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Vídeo de la lección: Inecuaciones de un paso: multiplicación y división Matemáticas • Sexto grado

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver una inecuación de primer grado de un paso usando multiplicación y división.

17:33

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver una inecuación de primer grado de un paso usando multiplicación y división. Una inecuación es una frase matemática que contiene uno de los siguientes símbolos. Mayor que, menor que, mayor que o igual a, o menor que o igual a. Estos símbolos nos dicen que un lado de la frase matemática es mayor que el otro lado. En una ecuación, ambos lados son iguales entre sí. Pero en una inecuación, un lado puede ser mayor que el otro.

Una inecuación puede tener una variable o incógnita como esta. Tres por 𝑥 es menor que 15. Y lo que queremos saber es cómo calcular el valor de esta incógnita. Para hacerlo, vamos a volver a la balanza que aparece al inicio del vídeo.

Si tenemos la inecuación tres 𝑥 es menor que 15 en una balanza, las tres 𝑥s tienen un peso menor que el 15 en el otro lado. Tres valores desconocidos valen menos que 15. Y si tres valores desconocidos juntos son menores que 15, entonces un valor desconocido es menor que ¿cuánto?

Bien, para pasar de tres incógnitas a solo una, dividimos por tres. Y, al igual que ocurre con una ecuación, si dividimos por tres en un lado, debemos dividir por tres también en el otro lado. 15 entre tres es cinco. Por lo tanto, si tres incógnitas son menores que 15, una incógnita debe ser menor que cinco. En nuestra balanza, vemos que 15 es igual a tres cincos. Y si eliminamos dos de las 𝑥s y dos de los cincos, la balanza se mantendrá en la misma posición.

Escribamos entonces matemáticamente lo que hemos hecho. Hemos dividido ambos lados por tres. Tres 𝑥 dividido por tres es 𝑥. Y 15 dividido por tres es cinco. Hemos hallado que 𝑥 es menor que cinco. Y eso significa que hemos resuelto la inecuación. Para resolver la inecuación debemos hallar los valores de 𝑥 que hacen que la inecuación sea verdadera, y esto es un procedimiento muy similar a la resolución de ecuaciones. Veamos otro ejemplo.

Resuelve la siguiente inecuación. Menos dos es mayor o igual que 𝑥 partido por 0.8. En el lado izquierdo de esta inecuación tenemos menos dos. Y este valor debe ser mayor o igual a 𝑥 partido por 0.8. Otra forma de mostrar eso sería 𝑥 dividido por 0.8.

Nuestra tarea aquí es resolver esta inecuación. Tenemos que hallar uno o varios valores que hagan que la inecuación sea verdadera. Y para hacerlo, tenemos que despejar 𝑥. Como en el lado derecho tenemos 𝑥 dividido por algo, para despejar 𝑥 necesitamos la operación inversa. Tenemos que hacer el proceso contrario. La operación inversa de dividir por 0.8 es multiplicar por 0.8. Y si multiplicamos el lado derecho por 0.8, también debemos multiplicar el lado izquierdo por 0.8. 0.8 por menos dos es menos 1.6.

𝑥 dividido por 0.8 multiplicado por 0.8 es igual a 𝑥 por uno. Dividir por 0.8 y multiplicar por 0.8 es lo mismo que multiplicar por uno. Y 𝑥 por uno es 𝑥. Bajamos el símbolo de la inecuación. Y vemos que menos 1.6 es mayor o igual que 𝑥.

Sin embargo, esta no es la forma usual de representar una inecuación. Lo usual es darle la vuelta a esto y poner la 𝑥 en el lado izquierdo. Pero para hacer esto también tenemos que darle la vuelta al símbolo. Una forma de comprobar si lo hemos hecho bien es ver si la punta de la flecha apunta al mismo número o expresión. Estaba apuntando a la 𝑥. Así que deberá seguir apuntando a la 𝑥. Seguidamente bajamos el menos 1.6. Es correcto decir que menos 1.6 es mayor o igual que 𝑥. Pero lo más usual es escribir 𝑥 es menor o igual que menos 1.6.

