el valor 21 de 𝑦. Esto significa que cada valor de 𝑥 no tiene asignado exactamente un valor de 𝑦. Por lo tanto, la relación A no es una función.
Por otro lado, en la relación B tenemos cinco valores de 𝑥 únicos. Son los números cuatro, cinco, seis, siete y ocho. Y cada uno tiene asignado exactamente un valor de 𝑦, los números 12, 15, 18, 21 y 24, respectivamente. Como cada valor de la variable independiente 𝑥 tiene asignado exactamente un valor de la variable dependiente 𝑦, la respuesta correcta es la relación B. Esta relación sí es una función.
En nuestra penúltima cuestión se nos pide determinar qué conjuntos de pares ordenados son funciones.
¿Cuál de las relaciones representadas por los siguientes conjuntos de pares ordenados no es una función? ¿Es (A) tres, 11; 11, 19; 27, 35; y 43, 43; (B) tres, 11; cuatro, 11; cinco, 11; y seis, 11; (C) menos ocho, cuatro; menos nueve, cuatro; 10, cuatro; y 11, cuatro; o (D) tres, cuatro; 11, ocho; tres, 12; y 11, 11?
Recordemos que una función es una relación que conecta todo valor de 𝑥 con exactamente un valor de 𝑦. Esto significa que, en un conjunto de pares ordenados, cada valor de 𝑥 solo debe aparecer una vez. En la opción (A), tenemos cuatro valores de 𝑥 distintos o únicos, los números tres, 11, 27 y 43. Esto significa que la opción (A) es una función. La opción (B) también tiene cuatro valores únicos de 𝑥, los números tres, cuatro, cinco y seis. El hecho de que cada uno de los valores de 𝑦 sea 11 no influye en que sea o no una función. Todo valor de 𝑥 tiene asignado exactamente un valor de 𝑦. Por lo tanto, (B) también es una función.
La opción (C) es una función exactamente por la misma razón. Tenemos cuatro valores de 𝑥, menos ocho, menos nueve, 10 y 11, todos conectados a un valor de 𝑦 de cuatro. Esto sugiere que la opción (D) no es una función. Sabemos que esto es cierto porque el valor 3 de 𝑥 aparece dos veces: junto al valor cuatro de 𝑦 y junto al valor 12 de 𝑦. Asimismo, el valor de 𝑥 de 11 se conecta al valor ocho de 𝑦 también al valor 11. La opción (D), por lo tanto, no es una función, ya que todo valor de 𝑥 no se conecta exactamente a un valor de 𝑦. La respuesta correcta es, por lo tanto, la opción (D).
En la última cuestión vamos a trabajar con relaciones representadas por una gráfica.
¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función si la variable 𝑥 es la variable independiente, o de entrada, y la variable 𝑦 es la variable dependiente, o de salida?
Recordemos que una función es una relación tal que cada valor de entrada tiene asignado exactamente un valor de salida. Se nos dice que la variable de entrada es 𝑥 y que la variable de salida es 𝑦. Por lo tanto, cada valor de 𝑥 debe tener asignado exactamente un valor de 𝑦. En el primer gráfico podemos ver, que cuando 𝑥 es igual a uno, tenemos dos valores de 𝑦, los valores menos uno y uno. Asimismo, cuando 𝑥 es igual a cuatro, 𝑦 puede ser igual a dos o a menos dos. Lo mismo ocurre cuando 𝑥 es igual a nueve. Los pares ordenados nueve, menos tres y nueve, tres, se encuentran ambos en la gráfica. Esto significa que la gráfica (A) no es una función, ya que cada valor de entrada o valor de 𝑥 no tiene exactamente un valor de salida o valor de 𝑦.
La opción (B), por otro lado, es una función. De hecho, es una función lineal. Cada valor de 𝑥 o de entrada tiene exactamente un valor de 𝑦 o de salida. Por ejemplo, cuando 𝑥 es igual a dos, 𝑦 es igual a ocho y cuando 𝑥 es igual a menos seis, 𝑦 es igual a menos ocho. Cualquiera que sea el valor de 𝑥 que elijamos, habrá exactamente un valor de 𝑦. La respuesta correcta es, por lo tanto, la gráfica (B).
Resumamos ahora los puntos clave que hemos visto en este vídeo. En este vídeo hemos aprendido que una función es un tipo especial de relación entre dos conjuntos. Una relación es una función si, todo elemento del conjunto de entrada, tiene asignado un elemento en el conjunto de salida, y si ningún elemento del conjunto de entrada tiene asignado más de un elemento del conjunto de salida. En resumen, una función es una relación en la que cada objeto del conjunto de entrada se conecta con exactamente un objeto del conjunto de salida. En este vídeo hemos visto, además, que las funciones pueden representarse mediante diagramas, pares ordenados, tablas y gráficas.