En los dos ejemplos anteriores, ya hemos utilizado multiplicación y división para resolver una inecuación. Pero es conveniente escribir las reglas de la multiplicación y de la división en las inecuaciones para entender mejor lo que puede ocurrir. Hemos visto que una inecuación sigue siendo verdadera cuando ambos lados de la inecuación se multiplican o dividen por el mismo número positivo.

En los dos ejemplos anteriores que hemos visto, hemos dividido o multiplicado ambos lados de la ecuación por un número positivo. Así que decimos que si 𝑎 es menor que 𝑏 y 𝑐 es mayor que cero — o sea, si 𝑐 es positivo— entonces 𝑎 por 𝑐 sigue siendo menor que 𝑏 por 𝑐. Y 𝑎 dividido por 𝑐 es menor que 𝑏 dividido por 𝑐. En una balanza, esto se vería así, si 𝑎 es menor que 𝑏, entonces 𝑎 por 𝑐 será menor que 𝑏 por 𝑐. Y 𝑎 dividido por 𝑐 será menos que 𝑏 dividido por 𝑐.

Recuerda que esto es así siempre que 𝑐 sea positivo. Pero ¿qué pasa si multiplicamos por un número negativo? Multiplicar o dividir algo por un número negativo no se puede ilustrar con una balanza, pues es imposible tener un peso negativo. Así que para mostrar una inecuación en la que tenemos que multiplicar o dividir por un número negativo para resolverla, debemos recurrir a una recta numérica.

Consideremos la inecuación 𝑥 es mayor o igual a dos. En una recta numérica, eso significaría un circulito encima del dos y una flecha que apunta a la derecha. 𝑥 puede ser dos o cualquier número mayor que dos. Ahora bien, ¿cuál es el opuesto de 𝑥 aquí? Menos 𝑥. Así que 𝑥 es mayor o igual a dos y el opuesto de 𝑥 es menos 𝑥. También sabemos que el opuesto de un número se encuentra en la recta numérica a la misma distancia de cero pero en el otro lado. 𝑥 mayor o igual a dos empieza dos lugares a la derecha del cero. Su opuesto comenzará dos lugares a la izquierda del cero. Y la flecha apuntaría a la izquierda. En una recta numérica, los opuestos son simétricos el uno del otro con respecto a cero.

¿Y cómo deberíamos escribir lo que está representado por esta inecuación naranja? Debería mostrar que 𝑥 es menor o igual a menos dos. Veamos lo que pasa con las inecuaciones al hacer esto.

Para hallar el opuesto de 𝑥, lo multiplicamos por menos uno. Y como multiplicamos un lado de la inecuación por menos uno, también lo hicimos en el otro lado. Hicimos además un paso adicional. Tuvimos que invertir el signo de la inecuación. A partir de eso, obtenemos esta regla. Cuando ambos lados de una inecuación son multiplicados o divididos por el mismo número negativo, entonces, para que la inecuación siga siendo verdadera, el signo de la inecuación debe ser invertido. Y eso significa que, si 𝑎 es menor que 𝑏 y 𝑐 es igual a menos el valor absoluto de 𝑐. Bueno, eso es simplemente una forma de decir que 𝑐 es negativo. Entonces 𝑎 por ese valor negativo será mayor que 𝑏 por ese valor negativo. El símbolo ha cambiado. Y lo mismo ocurre con la división. Veamos pues un ejemplo de este tipo.

¿Cuál de las siguientes inecuaciones equivale a menos cuatro 𝑥 es menor o igual a menos uno? A) 𝑥 es igual a un cuarto. B) 𝑥 es mayor o igual a un cuarto. C) 𝑥 es mayor o igual a cuatro. D) 𝑥 es menor o igual a un cuarto. O E) 𝑥 es menor que un cuarto.

Nuestra inecuación es menos cuatro 𝑥 es menor o igual a menos uno. Y queremos reorganizar esta ecuación para despejar 𝑥 en el lado izquierdo. Ahora mismo 𝑥 está siendo multiplicada por menos cuatro. Para despejar 𝑥, tendremos que aplicar la operación inversa. Debemos dividirla por menos cuatro. Y, si lo hacemos en el lado izquierdo, también debemos hacerlo en el derecho.

Pero debemos andarnos con mucho ojo pues estamos dividiendo por un número negativo y estamos operando con inecuaciones. Eso significa que, para que esta inecuación siga siendo verdadera, debemos invertir el signo. Menos cuatro 𝑥 dividido por menos cuatro es igual a 𝑥. Y menos uno dividido por menos cuatro es un cuarto. Eso quiere decir que la inecuación equivalente será 𝑥 es mayor o igual a un cuarto, que es la opción B.

Podemos comprobar y ver si esto es cierto. Acabamos de decir que 𝑥 puede ser cualquier número que sea mayor o igual a un cuarto. Sabemos que uno es mayor o igual a un cuarto. Así que, si volvemos a la inecuación original, menos cuatro 𝑥 es menor o igual que menos uno, y sustituimos uno, deberíamos obtener un enunciado verdadero. ¿Es menos cuatro menor que menos uno? Sí, lo es, así que uno es una solución correcta para 𝑥.

Cuando operamos con inecuaciones, conviene comprobar siempre las soluciones, porque ¿qué pasaría si se nos hubiera olvidado invertir el signo? Si lo hubiésemos olvidado, habríamos obtenido que 𝑥 es menor o igual a un cuarto. Por lo que podríamos haber elegido algo como menos uno para comprobar la solución. Menos uno es menor que un cuarto. Pero cuando ponemos esto en la inecuación original, obtenemos que cuatro por menos uno es más cuatro. Y más cuatro no es menor que menos uno, por lo que nos daríamos cuenta de que hemos hecho algo mal. Entonces tendríamos que dar marcha atrás y repasar los cálculos. En este caso, 𝑥 debe ser mayor o igual a un cuarto, que es la opción B.

Ahora vamos a ver otro ejemplo parecido.

Reescribe 𝑥 partido por seis es menor que menos dos de modo que la 𝑥 esté despejada en el lado izquierdo.

Nos dicen, pues, que 𝑥 partido por seis es menor que menos dos. Antes de avanzar, conviene que no olvidemos cómo multiplicamos y dividimos una inecuación por un número. Cuando multiplicamos o dividimos por números positivos, los símbolos no cambian. Y, por supuesto, tenemos que hacer la misma operación a ambos lados. Sin embargo, cuando multiplicamos o dividimos por números negativos, el signo ha de ser invertido. Y, como siempre, multiplicamos o dividimos por el mismo número en ambos lados.

Queremos despejar la 𝑥 en el lado izquierdo. Ahora bien, en el lado izquierdo tenemos 𝑥 dividido por seis. Y para deshacernos del seis en 𝑥 dividido por seis, tenemos que multiplicarlo todo por seis. Seis es un valor positivo, por lo que el signo no cambiará. Pero no debemos olvidarnos de multiplicar por la misma cantidad en ambos lados. 𝑥 entre seis por seis es 𝑥. Y menos dos por seis es menos 12. De esta forma obtenemos que 𝑥 es menor que menos 12.

Si queremos graficar esto en la recta numérica, hemos de dibujar un circulito abierto. Y la flecha apuntará hacia la izquierda. Si queremos comprobar si esto es cierto, podemos sustituir un valor que sea inferior a menos 12 en la inecuación original. Escogemos menos 18. Sabemos que menos 18 es menor que menos 12, y que es divisible por seis. Menos 18 entre seis es menos tres. Y es cierto que menos 3 es menor que menos 2, lo que está de acuerdo con que 𝑥 es menor que menos 12.

En el siguiente ejemplo, hemos de escribir primero la inecuación para luego resolverla.

Escribe una inecuación para describir lo siguiente y, a continuación, resuélvela. Menos cinco por un número es por lo menos menos 45.

Empezaremos escribiendo la inecuación. Tenemos que menos 5 multiplicado por algún número —que vamos a representar con la letra 𝑥— es al menos menos 45. Sabemos que en el otro lado tendremos menos 45. Pero ¿qué símbolo representa la expresión «al menos»?

Debemos considerar si este símbolo podría ser mayor que, igual a o menor que. «Al menos» significa que puede ser igual, pero no puede ser menor. «Al menos» también puede significar mayor. Así que es igual o mayor que. Y, matemáticamente, representamos esto con un signo de mayor o igual que. Si cinco por un número es al menos menos 45, entonces menos cinco 𝑥 es mayor o igual a menos 45.

Esta es la primera parte del problema, pero ahora tenemos que calcular 𝑥. Como estamos operando con una inecuación, debemos tener muy en cuenta que, si estamos multiplicando o dividiendo por valores positivos, el signo no varía. Pero si estamos multiplicando o dividiendo por números negativos, debemos invertir el signo. 𝑥 está multiplicado por menos cinco. Y para despejar 𝑥, esto es, para aislar 𝑥 en un lado de la inecuación, tenemos que dividir ambos lados de la ecuación por menos cinco. Como estamos dividiendo por un número negativo aquí, debemos invertir el signo de la inecuación. Menos cinco 𝑥 entre menos cinco es 𝑥. El signo se invierte. Y menos 45 dividido por menos cinco es nueve. Menos cinco 𝑥 es mayor o igual que menos 45. Eso significa que 𝑥 es menor o igual a nueve.

En el ejemplo siguiente, 𝑥 se encuentra en el conjunto de los números naturales. Veamos cómo afecta esto a nuestra solución.

Sabiendo que 𝑥 se encuentra en el conjunto de los números naturales, determina el conjunto de soluciones de la inecuación menos 𝑥 es mayor que menos 132.

Acuérdate de que este símbolo, esta N especial, se refiere al conjunto de los números naturales, que son los números enteros no negativos. Si 𝑥 está en el conjunto de los números naturales, entonces no puede ser negativo, ni puede ser fraccionario. Debe ser un número entero no negativo. Si menos 𝑥 es mayor que menos 132, ¿cómo podemos hallar 𝑥?

Si multiplicamos menos 𝑥 por menos uno, obtendremos 𝑥. Pero si vamos a multiplicar o dividir una inecuación por un número, debemos tener en cuenta que, cuando multiplicamos o dividimos por números negativos, debemos invertir el signo. Esto significa que tenemos que multiplicar ambos lados de la inecuación por menos uno. Menos 132 multiplicado por menos uno es 132. Y seguidamente tenemos que invertir el signo de desigualdad.

Obtenemos que 𝑥 es menor que 132. Y sabemos que 𝑥 está en el conjunto de los números naturales. Así que, en primer lugar, eso significa que tendremos que usar notación de conjunto, o sea, llaves. Y estamos interesados en aquellos números enteros que son inferiores a 132. 𝑥 no puede ser negativo, y no puede estar entre números enteros.

El valor más pequeño que puede tomar 𝑥 es cero. Y luego vienen uno, dos, tres, etcétera. Podemos usar puntos suspensivos para representar esto. Y el valor más alto que puede tomar 𝑥 es 131. Tenemos que andarnos con mucho ojo con esto. Solo porque tengamos 132 aquí no significa que 𝑥 pueda ser igual a 132. 𝑥 debe ser menor que ese valor. Y el mayor número entero que es menor que 132 es 131. Con estas condiciones, deducimos que 𝑥 puede tomar todos los valores enteros positivos entre cero y 131, ambos inclusive.

Vamos a resaltar a modo de resumen dos conceptos básicos que hemos aprendido en este vídeo. Una inecuación sigue siendo válida cuando ambos lados de la inecuación son multiplicados o divididos por el mismo número positivo. Y si ambos lados de una inecuación son multiplicados o divididos por el mismo número negativo. Entonces, el signo de la inecuación debe ser invertido para que la inecuación siga siendo verdadera.

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